两类混合藤Copula模型的比较研究——基于外汇资产投资组合VaR的研究

杜子平，张雪峰

（天津科技大学经济与管理学院，天津 300222）

两类混合藤Copula模型的比较研究
——基于外汇资产投资组合VaR的研究

杜子平，张雪峰

（天津科技大学经济与管理学院，天津 300222）

本文以中国外汇市场上四种主要外汇资产的投资组合作为研究对象，基于Pair Copula高维建模思想，分别建立了两类能真实反映资产组合相关结构差异性的混合藤Copula模型，即混合C藤和混合D藤Copula模型。两类混合藤Copula模型，对传统的藤Copula模型作了进一步的改进，是通过一定的选择标准，确定模型中每个Pair Copula函数的最优函数族，这样可以使得所建立的模型既能考虑资产组合维数的影响，又能捕捉到组合内部各资产相关结构的差异性。为了得到较优的风险分析模型，在实证研究中，将两类模型在资产组合VaR计算精度方面进行比较。

Pair Copula；混合C藤；混合D藤；VaR

一、引言

资产组合的风险不仅受到单个资产收益率波动变化的影响，而且受资产间相关结构的影响，这就为Copula理论的应用提供了基础。Copula理论最大优势就是可以将金融资产的边缘分布和相关结构分开来研究，并且不要求边缘分布具有相同的分布形式，所以，Copula理论在金融领域的应用非常广泛。同时，VaR又是应用最广泛的风险度量指标，其关键问题就是估计模型的构建，但对于由多个资产所组成的资产组合，要建立其VaR估计模型非常困难，而上述Copula理论的优点则可以很好地解决这个问题。

目前，将Copula理论运用于资产组合VaR的研究层出不穷：傅强等(2009)[1]将极值理论与Copula函数应用于资产风险研究及条件VaR估计；刘少华等(2011)[2]运用多元Copula函数对中国期货市场的套利组合风险进行了研究；He等(2009)[3]基于Copula函数研究了银行信用风险和市场风险综合度量方法；Tang等(2010)[4]研究了公司信用风险和市场风险的相互影响。这些应用主要集中于椭圆类或Archimedean类Copula，椭圆类Copula是以单个参数来描述多维资产间尾部相关性，没有考虑维数的影响，这与实际情况存在很大偏差；而Archimedean Copula所有的随机变量都是等价的，只需单个生成函数就可以得到完整的Copula函数，但现实中很难保证所有变量都服从特定类型的Archimedean Copula。

所以要建立符合实际的高维Copula模型，必须考虑局部相关结构的差异性，基于此 Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]在Joe的基础上提出了Pair Copula构建(PCC)方法，它是利用基于条件独立的简单Pair Copula构造模块对复杂多元相关结构进行建模，是将多元联合密度函数分解为一系列Pair Copula及条件边缘分布密度函数的积。这样就可以使得所建立的模型不仅能考虑到资产组合维数的影响，又能够捕捉到资产组合中局部相关结构的差异性。本文主要研究两类基于Pair Copula建模思想的高维Copula建模方法，即C藤与D藤，在此基础上，考虑对模型中每一Pair Copula函数依据一定的标准选择最优的函数族，将传统的两类藤Copula建模方法改进为混合C藤及混合D藤Copula模型。这里，“混合”的含义主要是指对于每一组Pair Copula函数可以依据一定的标准选择最优的函数族。目前，在这方面的研究还不多见。

本文系统地介绍了两类藤Copula模型的理论知识；并以中国外汇市场四种主要外汇资产作为实证分析对象，基于两类混合藤Copula模型建立投资组合风险分析模型；并利用Monte Carlo模拟方法估计投资组合的VaR值；最后为了得到最优的风险分析模型，运用Kupiec失败频率检验方法检验两类预测模型的有效性，并作对比分析。

