基于分段函数微积分的教学探讨

摘要：微积分中的难点内容之一就是分段函数的微积分。对于初学者来说，理解这一内容存在一定困难。因而，教师在进行教学时更应该紧扣问题的本质和关键，有的放矢地引导学生掌握正确的解题方法。本文以一元分段函数的微积分为例，给出了教学方面的相关探讨。

关键词：微积分；分段函数；极限；连续性；可导性

中图分类号：G642.4？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微积分的学习中，但凡涉及分段函数的相关问题时，初学者都觉得比较棘手，有时甚至无从下手。原因在于分段函数有别于初等函数，不能把对初等函数的研究方法直接套用到分段函数上。一般分段函数的研究不仅涉及面广，方法灵活多变且综合性较强，所以难度难免会大些，不仅要用到初等函数的研究方法，还要用到一些特殊的方法。如果学生在一些关键性的问题上没有吃透，必将导致错误的求解。为了尽量减少出错，教师在教授有关分段函数相关的问题时，有必要抓住问题的本质和关键，给学生讲解正确的方法，及时纠正学生学习中的各种错误思维。

分段函数是由若干个解析式子组成的函数。[1，2]一般常见的分段函数在每段上的解析式都以初等函数的形式出现。若x0点位于某分区间内时，分段函数在点x0的极限问题、连续性问题和可导性问题等一般都可转化为初等函数的相应问题来求解。本文主要探讨x0在分区间端点处的情形。

二、分段函数在某点x0处的极限

若点x0在分区间的端点时，则应考察分段函数在x0的左、右极限，然后由函数在一点极限存在的充要条件便可得出结论。如下：例1、设f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）当x→0，x→1时的极限。

分析：x=0是分区间的一个端点，研究f（x）在x0的极限，应先研究其左、右极限。■f（x）=■■极限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的极限不存在。而x=1是分区间[0，2]内的点，直接利用初等函数求极限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函数在某点x0处的连续性

若点x0在分区间的端点时，应先判断分段函数在分区间端点x0处是否有定义，若有，则进一步按定义考察函数在x0的左、右连续性，然后根据函数在某点连续的充要条件给出结论。如下：

例2、讨论f（x）=■，x<0■，x>0在x=0处的连续性。

分析：x0是函数f（x）分区间的端点。易知f（x）在x=0由定义，因而考虑其在x=0的左、右连续性，然后做出结论。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左连续，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右连续，所以f（0）在x=0点连续。或者也可从连续的定义出发讨论。

四、分段函数在某点x0处的可导性

对于分段函数在分区间端点x0处的可导性，应先判断函数在该点是否连续，如连续则按导数的定义分别求出在点x0的左、右导数，然后根据函数在某点可导的充要条件给出结论。如下：例3、讨论函数f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函数f（x）分区间的端点。因而先考虑其在各点是否连续，若连续按导数定义分别求出各点的左、右导数，然后做出结论。

易知f（x）在由x=0是连续的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可导。同理我们也可以验证f（x）在x=1，2的可导性。

五、分段函数在某点x0处的积分

在讲解这类问题时应教会学生如何把问题转化为熟悉的一般积分问题。解决分段函数定积分计算问题关键在于：如何根据被积函数的积分区间进行恰当的划分，划为若干个小积分区间，然后利用积分区间的可加性，把原积分划为若干个一般的定积分计算。如下：

例4、设f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1进行变量代换，然后按分段函数的积分来求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函数的相关问题研究也可转化为分段函数的形式来处理。[1，3]如一些带绝对值符号的函数，被积函数中含有[·]，含有“max”符号的函数等。由于篇幅所限，以上仅对一元分段函数进行了一些探讨，至于多元分段函数也可采用类似的方法。

参考文献：

[1]于龙文，等.高等数学理论与解题方法[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[3]同济大学数学系.高等数学（上、下册）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：刘利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肃政法学院讲师。

摘要：微积分中的难点内容之一就是分段函数的微积分。对于初学者来说，理解这一内容存在一定困难。因而，教师在进行教学时更应该紧扣问题的本质和关键，有的放矢地引导学生掌握正确的解题方法。本文以一元分段函数的微积分为例，给出了教学方面的相关探讨。

关键词：微积分；分段函数；极限；连续性；可导性

中图分类号：G642.4？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微积分的学习中，但凡涉及分段函数的相关问题时，初学者都觉得比较棘手，有时甚至无从下手。原因在于分段函数有别于初等函数，不能把对初等函数的研究方法直接套用到分段函数上。一般分段函数的研究不仅涉及面广，方法灵活多变且综合性较强，所以难度难免会大些，不仅要用到初等函数的研究方法，还要用到一些特殊的方法。如果学生在一些关键性的问题上没有吃透，必将导致错误的求解。为了尽量减少出错，教师在教授有关分段函数相关的问题时，有必要抓住问题的本质和关键，给学生讲解正确的方法，及时纠正学生学习中的各种错误思维。

分段函数是由若干个解析式子组成的函数。[1，2]一般常见的分段函数在每段上的解析式都以初等函数的形式出现。若x0点位于某分区间内时，分段函数在点x0的极限问题、连续性问题和可导性问题等一般都可转化为初等函数的相应问题来求解。本文主要探讨x0在分区间端点处的情形。

二、分段函数在某点x0处的极限

若点x0在分区间的端点时，则应考察分段函数在x0的左、右极限，然后由函数在一点极限存在的充要条件便可得出结论。如下：例1、设f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）当x→0，x→1时的极限。

分析：x=0是分区间的一个端点，研究f（x）在x0的极限，应先研究其左、右极限。■f（x）=■■极限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的极限不存在。而x=1是分区间[0，2]内的点，直接利用初等函数求极限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函数在某点x0处的连续性

