小剪跨比RC梁受剪分析的优化拉压杆模型

贺志启 刘 钊

(东南大学土木工程学院，南京210096)

在小剪跨比钢筋混凝土梁中(剪跨比小于2左右)，同时存在着“梁作用”和“拱作用”的双重受剪机制.上述2种机制的作用比例与很多因素相关，包括梁的剪跨比、配箍率和混凝土强度等，其中剪跨比是决定性因素[1-2].一般认为，对于剪跨比λ≤1的深梁，剪力主要通过“拱模型”直接传递至支座;对于λ≥2的浅梁，剪力主要经由“梁模型”进行间接传递;当1≤λ≤2时，这2种机制共同作用.

为了恰当反映小剪跨比RC梁内的复杂受剪机制，国内外学者提出了多种理论模型，如桁架拱模型[3]、拉压杆模型[4]等.这些模型均为超静定模型，难点是如何进行解耦分析.一种处理方式是假设模型中所有杆件均具有相同的轴向刚度，以此求解超静定模型[5-6];还有学者通过非线性有限元分析来求解超静定模型[7]，其中模型中压杆的宽度根据支承情况确定，并假设拉杆能够达到屈服;本文作者也曾借助于拉压杆模型的最大强度建立准则，从理论上给出了“梁作用”和“拱作用”的解耦关系[8].

本文遵循能量原理的思路，通过3个层次的最小应变能分析，研究了小剪跨比RC梁受剪分析的最优拉压杆模型.该模型是静定模型，并且能够恰当表达小剪跨区域内的双重受剪机制.

1 拉压杆模型的最小应变能准则

拉压杆模型的理论基础是塑性下限定理，然而，混凝土材料的塑性变形能力有限，并不是塑料力学中所假想的理想刚塑性材料.因此，为避免出现超出混凝土塑性变形能力的应力重分布，拉压杆模型的变形应尽可能小，即为“最大刚度准则”.同时，结构的刚度和内部的应变能是直接相关的.对于能量封闭体系，能量守恒表现为外力功W等于结构应变能U，即

式中，P为外荷载;K为拉压杆模型的总体刚度;Fi，Li及εmi分别为拉压杆模型中第i根杆件的内力、长度及平均应变.

据此，可推演得到“最大刚度准则”等价于“最小应变能准则”，即

考虑到混凝土压杆的刚度远大于钢筋拉杆的刚度，因而拉压杆模型的应变能绝大部分集中在拉杆[4].因此，拉压杆模型的最小应变能准则可改写为

式中，Π为拉杆应变能指标;Ti和Li为第i根拉杆的内力和长度;εy为钢筋屈服应变.

本文遵循能量原理的思路，借助多层次的最小应变能分析，以此实现拉压杆模型的最优参数化构形.所提出的策略是:拓扑优化分析→STM基本构形→最小应变能分析→STM最优构形.即首先通过结构拓扑优化分析确定拉压杆模型的基本构形，然后针对由混凝土压杆和钢筋拉杆构成的拉压杆模型，进行最小应变能分析，以此推导模型的最优构形参数.

2 最小应变能拓扑优化分析

2.1 拓扑优化分析程序的开发

拉压杆模型的自动生成问题可转化为连续体的拓扑优化问题，并常常以最小应变能作为优化目标.在基于最小应变能指标的拓扑优化分析中，通过不断地从连续体中剔除应变能密度低的单元，最后实现结构总体刚度的极大化，即结构应变能的最小化.优化的目标函数可表示为[9]

式中，Cj为结构中单元j的应变能;Wj为单元j的重量.

若进一步定义结构性能指标ω，则优化目标是使得性能指标取得极大值，即

式中，下标“0”表示初始状态;“i”表示经过第 i次优化后的状态.