值得指出的是，对于两类混合藤Copula模型中的Pair Copula函数本文以AIC准则作为函数选择标准。

二、模型的构建

1.边缘分布模型的建立及其参数估计

一般地，多资产投资组合的风险受到两方面客观因素的影响：单个资产收益率序列的波动变化及资产间的相关结构影响。对于单个金融资产收益率分布的刻画有很多种方法，如传统方法所采用的t分布或正态分布，但t分布无法刻画收益率序列的非对称性，而且t分布的自由度参数的估计也比较困难，一般来说，刻画实际中的金融资产收益率序列的t分布，其自由度通常不是整数，这就给模型的建立带来很大不便，若取其近似值则又会增加模型风险；另外，大量研究表明，金融资产收益率序列具有尖峰、厚尾、波动聚集性的特征，所以如果运用正态分布刻画收益率序列则会损失大量的尾部信息，且在一定程度上会低估模型参数值。GARCH类模型是一类典型的条件异方差模型，是现代计量经济学研究的重点。GARCH类模型可以很好地刻画单个金融资产收益率序列的波动聚集性等特征，是刻画金融资产收益率序列强有力的工具。

考虑金融时间序列的高峰、厚尾特性，本文选用t分布噪声驱动的GARCH模型来对单个资产收益率序列的条件边缘分布建模。即用如下t-GARCH(1，1)模型：

式中，rt为资产收益率序列；Ωt-1为t-1时期的条件集；ηt为i.i.d自由度为v的t分布；μ，ω，α，β及v为模型参数。

极大似然估计法(MLE)在计量经济学模型参数的估计中应用非常广泛，且大量研究表明，MLE方法对GARCH类模型参数的估计非常有效。所以本文运用该方法来估计上述GARCH模型的参数。

2.两类混合藤Copula模型的建立及其参数的估计

要建立更精确、更科学的高维Copula模型，不仅要考虑边缘分布的拟合优度，还应考虑局部相关结构的差异性。而Pair Copula建模方法很好地解决后者问题，Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]基于Pair Copula思想研究了一种被称为正则藤的图形化建模方法，但由于他们主要研究如何利用藤结构建立复杂的网络结构模型，所以在Pair Copula的选择上仅限于Gaussian Copula函数族。实际上，该建模方法对于Pair Copula函数族的选择没有要求，Aas et al.(2009)[7]的研究表明该方法可以推广到任意的Pair Copula函数族，这就为本文的研究提供了理论基础。本文主要研究对两类特殊的正则藤——C藤和D藤作进一步的扩展，将其中的Pair Copula根据一定的选择标准选择最优的函数族，建立高维混合藤Copula模型，并将其应用于中国外汇市场投资组合的实证研究。目前在这方面的研究还不多见。

Czado(2010)[8]的研究表明C藤和D藤可以通过简单的条件递归来构建。为了与后文的研究保持一致，图1与图2分别给出了传统意义上的四维C藤与四维D藤结构：

图1 四维C藤结构

由图1可知，C藤结构中，树Tj(j=1，2，3)中仅有唯一的节点连接到n-j条边，其中，每条边对应着一个Pair Copula密度函数。n维联合分布的密度函数f (x1，x2，…，xn)在C藤下可分解为：

图2 四维D藤结构

图2所示的为四维D藤结构，D藤结构与C藤结构有很大的不同，树 Tj(j= 1，2，3)中的两条边，变成了Tj+1中的两个节点，如果Tj中的这两条边共享同一节点，则在Tj+1中这两个节点又被同一条边连接。其中，Tj的每条边也对应着一个Pair Copula密度函数。n维联合分布的密度函数f(x1，x2，…，xn)在D藤下的分解式可表示为：

(1)式与(2)式中的j表示树的标号，i遍历每棵树的边。对于每个Pair Copula的构建涉及到形如的条件边缘分布，对于每一j，由式(3)可以求得其边缘条件分布函数。有：

