群论中的逆同态与逆同构

张隆辉，赵凤鸣

（四川职业技术学院，四川 遂宁 629000）

群论中的逆同态与逆同构

张隆辉，赵凤鸣

（四川职业技术学院，四川 遂宁 629000）

研究了群论中逆同态（逆同构）的一些基本性质，得到了群论中同态（同构）和逆同态（逆同构）的相互关系，并用逆同态（逆同构）的方法证明了群论中的同态基本定理和群的同构定理．

群；逆同态；逆同构

逆同态也称为反同态，它是使运算反序的映射.文献[1]研究了群胚到群胚的逆同态，文献[2-8]研究了群论中的逆同态，文献[9-11]研究了环论中的逆同态，取得了许多和同态类似的结果．这表明逆同态是代数学的重要概念，它为代数系统的研究提供了又一途径.本文进一步给出关于群论中逆同态的一些结果，然后给出群论中若干同态定理的逆同态证明.

1 概念及引理

引理1[3]设f是群G到群G的逆同态，H≤G，≤，则

引理2[3]设f是群G到群的满逆同态则

2主要结果

证明：由引理1（3）有 ，令f*(xH)=f(x)f(H).由于f是群G到群的满逆同态，则显然f*是G/H到/f(H)的满射.又如果f*(xH)=f*(yH)(x,y∈G)，则f(x)f(H)=f(y)f(H)，故

f(y)-1f(x)=f(y-1)f(x)=f(xy-1)∈f(H)．

令f(xy-1)=f(h)(h∈H)，则

f(xy-1h-1)=f(h-1)f(xy-1)=f(h)-1f(xy-1)= ，

从而xy-1h-1∈kerfH，所以xy-1∈H，而H是G的正规子群，故xH=yH，f*是G/H到/f(H)的单射，从而是双射.又，有

证明：显然f-1是群G到群的映射．

证明：

（1）因f是同态，则由定理3，f-1是逆同态.

(i)如果f是单同态，若f-1(x)＝f-1(y)(x，y∈G)，则f (x)-1＝f(y)-1，f(x)=f(y)，x=y，故f-1是单射，从而是单逆同态.(ii)如果f是满同态，∈，则存在x∈G，使f(x) =，从而由f-1是逆同态及定理1有

故f-1是满逆同态.(iii)如f果是同构，由(i)、(ii)知f-1是逆同构．

（2）因f是逆同态，由定理3，f-1是同态.

如果是f单逆同态、满逆同态、逆同构，类似于（1）的(i)、(ii)、(iii)得f-1是单同态、满同态、同构.

3同态定理的逆同态证明举例

例1（同态基本定理[12]9）6设φ是群G到群的一个同态满射，则且

例2（第一同构定理[12]100）设φ是群G到群的一个同态满射，又，=φ(N)，则

证明：令φ-1(x)=φ(x)-1( x∈G)，则φ-1是G到的一个满逆同态，由定理2有 .存在x∈N，使，存在x∈N，使故=φ(N)=φ-1(N)，从而设 f是 G/N到的逆同构，令 f-1(xN)=f(xN)-1，则f是G/N到的同构，故

[1]廖辉，李凤清，张青山.群胚到群胚的逆同态[J].四川职业技术学院学报，2012,22（2）.

[2]任祯琴，张良，郭继东.群上的逆同态[J].伊犁师范学院学报(自然科学版),2009,(12).

[3]申志荣.群论中的反同态和反同构[J].宁夏大学学报(自然科学版)，1987，（3）.

[4]李月芬.群的反同态与反同构的性质[J].内蒙古师太学报自然科学(汉文)版,1998,(1).

[5]李月芬，赵英.反商群与反同态[J].包头钢铁学院学报, 1998,(4).

[6]班桂宁.关于群的弱同态[J].江西师范大学学报(自然科学版),1998,(3).

[7]韦华全,刘秀,黄杰山.广义同态与算子群[J].大学数学, 2010,(4).

[8]刘秀,韦华全，黄杰山.有关广义自同构群的一些结论[J].广西师范学院学报(自然科学版),2007,(3).

[9]王春艳，李立.环反同态保持的几个重要性质[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2010,(2).

[10]王春艳.环的反同态性质的研究[J].齐齐哈尔大学学报,2010,(2).

[11]李立，魏连锁.反同态与反商环[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2010,(5).

[12]杨子胥.近世代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

The Anti-homeomorphis mand the Anti-isomorphism in Group Theory

ZHANG Longhui, ZHAO Fengming
（Sichuan Vocational and Technical College, Suining Sichuan 629000）

In this paper, some basic properties are researched of anti-homeomorphism (anti-isomorphism)in group theory, the relationship of group homeomorphism (isomorphism) and anti-homeomorphism(anti-isomorphism) are proved, uses the anti-homeomorphism (anti-isomorphism)methods to prove the fundamental theorem of homeomorphism and isomorphism theorems of group in group theory.

Group; File Management; Anti-homeomorphism; Anti-isomorphism

O152

A

1672-2094(2014)01-0138-03

责任编辑：张隆辉

2013-12-28

四川省教育厅自然科学重点项目（11ZA263,11ZA264）

张隆辉（1963-），男，四川隆昌人，四川职业技术学院学报编辑部副教授.研究方向：抽象代数．赵凤鸣（1982-），女，四川阆中人，四川职业技术学院应用数学与经济系讲师，硕士.