浅海声场对不确定环境参数的灵敏度分析方法

程广利，胡金华，张明敏

(海军工程大学 水声工程系，湖北 武汉430033)

0 引言

每个输入参数对输出量的相对重要性分析称之为灵敏度分析［1］，灵敏度分析可定量或定性地评价输入参数不确定性对系统输出的影响，继而可忽略那些灵敏度较低的参数对系统输出的影响，据此简化系统模型。

灵敏度分析通常分为局部灵敏度分析和全局灵敏度分析［2］。局部灵敏度分析只能检验单参数的变化对模型结果的影响程度，其他参数取中心值，主要方法有因子变化法和偏差变化法［3-4］，优点在于简单、易求，缺点是只考虑一个参数的变化量，计算效率不高，且忽略了输入参数间的相互作用对系统输出的影响等。全局灵敏度分析可检验多个参数的变化对系统输出产生的总的影响，并分析每一个参数及参数之间的相互作用对模型结果的影响。全局灵敏度分析可分为定性全局灵敏度分析和定量全局灵敏度分析。定性全局灵敏度分析只能定性地分析模型各参数的不确定性对模型结果影响的相对大小，定量全局灵敏度分析则定量地给出每个参数不确定性对系统输出的贡献率。

我国近海大都为浅海，浅海受多种因素的影响，环境参数不确定性强，对声传播影响较大，不同的环境参数对声波在浅海中传播的影响程度也各不同，可以忽略对声传播影响较小的环境参数。因此，如何定性或定量地表征环境参数对声传播的影响很有意义，但实用的量化方法研究相对较少。目前，用于水声场分析灵敏度的方法主要有Monte Carlo(MC)法［1，5-7］和 空 间 声 场 位 移 法［8-11］。基 于MC 法，Sweet［1］计算由多个不确定参数导致的声场，对其进行数值统计，用上边界方差和下边界方差进行灵敏度分析，其中上边界方差更常用;但该方法没能考虑变量间的交互影响，属于局部灵敏度分析。Kessel［5］在特定的海洋环境变化下，基于声压幅度的相对变化定义了灵敏度概念，在声场空间内做平均获得稳定的典型值，并从物理上解释了灵敏度的含义，属于局部灵敏度分析法中的因子变化法;该方法优点是简单、直观，缺点是针对所有参数采用相同的变化因子并不符合实际情形。文献［6 -7］研究了环境参数不确定性对声场幅度的影响，定义了声传播灵敏度函数，定义并验证了线性和非线性灵敏度的度量方法。总体来说，MC 法计算量大、效率低，不能直接获得声场与不确定输入变量之间的函数关系式，不适于多个参数不确定时的灵敏度分析。空间声场位移法将环境参数扰动导致的声场扰动看成是声场结构的空间位移和除空间位移外的其他变化，Brooke 等［8］、Dosso 等［9］、朱建峰等［10］以场位移灵敏度替代固定灵敏度，即用声场幅度差均方根归一化值的最小值来衡量声场幅值对环境参数的灵敏度，从本质上来说仍属于局部灵敏度分析方法，且空间声场位移法本身适用的前提条件较多，如:必须满足声场位移与海洋环境参量扰动成近似线性关系这一假设，在声场空间中某些位置并不满足这种关系，不能计算非相干声场等［11］。以上分析表明，在水声场灵敏度分析中，计算方法存在效率低、适应范围不广等不足，且鲜有文献论述全局灵敏度的分析方法。

本文在文献［12］研究的基础上，运用非嵌入式随机多项式展开(NPCE)法快速获得浅海声场与不确定环境参数之间的函数关系式，将其对某个变量求(偏)导，获得声场对该参数的局部灵敏度;提出了一种定性分析全局灵敏度的简便方法;引入Sobol指数法［13］计算声场对环境参数的定量全局灵敏度;分析了以上灵敏度分析方法的特性。

1 灵敏度分析方法

1.1 获得声场函数关系式

将浅海中不确定环境参数表示成标准随机变量的函数后，声场Y 可以截断为N 阶数值近似，即［12］

式中:C 为确定的环境参数向量;X =(x1，x2，…，xn)为服从标准正态分布随机数;N 为不确定环境参数量;ai为待求的未知多项式系数;Hi(X)为Hermite多项式函数。

当变量服从其他形式的概率分布时，需选取相应的、合适的多项式形式，如:均匀分布选择Legendre 多项式、指数分布选择Laguerre 多项式、伽马分布选择广义Laguerre 多项式［14］。

多维m 阶Hermite 多项式表示为

文献［12］研究表明，非嵌入式随机多项式展开法具有计算精度和效率高、应用范围广等特点，其另一个独特的优势是在获得多项式系数ai后，代入到(1)式中，即可到声场与不确定环境参数之间的近似函数关系式。此时对不确定量求(偏)导，就可以得到声场对某个不确定参数的灵敏度函数关系式，即而获得局部灵敏度值。若要分析全局灵敏度，则需提出新方法或是引入其他方法。

1.2 Sobol 指数法

假设模型为Y =f(X)，f(X)平方可积，将模型输出f(X)分解为

为衡量不同输入参数对输出的贡献大小，定义敏感性指数

式中:Sxi为xi的主效应指数或一阶敏感性指数，表征输入xi独自对输出的方差贡献;x-i为不包含xi的其他参数，且

式中:p(x1，…，xi-1，xi+1，xN)为除xi外所有参数的联合概率密度函数;p(xi)为xi的概率密度函数。

将输入参数x1，x2，…，xn分为xi和x-i二组，Vx-i(Exi(Y|x-i))描述了除xi外所有参数对输出方差的影响，则VTOT-Vx-i(Exi(Y|x-i))表征所有与xi有关的效应，xi的全效应指数定义为