若点x0在分区间的端点时，应先判断分段函数在分区间端点x0处是否有定义，若有，则进一步按定义考察函数在x0的左、右连续性，然后根据函数在某点连续的充要条件给出结论。如下：

例2、讨论f（x）=■，x<0■，x>0在x=0处的连续性。

分析：x0是函数f（x）分区间的端点。易知f（x）在x=0由定义，因而考虑其在x=0的左、右连续性，然后做出结论。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左连续，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右连续，所以f（0）在x=0点连续。或者也可从连续的定义出发讨论。

四、分段函数在某点x0处的可导性

对于分段函数在分区间端点x0处的可导性，应先判断函数在该点是否连续，如连续则按导数的定义分别求出在点x0的左、右导数，然后根据函数在某点可导的充要条件给出结论。如下：例3、讨论函数f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函数f（x）分区间的端点。因而先考虑其在各点是否连续，若连续按导数定义分别求出各点的左、右导数，然后做出结论。

易知f（x）在由x=0是连续的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可导。同理我们也可以验证f（x）在x=1，2的可导性。

五、分段函数在某点x0处的积分

在讲解这类问题时应教会学生如何把问题转化为熟悉的一般积分问题。解决分段函数定积分计算问题关键在于：如何根据被积函数的积分区间进行恰当的划分，划为若干个小积分区间，然后利用积分区间的可加性，把原积分划为若干个一般的定积分计算。如下：

例4、设f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1进行变量代换，然后按分段函数的积分来求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函数的相关问题研究也可转化为分段函数的形式来处理。[1，3]如一些带绝对值符号的函数，被积函数中含有[·]，含有“max”符号的函数等。由于篇幅所限，以上仅对一元分段函数进行了一些探讨，至于多元分段函数也可采用类似的方法。

参考文献：

[1]于龙文，等.高等数学理论与解题方法[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[3]同济大学数学系.高等数学（上、下册）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：刘利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肃政法学院讲师。

摘要：微积分中的难点内容之一就是分段函数的微积分。对于初学者来说，理解这一内容存在一定困难。因而，教师在进行教学时更应该紧扣问题的本质和关键，有的放矢地引导学生掌握正确的解题方法。本文以一元分段函数的微积分为例，给出了教学方面的相关探讨。

关键词：微积分；分段函数；极限；连续性；可导性

中图分类号：G642.4？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微积分的学习中，但凡涉及分段函数的相关问题时，初学者都觉得比较棘手，有时甚至无从下手。原因在于分段函数有别于初等函数，不能把对初等函数的研究方法直接套用到分段函数上。一般分段函数的研究不仅涉及面广，方法灵活多变且综合性较强，所以难度难免会大些，不仅要用到初等函数的研究方法，还要用到一些特殊的方法。如果学生在一些关键性的问题上没有吃透，必将导致错误的求解。为了尽量减少出错，教师在教授有关分段函数相关的问题时，有必要抓住问题的本质和关键，给学生讲解正确的方法，及时纠正学生学习中的各种错误思维。

分段函数是由若干个解析式子组成的函数。[1，2]一般常见的分段函数在每段上的解析式都以初等函数的形式出现。若x0点位于某分区间内时，分段函数在点x0的极限问题、连续性问题和可导性问题等一般都可转化为初等函数的相应问题来求解。本文主要探讨x0在分区间端点处的情形。

二、分段函数在某点x0处的极限

若点x0在分区间的端点时，则应考察分段函数在x0的左、右极限，然后由函数在一点极限存在的充要条件便可得出结论。如下：例1、设f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）当x→0，x→1时的极限。

分析：x=0是分区间的一个端点，研究f（x）在x0的极限，应先研究其左、右极限。■f（x）=■■极限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的极限不存在。而x=1是分区间[0，2]内的点，直接利用初等函数求极限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函数在某点x0处的连续性

若点x0在分区间的端点时，应先判断分段函数在分区间端点x0处是否有定义，若有，则进一步按定义考察函数在x0的左、右连续性，然后根据函数在某点连续的充要条件给出结论。如下：

例2、讨论f（x）=■，x<0■，x>0在x=0处的连续性。

分析：x0是函数f（x）分区间的端点。易知f（x）在x=0由定义，因而考虑其在x=0的左、右连续性，然后做出结论。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左连续，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右连续，所以f（0）在x=0点连续。或者也可从连续的定义出发讨论。

四、分段函数在某点x0处的可导性

对于分段函数在分区间端点x0处的可导性，应先判断函数在该点是否连续，如连续则按导数的定义分别求出在点x0的左、右导数，然后根据函数在某点可导的充要条件给出结论。如下：例3、讨论函数f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函数f（x）分区间的端点。因而先考虑其在各点是否连续，若连续按导数定义分别求出各点的左、右导数，然后做出结论。

易知f（x）在由x=0是连续的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可导。同理我们也可以验证f（x）在x=1，2的可导性。

五、分段函数在某点x0处的积分

在讲解这类问题时应教会学生如何把问题转化为熟悉的一般积分问题。解决分段函数定积分计算问题关键在于：如何根据被积函数的积分区间进行恰当的划分，划为若干个小积分区间，然后利用积分区间的可加性，把原积分划为若干个一般的定积分计算。如下：

例4、设f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1进行变量代换，然后按分段函数的积分来求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函数的相关问题研究也可转化为分段函数的形式来处理。[1，3]如一些带绝对值符号的函数，被积函数中含有[·]，含有“max”符号的函数等。由于篇幅所限，以上仅对一元分段函数进行了一些探讨，至于多元分段函数也可采用类似的方法。

参考文献：

[1]于龙文，等.高等数学理论与解题方法[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[3]同济大学数学系.高等数学（上、下册）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：刘利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肃政法学院讲师。