行星齿轮传动方案几何相容性的自动检测*

马明月，刘艳芳，徐向阳，张博文

(北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京 100191)

前言

行星传动方案因具备体积小、承载大和易于实现液压控制的优点而广泛应用于液力自动变速器(AT)。随着制造工艺和控制技术的发展，变速器市场上出现了越来越多的结构更为复杂的行星传动方案。对于复杂行星传动方案的结构设计，仅仅依靠设计人员的经验来设计结构方案的传统方法难以获得最佳传动方案，因此必须实现行星传动方案结构设计的程序化。

机械干涉检测是行星传动方案结构设计的关键问题之一，是基于图的平面性检测来实现的。图的平面性检测一直是图论的热点研究方向之一，可用于解决许多实际问题，如单面印刷电路板和集成电路的布线问题[1]。常用的平面性检测算法包括文献[2]中提出的D.M.P.算法，文献[3]中提出的Hopcroft-Tarjan算法和文献[4]中提出的边嵌入算法。其中，D.M.P.算法在平面性检测过程不必寻找Kuratowski子图，可以根据需求来修改初始回路和嵌入路径，在实际问题中得到广泛应用。目前，针对行星传动方案机械干涉检测问题，国内外学者已完成很多有价值的研究工作[5-7]。研究工作主要包括图模型的建立和图模型平面性检测算法的实现，但检测效率低，难于实现大规模的方案检测。本文中结合图论相关知识建立了行星传动方案各主要元件的图模型，给出同名元件之间的不同连接方式和行星传动方案图模型的建立方法。融合D.M.P.算法和深度优先搜索算法，提出并实现了适用于判断行星传动方案简图数学模型平面性的检测算法。

1 平面图的基本定理[2]

若能把图G画在一个平面上，使任何两条边都不相交，就称G为可嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图在平面上的一个嵌入称为平面图。例如图1(b)是图1(a)的一个平面嵌入。

可嵌入平面图G的平面嵌入把平面分成若干个连通的闭区域，每个闭区域叫做G的一个面，用f来表示G的面的数目。欧拉定理表明，若G是平面连通图，则G的面的数目为

f=m-n+2

(1)

式中：m为图G的边数；n为图G的顶点数。

2 行星传动方案图模型的建立

对于任意形式的行星传动方案，按照如下步骤来建立方案的图模型。

2.1 壳体、输入轴和输出轴的图模型

液力自动变速器有两种输入输出轴的布置形式。第1种布置形式是输入轴和输出轴沿同一轴线布置，如图2(a)所示。第2种布置形式是输入轴和输出轴沿平行轴线布置，如图1(b)所示。针对这两种布置形式分别给出壳体、输入轴及输出轴的图模型1和图模型2，如图1(c)和图1(d)所示。其中点G1、G2表示壳体，L1表示输入轴，L2表示输出轴。

2.2 行星排的图模型

单行星排的图模型是将太阳轮S、齿圈R、行星架A分别抽象为点，并在太阳轮与行星架、齿圈与行星架之间分别添加一条边e1、e2，如图3所示。复合式行星排的图模型可表示为两个单行星排图模型的组合。

2.3 制动器和离合器的图模型

对于非换联式行星传动方案，制动器与离合器可分别抽象为两度点B和C，其中离合器仅与行星排的基本元件相连。对于换联式行星传动方案，离合器的一端与输入轴或输出轴相连。设与制动器和离合器相连的元件分别用点v1、v2、v3和v4表示，它们之间的连接用边e1、e2、e3和e4表示，则制动器和离合器的图模型分别如图4(a)和图4(b)所示。

2.4 元件之间的连接

行星传动方案元件之间的连接包括行星排的基本元件经辅助构件或离合器的连接、壳体与行星排的基本元件经制动器的连接及输入输出轴与行星排的基本元件经辅助构件或离合器的连接。将相连元件之间连接映射为图模型中的边，可得到一系列行星传动方案图模型。例如：对于如图5(a)所示的行星传动方案简图，该方案的图模型之一如图5(b)所示。

3 同名元件的连接形式分析

行星传动方案中直接相连的元件(不包括离合器和制动器)称为同名元件。在建立行星传动方案图模型时，由于同名元件的存在使得行星传动方案存在多个图模型，对于同一行星传动方案而言，不同的图模型的平面性也可能是不同的，当存在一个可平面的图模型时，该方案即在结构上是可以实现的。

