一类矩阵方程的算法研究

崔晓梅，许 洁

(吉林化工学院理学院，吉林吉林132022)

本文研究矩阵方程

当t∈(0，1］时的Hermite正定解，其中A，B是n阶非奇异复方阵，I是n阶单位阵.A*表示共轭转置.矩阵方程产生于控制理论、随机过滤等领域［1］，近年来各种形式的方程被广泛研究［1-4］，解的存在性条件、性质、迭代算法及其收敛速度是主要的研究内容.本文与文［5］都是迭代过程中避免求矩阵逆运算的自由逆变量迭代法，但本文方法运算速度较文［5］方法有所提高.

A＞0(A≥0)表示矩阵A是(半)正定矩阵，A＞B(A≥B)表示矩阵A－B是(半)正定矩阵.

1 主要结果

定理1［5］:若方程(1)有一正定解，且序列{Xn}，{Yn}由算法1决定，则 { Xn}单调下降且收敛于正定解XL.

算法2:

由上知不等式(2)对n≤1成立，假设(2)对n≤k 时成立，即

如下我们证明(2)当n≤k+1时成立.由引理2则

2 数值算例

通过数值例子对本文给出的迭代方法进行说明.所有的结果都在matlab7.1中运行得到.设残差

算例:考虑方程(1)其中

任取t=0.2，分别用算法1和算法2进行计算得到

算法1迭代11次，R(X11)=2.555 9e-011;算法2迭代8次，R(X8)=5.558 9e-012.

任取t=0.8，分别用算法1和算法2进行计算得到

算法1迭代14次，R(X14)=2.677 5e-011;算法2迭代10次，R(X10)=7.0505e-011.

通过算例说明算法2比较算法1迭代速度更快.

［1］ A.M.Sarhan，Naglaa M.El-Shazly，Enas M.Shehata，On the existence of extremal positive definite solutions of the nonlinear matrix equationXr+I［J］.Mathematical and Computer Modelling，2010，51:1107-1117.

［2］ 廖安平，黄叶楠，沈金荣.矩阵方程的正定解X+.长沙大学学报，2009，23(2):

［3］ Xin-Guo Liu，Hua Gao，On the positive definite solutions of the matrix equationsXs± ATX－tA=In［J］.Linear Algebra and its Application，2003，368:83-97.

［4］ Jian-hui Long，Xi-yan Hu，Lei Zhang.On the Hermitian positive definite solution of the nonlinear matrix equationX+A*X－1A+B*X－1B=I［J］.Bull Braz Math Soc，New Series 2008，39(3):371-386.

［5］ 崔晓梅.一类矩阵方程的正定解研究［J］.吉林化工学院学报:自然科学版，2014，31(1):108-110.

［6］ M.Parodi，La localisation des valeurs caracterisiques des matrices etses Application［M］.Gauthiervillars，Paris 1959.

［7］ X.Zhan.Computing the extremal positive definite solutions of a matrix equation［J］.SIAM J.Sci.Comput.，1996(17):1167-1174.