本文借助既有相关拓扑优化算法，通过对通用有限元程序ANSYS进行二次开发，实现了结构渐进拓扑优化功能，可实现平面和空间拉压杆模型的自动生成.该程序的编制框架为(见图1):程序不断地剔除低应变能密度的单元，直至有限元模型的连续性遭到破坏而不能运算为止;性能指标ω取得最大值时对应的拓扑构形，即为最优构形.编制该程序的关键技术包括:

①通过ANSYS程序中的生死单元功能来实现单元的剔除.

图1 拓扑优化程序框架

②通过三参数(ρe，R0和RΔ)来控制单元剔除的速度.通过单元移除率ρe来控制在每次演进过程中，剔除单元数量占总激活单元数量的最大比例(一般可取为5% ～10%);同时，通过下式来计算第i次演进时低应变能密度的阀值:

式中，[ζe，i]为第i次演进时低应变能密度的阀值，当单元的应变能密度小于该值时，应进行剔除;ˉζe，i为第i次演进时所有激活单元的应变能密度平均值;R0为初始比率，可取为1%;RΔ为演进速率，可取为1%.

③通过平滑化操作来避免棋盘式单元形态的出现.首先计算节点的平滑应变能(将与节点相邻单元应变能的平均值作为该节点的平滑应变能)，然后计算单元的平滑应变能(将单元上4个节点平滑应变能的平均值作为该单元的平滑应变能).

2.2 小剪跨比梁的拓扑优化分析

针对跨中作用单点集中力的简支梁，进行了最小应变能拓扑优化分析，得到了不同剪跨比加载梁的最优拓扑构形(见图2)，由图2可得:① 当剪跨比λ=1时，全部的集中荷载通过斜压杆直接传递至支座;②当剪跨比有所增大时，模型中出现了斜向拉杆，表明桁架模型开始发挥作用;③当剪跨比进一步增大，λ＞2时，模型中出现多根间接斜压杆，说明桁架模型逐渐起主导作用.

图2 不同剪跨比梁的最优拓扑构形架

至此，借助于拓扑优化分析的结果，可以确定小剪跨比梁中拉压杆模型的基本构形为:① 当λ≤1时，最优模型为“直接压杆模型”.该模型中的斜压杆为集中力作用点与支座中心的连线，易于确定.②当1＜λ≤2时，最优模型为“带斜拉杆的桁架模型”(见图2(b)、(c)).在无腹筋梁中，斜拉杆为混凝土拉杆;在有腹筋梁中，斜拉杆由腹筋构成.该模型中存在3根倾角不同的斜压杆，但目前还无法定量确定其几何参数.

3 最小应变能参数分析

为了定量计算深梁(1＜λ≤2)中拉压杆模型的斜压杆倾角，这里进行了2个层次的最小应变能参数分析.

3.1 最小应变能自动搜索

利用编制的算法，自动搜索应变能最小的拉压杆模型构形.模型的基本形状如图3(a)所示，模型中节点B(或节点C)的位置可在竖向和水平向2个方向变动，节点E(或节点F)的位置可在水平方向变动.算法的基本结构如下:① 分层变化拉压杆模型的几何参数x1(0→a)，x2(0→d)和x3(0→a);②提取每种模型中所有拉杆的内力Ti和长度Li，并计算应变能指标∑TiLi;③搜索应变能指标最小的拉压杆模型，即为最优模型.

针对不同剪跨比的深梁，按上述算法可自动搜索得到拉压杆模型的最优几何参数(x1，x2和x3)，如表1所示.通过对这些最优拉压杆模型的几何形状进行观察，可以发现以下规律:①杆件AE和BE大体上呈垂直关系;②杆件 AE和BD大致平行.根据这些规律，可用图3(b)所示的简化模型来代替前述最优模型，该模型中只存在斜压杆倾角θ这一单参数.

图3 集中荷载作用深梁(1＜λ≤2)的拉压杆模型

表1 集中荷载作用深梁(1≤λ≤2)的最优拉压杆模型参数

3.2 最小应变能目标函数求解

针对图3(b)所示的单参数简化模型，基于最小应变能原理，直接推导斜压杆倾角θ的最优取值.在简化模型中，拉杆的应变能分析如表2所示.