N个同名元件呈链状连接的图模型共有N-1条边和N!/2种连接形式。当同名元件个数为2时，同名元件之间仅有1条边和1种连接形式。当同名元件个数N≥3时，同名元件之间的链状连接方式呈现多样性。表1中给出了3个同名元件的3种连接形式和4个同名元件的12种连接形式。其中，图中的顶点v1、v2、v3和v4表示同名元件，边e1、e2、e3、e4、e5和e6表示同名元件之间的连接。

对于第1种布置形式的制动器与N个同名元件之间连接的图模型数目为N，对于第2种布置形式的制动器与N个同名元件之间连接的图模型数目为2N。与离合器相连的两组同名元件的数目分别为M和N，离合器与同名元件之间连接的图模型数目为M×N。

设行星传动方案的同名元件数目分别为N1,N2,…,Nt，制动器相连的同名元件的数目分别为M1,M2,…,Ms，离合器相连的同名元件的数目分别为L1,L2,…,Lr，则行星传动方案图模型的数目X为

表1 同名元件的连接形式

对于第1种变速器布置形式：

(2)

对于第2种变速器布置形式：

(3)

4 平面性检测算法的实现

4.1 图模型的预处理

根据图论的相关知识，在检测图形的平面性前，应预先检测被测图形是否为连通图，图形中是否存在自环和两度点。对于行星传动方案而言，其图模型必为连通图且不存在自环，因此，在执行平面性检测算法前，只须去除图模型中的两度点。以图5(b)所示的图模型为例，经预处理后的图模型和邻接矩阵如图6所示。

4.2 图模型平面性检测算法

针对行星传动方案的图模型，将D.M.P.算法做了相应调整，具体描述如下：

(2) 求G关于Gi的片D；

(4) 采用DFS算法对将要嵌入的片进行搜索，找到路径Pi⊆D，且Pi的两端点为Gi的节点；

(6) 设图G的顶点数为n，边数为m，如果面数f=m-n+2，则图G为可平面图，返回结果并退出程序；否则转(2)，继续循环。

4.3 平面性检测算法的验证

采用M语言编写了行星传动方案图模型综合算法和图模型平面性检测算法，并针对大量典型算例验证对该算法进行测试，证实了算法的准确性和可靠性。图7为对图6(a)所示的简化图模型进行平面性检测时路径嵌入过程的演示。测试结果显示该图模型为可平面图，与实际情况一致，证实了平面性检测算法的有效性。

在确定片和嵌入路径时，采用DFS算法预先标定图模型各顶点的位置，避免了盲目遍历式搜索，提高了整体运行效率。此外，选取了固定的初始回路和初始嵌入平面，也进一步简化了检测算法。采用上述平面性检测算法对2 006组3个行星排6个换挡元件的行星传动方案进行检测，其中具有可平面性的方案数为399，总的运行时间为170.51s。由于不同方案其同结构方案数存在差异，因此单个方案的检测时间是不同的，用于检测的2 006组行星传动方案的独立运行时间曲线如图8所示。与文献[10]相比，单个方案的平均检测时间由897.1ms降至34.1ms，检测算法在运行效率上有了明显提高，适用于大规模方案的平面性检测。

5 结论

应用平面图理论的相关知识，分别给出了行星传动方案中各元件图模型的定义，实现了方案简图与图模型的转化。综合了多个同名元件链状连接的具体形式，得到一个更为全面的行星传动方案图模型数目的计算公式，并提出了一种系统的用于行星传动方案图模型的综合方法，该方法是借助图模型的邻接矩阵实现的，非常直观且不易出错。

借助图的邻接矩阵对图的片进行定义并采用深度优先搜索算法的思想构造嵌入路径，采用M语言编写了适用于行星传动方案图模型的D.M.P.算法。以多组平面图和非平面为测试对象进行平面性检测，结果准确。通过程序运行中保存的嵌入路径，还原了可平面图的整个平面嵌入过程，得到了该图形的一个平面嵌入，从而再次证明平面性算法的准确性。

参考文献

[1] 殷剑宏,吴开亚.图论及其算法[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004:130-134.

[2] 戴一奇,胡冠章,陈卫.图论与代数结构[M].北京:清华大学出版社,1995:69-79.

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[4]BoyerJM,MyrvoldWJ.OntheCuttingEdge:SimplifiedO(n)PlanaritybyEdgeAddition[J].JournalofGraphAlgorithmsandApplications,2004,8(3):241-273.

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[10] 任明琪.行星变速箱综合简图几何相容性的判别[J].兵工学报(坦克装甲车与发动机分册),1999,73(1):39-43.