多元均值方差比值检验

钱有程

(吉林化工学院理学院，吉林吉林132022)

变异系数(CV)是随机变量的标准差和均值的比例，它给出了一个相对变化的度量.另一方面，夏普比例(SR)是超额预期收益与它的标准差的比例，给出了一个相对超额收益的量度.即使变量的均值和方差不相同，我们同样可以获得它的相对变化或者相对超额预期收益.本文在已有的二元均值方差比检验的基础上提出了多元假设检验，以便可以比较多元资产的均值方差比，从而确定更有的投资组合［1］.

1 多元均值方差比假设检验

1.1 Bonferroni检验

著名的Bonferroni不等式:

其中Ai是一事件，是它的余集.令Ai为事件 ti≤tδ/2(n)，i=1，…，p，，Bonferroni不等式变为:

换言之，点(t1，…，tp)落在立方体中的概率是≥1 － δp.当显著水平δ是α/p时，概率是1 － α［2］.

Bonferroni检验来自精确的检验利用Bonferroni不等式的临界值B替换精确临界值M.对H的正常α水平Bonferroni导出检验的接受域是:

单独假设的显著水平是δ=α/m并且Bonferroni检验的显著水平≤α.Bonferroni检验由利用接受域(2)的单独假设构成，其中临界值B由(3)给出.z1，…，zq空间的 Bonferroni检验的接受域称为Bonferroni多面体，并且t0(a1)，…，t0(am)称为 Bonferroni方块［3］.

1.2 多元均值方差比值检验

对于多元值方差比值假设我们有如下推论和证明:

推论:令 Xim，(i=1，2，…，k;m=1，2，…，n)为独立的随机变量，且对应的分布为N ( μi，σ2i)，在α水平下，存在k－1个导出的单独假设

且每个单独假设满足临界函数

其中C1和C2满足

证明:利用Bonferroni检验，对于假设，可以导出k－1个单独假设:

当接受 H0时，当且仅当 H0p，(p=1，2，…，k－1)均成立.对于每个单独假设，利用Bonferroni不等式的思想:

在α水平下，对于k－1个单独假设的显著水平是α/( k －1)，且每个单独假设利用Lehmann(1986)的多参数指数族的一致最优无偏检验结论，有

所以(4)式和(5)式可以变化为

2 结 论

在在本文中，为了评价多元资产情况下的表现，我们开始提出一个理论的框架，它以二元均值方差比检验为基础，以此来检验多元资产之间均值方差比的检验假设，使得我们可以通过更方便的方法对投资组合进行比较.对于k个多元MVR假设，可以得到k－1个有限导出单独假设，当多元MVR假设成立时，当且仅当所以的单独假设成立.对于每个单独假设，可以由二元MVR检验的统计量进行检验，对每个单独假设的显著水平，由Bonferroni不等式的思想，为多元MVR假设的显著水平与单独假设的个数的比.除此之外，我们对提出的多元均值方差比的假设给出了统计量，并予以了证明.

［1］ Markowitz，H.M..Portfolio selection ［J］.Journal of Finance 7，1952，77-91.

［2］ Lehmann，E.L..Testing statistical hypotheses［M］.John Wiley ＆ Sons，University of California，Berkeley，1986，118-135.

［3］ N.E.SAVIN，Multiple hypotheses testing［M］.Handbook of econometrics，422-474.

［4］ Savin，N.E..The Bonferroni and ScheBe Multiple Comparison Procedures［M］.Review of Economic Studies，1980，41:213-255.

［5］ Bai，Z.D.，Liu，H.X.，Wong，W.K..On the Markowitz Mean-Variance Analysis of Self-Financing Portfolios［J］.Risk and Decision Analysis 1(1)，2009a，35-42.

［6］ Bai，Z.D.，Liu，H.X.，Wong，W.K..Enhancement of the Applicability of Markowitz＇s Portfolio Optimization by Utilizing Random Matrix Theory，Mathematical Finance，2009b，19(4)，639-667.