表2 简化模型中的拉杆应变能分析

半模型中拉杆的应变能指标为

为使应变能取得最小值，斜压杆倾角θ应满足

因此，斜压杆倾角θ的最优取值可求解为

同时，可求得最优模型中斜拉杆BE的内力为

在无腹筋梁中，该斜向拉力由受拉混凝土承担;在有腹筋梁中，主要由腹筋承担.

在表1中，除列出了最优模型的几何参数外，还列出了不同模型的应变能指标.可以发现，虽然“直接压杆模型”中的荷载传递最为直接，但其拉杆应变能并不是最小的.只有当梁的剪跨比λ接近于1时，“直接压杆模型”中的应变能才与最优的“带斜拉杆的桁架模型”的应变能相差无几.

3.3 最优拉压杆模型的特征

通过前述3个层次的最小应变能分析(最小应变能拓扑优化分析、最小应变能自动搜索和最小应变能目标函数求解)，确定了小剪跨比RC深梁的最优拉压杆模型构形，该模型具有以下特征:①当梁的剪跨比λ≤1时，受剪分析的最优模型为“直接压杆模型”，此时剪力荷载通过斜压杆直接传递至支座;②当梁的剪跨比1＜λ≤2时，受剪分析的最优模型为“带斜拉杆的桁架模型”(见图3(b))，斜拉杆与斜压杆大体上呈垂直关系，而斜压杆倾角θ与剪跨比λ直接相关，其最优角度为θ=78-13λ.

4 无腹筋小剪跨比梁的抗剪强度

在无腹筋小剪跨比RC梁中，拉压杆模型中的斜向拉杆表征了混凝土的受拉作用.当混凝土斜拉杆断裂时，可反映无腹筋梁劈裂破坏时的抗剪承载力，即

式中，WBE为斜向拉杆的宽度，可假设为与之垂直压杆 AE 长度的一半[10]，即 WBE=0.5d/sinθ;TBE为斜向拉杆的内力，可按式(10)计算;b为腹板厚度;ft为混凝土轴心抗拉强度，可按ft=0.5(fc)2/3进行换算，fc为混凝土棱柱体抗压强度.

根据式(11)，抗剪承载力可推导为

将斜压杆倾角θ的最优取值代入式(12)，并经最小二乘拟合，最终可得无腹筋小剪跨比RC梁抗剪承载力的简化计算式为

式中，λ≤2.

为验证本文所提抗剪强度计算公式的正确性，与文献[11]收集的20根无腹筋短梁的抗剪承载力试验值进行对比，如图4所示.由此可见，本文公式能够较好地反映剪跨比对无腹筋梁抗剪承载力的影响，并且与 GB50010—2010规范[12]中的式(6.3.4)相比，本文所提出的理论公式与试验数据拟合线更为接近，有更好的计算精度.

图4 无腹筋RC深梁抗剪承载力试验值与计算值的对比

5 结论

1)提出了确定拉压杆模型最优构形的“多层次最小应变能分析方法”.该方法首先借助结构拓扑优化分析拟定拉压杆模型的基本构形，并利用最小应变能参数分析确定模型的最优构形参数，具有适应能力强、参数化建模等特点.

2)小剪跨RC梁内存在着复杂的受剪机制，当梁的剪跨比λ≤1时，剪力荷载通过“拱模型”直接传递至支座;当1＜λ≤2时，剪力荷载通过“带斜拉杆的桁架模型”进行间接传递，模型中斜拉杆与斜压杆大体上呈垂直关系，而斜压杆倾角θ与剪跨比λ直接相关，其最优角度为θ=78-13λ.

3)本文依据拉压杆模型所提出的无腹筋小剪跨比梁抗剪承载力计算式，形式简洁，并且能够较好地反映剪跨比的影响.

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