其中，υj是υ中任一分量，υ-j是υ中不含υj的向量，Cx，υjυ-j是二元Copula分布函数。当υ为一维变量时，有：

本文对于(1)式与(2)式中Pair Copula密度函数族的选择标准采用AIC准则，因为，Brechmann(2010)[9]的研究表明对于二维Copula函数族的选择，AIC准则是一个有效、可靠的选择标准。以此为基础，本文对传统的C藤与D藤作了进一步扩展，建立两类混合藤Copula模型。

对于两类藤Copula模型的参数估计问题，本文借鉴Aas et al.(2009)[7]研究中使用的方法，即先运用ML单独估计每个Pair Copula函数的参数值，称之为参数估计初值；再将参数估计初值代入两类藤结构的对数似然函数，并最大化对数似然函数值，从而得到参数估计终值。n维C藤的对数似然函数可表示为：

而n维D藤的对数似然函数可以表示为：

(4)式与(5)式中Θ为Pair Copula函数参数集。

三、投资组合VaR的估计及检验

在计算由多个资产（通常指3个及3个以上）组成的资产组合VaR时，由于VaR的显性解析式很难表示，所以，本文借助于Monte Carlo方法，该方法的关键在于对Pair Copula分解模型的仿真技术，先通过分解下的Copula分布函数求出条件分布函数x2，…，xj-1)，再生成服从该多元联合分布的仿真序列(x1，x2，…，xn)，具体过程为：

①随机生成n个独立的服从[0，1]均匀分布的序列{ωi，i=1，2，…，n}；

②求出服从Pair Copula分解的联合分布函数的仿真序列(x1，x2，…，xn)：

其中每个条件分布函数Fn|1，2，…，n-1(xjx1，x2，…，xj-1)都可以由式(3)及某种类型的Copula函数求得。

得到服从Pair Copula分解的联合分布函数仿真序列(x1，x2，…，xn)后，代入各资产的边缘分布，进而可以得到n个资产在t+1时刻的仿真收益率序列Ri，t+1，i=1，2，…，n。由于本文将外汇资产收益率序列定义为Pi，t+1= lnPi，t+1-lnPi，t，其中，Pi，t表示第i个资产在t时刻的价格，则在t+1时刻，第i个资产的价格可表示为Pi，t+1= Pitexp(Ri，t+1)，则由仿真收益率序列Ri，t+1可得第i个资产在持有期(t，t+1]内的损失率为：

给定置信度1-α，则由损失Lt+1的经验分布可求出投资组合的VaR为：，其中表示在持有期(t，t+1]内、1-α置信度下的VaR值。

为了验证所求得的资产组合VaR的有效性，本文运用Kupiec失败率检验方法：记实际损失超过VaR为失败，反之为成功。假定估计VaR的置信度为P*，实际考察天数为T，失败天数为N，则失败概率P的频率估计为N/T，则对于VaR估计模型有效性的检验可以转化为对于失败概率P是否显著不同于P*的检验。Kupiec给出了该检验最合适的极大似然统计量：

在该检验成立的条件下，统计量LR服从自由度为1的卡方分布。

四、实证研究

本节选取中国外汇市场上四种外汇汇率：美元/人民币(USD/CNY)、港币/人民币(HKD/CNY)、100日元/人民币(100JPY/CNY)、欧元/人民币(EUR/CNY)作为实证分析对象。考察的时间范围为2006.1.11-2012.11.6，每组汇率共有1660个有效数据，数据来源于中国货币网。同时，将价格{Pt}定义为每日收盘价，收益率定义为Rt=lnPt+1-lnPt。其描述性特征如表1。

表1 样本收益率序列的统计特性

由表1中的J-B统计量可以看出，四个对数收益率序列均不服从正态分布；另外，从偏度与峰度也可以看出该四个对数收益率序列具有明显的高峰、厚尾特征，且呈现出一定的非对称性。对各对数收益率序列进行ARCH-LM检验，发现它们都具有明显的ARCH效应，故可以运用t-GARCH(1，1)模型拟合四个外汇资产对数收益率序列，本文置信水平取为95%。运用Matlab软件得到各序列边缘分布的参数估计值，如表2。

