反思在培养数学思维深刻性中的作用

李小华

摘 要 学生中出现“综合能力差”、“上课听得懂，自己做不来”等现象，其实质上都是思维缺乏深刻性造成的。反思性学习是培养高中学生数学思维深刻性的良方。

关键词 反思性学习 思维深刻性 数学

中图分类号：G424 文献标识码：A

1 在数学思维能力培养中学会反思很有必要

反思是一种特殊的再概括，它是从个别推广到一般的思维方法。数学教学中反思性学习包括反思解题思路，数学知识、数学思想方法、题意的理解过程的反思，解题结果反思等。数学的反思性学习具有如下教育价值：一是情感、态度、价值观方面：诸如①培养实事求是的态度和理性精神；②良好的反馈信息、谨慎，细心等习惯；③激发好奇心和求知欲；④自我反思性评价。二是常规数学思维能力方面：诸如①归纳、猜想和合情推理；②数学联结与数学洞察；③理性思维与构建体系。三是数学创新能力方面：诸如①提出数学问题和质疑能力；②建立新数学模型并用于实践的能力；③发现数学规律的能力；④推广现有数学结论的能力；⑤将不同领域的知识进行数学联结的能力。

高中数学学习中教师一定要引导学生学会反思，积极反思，要充分调动学生求知、求思的积极性和主动性，养成善于观察、善于分析、善于思考的学习习惯，提高学生发现问题和解决问题的能力。

2 培养途径例说

2.1 对定义、概念进行反思性学习

单纯地记住一个定义、概念或简单地直接运用，对学生而言，并非难事，但要真正理解其内涵，达到灵活运用，并非易事。究其原因，学生往往是肤浅、形式地认识定义、概念，而通过反思性数学学习，对定义、概念不断深入探讨，理解就会不断深入，思维活动也就会不断深刻。

例1 设都是非零向量，则。这是新教材下册第五章向量数量积中的一个重要性质，为了深刻理解它，教学中笔者让学生进行反思性学习。

反思一：设都是非零向量，若，则成立吗？由公式，学生马上得出结论：“能”；

反思二：如果去掉条件：“设都是非零向量”，即若，则成立吗？

生：“分情况讨论。” 师“分几种？”经过激烈争论，师生共同统一为三种结果：（1）都是非零向量：（2）都是零向量；（3）中只有一个是零向量。

通过讨论分析，不但解决了这个问题，而且深化认识了规定：零向量与任一向量的数量积为0。

反思三：反过来，若，则成立吗？（*）有了反思二的基础，学生会想到条件，隐含着为的可能性，而我们规定与任一向量平行，所以不一定有。

反思四：那再加上什么条件，（*）式可成立呢？

为了避免反思三的可能性，我们只要加上条件“设都是非零向量，”即设都是非零向量，若，则成立。再结合反思一结论：设都是非零向量，若，则也成立。

综上反思结果：学生认识到只能在“都是非零向量”的前提条件下才可成立。通过反思，也让学生深刻理解了这个重要性质及有关其它条件的情况，而且充分熟悉了两个规定的应用，真可谓“一举两得”。

对定义、概念进行反思性数学学习，能促使学生从一个新的角度，多层次地对概念及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对概念的理解，揭示问题本质，探索出解题方法的一般规律，沟通知识间的相互联系，促进知识的同化和迁移，并进而产生新的发现和推广。

2.2 对定理、公理进行反思性学习

在定理、公理的学习中，就要完整地掌握它们（条件、结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和盲目套用公式。

例2 求 = + （）的最小值。

对于这道题，学生常有如下错误的解法：

解答一：因为，所以3>0，>0，则 = + ≥2 = 4。当且仅当3 = ，即 = 时，有最小值2。

解答二：因为，所以 = + = + 2 + ≥3· = 6

故有最小值6。

反思一：因为利用基本不等式“ ，， + ≥2（当且仅当 = 时取等号）”求最值的前提条件是不等式的一边必须为常数（定值）。而解答一只是简单套用公式，而忽视了 = 2要为定值的条件，导致结论错误。

反思二：在解答二中，取得最小值，当且仅当要 = 2 = ，而此时的无解，即没有相对应的使得取到最小值6。其错误的根源在于忽视了公式取到等号成立的条件。

其实，其正确解答如下：因为，所以 = 3 + = + + ≥3·· = 3。

当且仅当 = ，即 = 时，有最小值3。造成以上错误原因都是对公式认识肤浅性所致，因而教学中特别要加强类似（1）求方程 + 1 = 0的一切实数解；（2）求 = 1 + + 的值域等题目的反思。引导学生辨别是非，弄清根源，培养学生思维的深刻性。

对数学定理、公理进行反思性学习，是训练深刻性思维、优化思维品质的极好方法，是促进知识同化和迁移的可靠途径。通过反思不断分析、解决问题，层层深入领会问题及解决方法的实质，培养了学生思维的深刻性。

2.3 对解题思路进行反思性学习

在解题教学中，学生做完一道题后，引导他们进行反思性数学学习，搞清问题实质，拓宽解题思路，择优解法，训练发散思维，再把问题引向深入，培养学生思维的深刻性。

例3. 已知抛物线 = + + 与轴的两个交点的横坐标是3、5，与轴交点的纵坐标是15，求这个二次函数的解析式。

学生分析题意后解题，得如下解答：

方法一：依题意知抛物线经过（3，0），（5，0），（0，15）三点，由此列出关于的方程组，可求出的值。

反思：已知三点用待定系数法确定二次函数解析式，学生较熟悉。但我提问：有没有较简便的解法？这激发了学生反思，探究得如下解答：

方法二：抛物线与轴的两个交点是对称点，易求得其对称轴为 = 4，设解析式 = ，将点（3，0），（0，15）的坐标代入上式可求得。

反思：利用对称性，先求对称轴，再设顶点式，分散难点，便于计算，思维灵活。

受上述思维启发，有学生获得如下解答：

方法三：依据抛物线过点（0，15），可设其解析式为 = + + 15，联想到抛物线与轴交点的横坐标3和5，就是方程 + + 15=0的两根，代入即可求得 = 1， =-8。

反思：巧用数形转换，将交点横坐标转化成一元二次方程的根，计算便利，正是创造性思维所致。

受到启发，经深入探究，又有学生获新解答：

方法四：依据抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是3、5，可设其解析式为 = ，再将点（0，15）代入得 = 1。

反思：利用交点式求解，思维简捷，过程简洁。

习题教学中，通过引导学生对问题的不断反思，可以深化学生用待定系数法求二次函数解析式常规方法：设一般式、顶点式、交点式。然后引导学生反思上述四种方法的利弊，通过比较，发现后面三种方法的巧妙是在于对知识的感悟，在设解析式时减少了一个待定系数。在比较中学生明确了解题关键，理清了解题思路，掌握了解题方法，逐渐优化思维品质，思维更加有序。

参考文献

[1] 虞申君.培养学生数学思维深刻性的探索.考试·教研版，2011（3）.

[2] 霍荣华.适当设计开放型习题，培养学生的数学思维.课程教育研究，2013（24）.

[3] 薛金星.高中数学解题方法与技巧.人教网，2011-03-30.

[4] 罗诚.高中数学新课程课堂案例丛书.人教网，2011-03-30.