表2 对数收益率序列边缘分布参数估计值

得到边缘分布的参数估计值后，提出其标准化残差序列。为了检验边缘分布的拟合优度，对标准化残差序列进行概率积分变换，同时，对变换后的序列进行K-S检验，K-S检验方法是检验变换后的序列是否服从(0，1)上的均匀分布来判断对边缘分布的建模是否正确，通常，先检验概率积分变换后的序列是否独立，再检验变换后的序列是否服从(0，1)上的均匀分布。本文检验的结果表明经过概率积分变换后的标准化残差序列均服从[0，1]上的均匀分布，说明所建立的t-GARCH(1，1)模型能很好地拟合各外汇资产对数收益率序列。

为了表述方便，分别记USD/CNY、HKD/CNY、100JPY/CNY及EUR/CNY为1、2、3及4，并分别用混合C藤及混合D藤Copula模型描述由该四个外汇资产所组成的投资组合的相关结构，模型结构如图1和图2。运用第二节所述的参数估计方法估计两类混合藤Copula模型的参数值。值得指出的是，对两类混合藤结构中的每个Pair Copula函数族的选择扩展到以下五种：Gaussian Copula、tCopula、Gumbel Copula、Clayton Copula及FrankCopula。两类混合藤Copula模型中所有Pair Copula的函数族、参数估计初值、终值、模型对数似然函数及AIC、BIC值如表3及表4所示。

表3 混合C藤Copula模型参数估计值、对数似然函数及AIC、BIC值

表4 混合D藤Copula模型参数估计值、对数似然函数及AIC、BIC值

由表3及表4可知，在参数估计终值下的两类混合藤Copula模型的AIC值均小于模型在参数估计初值时的AIC值，说明模型在参数估计终值下的拟合度有了一定程度地提高。

至此，两类混合藤Copula模型的结构及参数估计值已经确定，为了验证两类模型对中国外汇市场四种外汇资产投资组合相关结构描述的准确性，进而确定较优的模型结构，先基于两类混合藤Copula模型估计投资组合的VaR，再利用Kupiec失败率检验方法检验模型的预测结果。

估计由多个资产组成的投资组合VaR一般需借助于第三节所描述的Monte Carlo方法。分别基于两类混合藤Copula模型模拟10000次，得到10000组t+1时刻的各外汇资产收益率模拟值。则资产组合的模拟收益率为其中ωi为各外汇资产在t+1时刻的投资权重，且。本文假定投资总额为4，且等权重投资于中国外汇市场四种外汇资产，分别计算基于两类混合藤Copula模型的该投资组合在95%置信水平下的VaR值。同时，对样本区间内前1000天的95%VaR估计结果进行Kupiec失败率检验，并由式(6)计算统计量LR。计算及检验结果如表5所示。

表5 两类混合藤Copula模型下资产组合的VaR值及检验结果

由第三节可知，利用Kupiec失败率检验VaR估计模型有效性，可以转化为对失败概率P是否显著不同于置信水平P*的检验。当该检验成立时，则统计量LR服从自由度为1的卡方分布，而自由度为1的卡方分布在95%置信水平下的临界值为3.8415。由表5可知，混合C藤Copula模型下的统计量LR小于该临界值，因此，混合C藤Copula模型通过了检验，说明基于混合C藤Copula模型的VaR预测结果是有效的；而混合D藤下的统计量LR大于该临界值，说明混合D藤Copula模型没有通过检验，即混合D藤Copula模型对投资组合相关结构的描述不够精确。

五、结论

本文对两类传统的藤Copula建模方法作了进一步的扩展，利用AIC准则对模型中的每一个Pair Copula都选取最优的函数族，从而使得所建立的模型不仅考虑到了多维资产的维数影响，而且还考虑到了资产间局部相关结构的差异性问题，所以，相对于传统的藤Copula模型，混合藤Copula模型能更好地描述多个资产间的相关结构。这主要是由于高维Gaussian Copula以单个参数描述多维资产的相关结构，并没有考虑到资产维数的影响；而多元Archimedean Copula函数，其所有的随机变量都是等价的，并且都以单个生成函数得到完整的Copula函数，所以它没有考虑到变量间相关结构的差异性；另外，基于混合藤Copula模型计算投资组合的VaR值，由于其仿真序列是基于Pair Copula分解方法得到，所以其计算结果更加精确。

为了表明混合藤Copula模型的优势，本文将混合藤Copula模型与t-GARCH(1，1)相结合，并运用于中国外汇市场四种外汇资产投资组合的VaR估计，分别建立了混合C藤Copula模型及混合D藤Copula模型用于描述资产组合的相关结构，在此基础上，借助Monte Carlo方法计算了投资组合在95%置信水平下的VaR值，并进行了Kupiec失败率检验，进而确定较优的投资组合风险分析模型，由表5的检验结果可以看出，混合C藤Copula模型通过了失败率检验，可以很好地描述资产间的相关结构；而混合D藤Copula模型则未能通过检验，这主要是由于美元是国际支付、结算和投资的主要货币，美元价格变化对其他货币价格的变化都有重大影响，它们之间的影响关系是直接的，以图形化的方式表达，则是美元与其它货币之间都有直接的边相连接，而不是通过相互传导性质的间接连接，这也就符合C藤中的每棵树中都有一个根节点的性质，所以用混合C藤Copula模型刻画各外汇资产间的相关结构更贴近现实。从而，在中国外汇市场四种外汇资产投资组合相关结构描述的准确性上，混合C藤Copula模型优于混合D藤Copula模型，是更好的风险分析模型。

[1]傅强，刑琳琳.基于极值理论和Copula函数的条件VaR计算[J].系统工程学报，2009，24(5)：531-537.

[2]刘少华，张宗成.基于POT-Copula模型的我国期货套利组合风险分析 [J].金融理论与实践，2011(8)：81-84.

[3]He，X and P.Gong.Measuring the coupled risks：A copulabased C VaR model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，223(2)：1066-1080.

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[6]Bedford，T&Cooke，R.M.Vines-A new graphical model for dependent random variables[J].The Annals of Statistics，2002，30(4)：1031-1068.

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[9]Brechmann，E.Truncated and simplified regular vines and their applications[D].Diploma thesis，Technische，2010.

（责任编辑：WD）

The Comparison Study of Two Types of Mixed Vines Copula Model——Based on the Analysis of VaR of a Portfolio

DU Zi-ping，ZHANG Xue-feng
（Department of Economics and Management，Tianjin University of Science and Technology，Tianjin 300222，China）

Two types of mixed vines copula model based on Pair Copula Constructions method was used to study a portfolio of four foreign exchange assets in Foreign Exchange Market of China.The models,namely mixed C and D vines Copula model，can reflect the differences of correlation structure of a portfolio realistically.And also the two types of mixed vines Copula models improve on traditional C and D vines method and choose the best families of copula functions for every Pair Copula by a rule.They not only can take into account of the impact of dimensions，but also can capture the difference of the correlation structure among portfolio factors.In order to obtain a better VaR analysis model，we compare the two types of vines Copula models in the aspect of the portfolio VaR calculation accuracy in empirical study.

Pair Copula；Mixed C-vines；Mixed D-vines；VaR

F830.92

A

1004-292X（2014）01-0027-05

2013-07-12

国家自然科学基金项目（71071111）。

杜子平（1964-），男，山西吕梁人，副院长，教授，博士生导师，主要从事系统分析与金融管理、轻工技术经济决策与预测研究。