参数之间的交互效应指数可表示为

式中:Vxixj(E-xixj(Y|xixj))表示xi和xj作为一个整体的主效应对方差的影响。

2 仿真实验与分析

2.1 Pekeris 波导中传播损失对不确定海深和海水声速的局部灵敏度分析

Pekeris 波导如图1 所示。环境参数设置如下:海深D 服从均值为100 m、标准差为9 m 的正态分布，海水声速c1为均匀声速梯度，服从均值为1 500 m/s、标准差为9 m/s 的正态分布，海水密度ρ1=1 000 kg/m3;海底为无限均匀半空间，其中声速c2=1 800 m/s，密度ρ2= 1 800 kg/m3;声源深度zs=30 m，接收器深度为50 m，接收距离r 分别为2 km、4 km、6 km、8 km、10 km，声波频率为1 000 Hz;声场计算模型为KRAKEN［15］，假设海面是声压自由边界，海底是半无限空间。不同接收距离时MC 法与NPCE 法计算得到的传播损失概率分布(概率密度函数)如图2 所示，从左至右的曲线对应由近及远的接收距离。由图2 可知在不同的作用距离上，2 种方法一致性很高。

图1 Pekeris 波导Fig.1 Pekeris waveguide

图2 不同接收距离时传播损失的概率分布Fig.2 PDF of transmission loss (TL)at different receiving ranges

其中，当r=10 km 时传播损失TL 与海深D、海水声速c1之间的函数关系式为

将(7)式中的TL 对海深D、海水声速c1分别求导，另一个参数则取其均值，代入不确定参数的具体数值，即可获得r =10 km 时传播损失对D 和c1的局部灵敏度，计算结果分别见图3、图4.

图3 传播损失对海深的局部灵敏度Fig.3 Local sensitivity of TL to D

图4 传播损失对海水声速的局部灵敏度Fig.4 Local sensitivity of TL to c1

从图3、图4 只能给出传播损失对单个变量在某一变化范围内的灵敏度，2 个图纵坐标的单位也不一致，不能据此判断其中哪个变量对传播损失影响更大，所以此时局部灵敏度分析的实际意义不大。

2.2 Pekeris 波导中传播损失对不确定海深和海水声速的定性全局灵敏度分析

图5 对比了r =10 km 时，2.1 节相同仿真条件下海水声速c1取均值1 500 m/s，仅海深D 变化时，以及当2 个参数均不确定时传播损失概率分布的变化情况。

由图5 可知，是否考虑海水声速不确定性，对声传播的概率分布影响非常小，这表明此时传播损失对海深的灵敏度比海水声速的灵敏度要大得多。因此，是否考虑某参数不确定性对声场概率密度的变化情况，可用于定性描述声场对该参数的全局灵敏度。

2.3 Pekeris 波导中传播损失对不确定海深和海水声速的定量全局灵敏度分析

不同距离上传播损失对2 个变量的Sobol 指数如图6 所示。

图5 仅D 不确定以及D 和c1 均不确定时的传播损失概率密度函数对比Fig.5 Comparison of PDFs of TL when only D is uncertain and both D and c1 are uncertain

图6 传播损失对海深和海水声速的Sobol 指数Fig.6 Sobol index of TL to D and c1

由图6 可知，总体来看在相应的传播距离上，传播损失对2 个不确定环境参数的灵敏度以及二者的交互效应指数均呈波动变化，此时海深D 的主效应指数明显高于海水声速c1的主效应指数，说明传播损失对海深D 的灵敏度比海水声速c1的灵敏度更高，究其原因是水层为等声速型声速剖面，故海水声速对声传播影响较小，而海深D 的变化对声传播影响较大;二者之间的交互效应指数较小，即二者交互性弱，相互影响不大;图6 也证明图5 中定性全局灵敏度分析结果的正确性。

因此，针对Pekeris 波导，在研究声场不确定时，可考虑将全效应指数较小的海水声速取固定值(如:取均值)，继而减少不确定环境参数的个数，以简化不确定声场模型，集中精力提高那些对声场影响程度较大的参数的计算精度。

3 结论

运用NPCE 法能够快速获得声场与不确定环境参数之间函数关系式的特性，展开浅海声场对环境参数的灵敏度分析研究，结果表明:

1)将函数关系式对单个不确定参数求(偏)导，即可获得对该参数的局部灵敏度，数学含义易理解。

2)当其他参数同时不确定时，是否考虑某参数变化前后声场概率密度的变化情况，则定性反映了此时水声场对该不确定参数的全局灵敏度;如果声场概率密度变化不大，则可以忽略该参数对声场的影响，无需再进行定量全局灵敏度分析;如果变化较大，则需进一步定量地分析全局灵敏度。

3)Sobol 指数法适于定量计算水声场对多个不确定环境参数的全局灵敏度，可给出单个参数的主效应指数、不同变量间的交互效应指数，前提是需要知道系统输出量与输入量之间的函数关系式，而这恰是NPCE 法的优点所在，故2 种方法结合起来，不但可行，而且计算效率高。

4)在浅海不确定水声场研究中，全局灵敏度分析比局部灵敏度分析更具实际应用意义，可简化浅海环境参数模型。值得说明的是，研究中虽选取含2 个不确定环境参数的Pekeris 波导为例进行灵敏度分析，实际上由文献［12］以及本文方法的适用条件可知，这些方法同样可推广至含更多不确定参数的海洋环境复杂的浅海环境中。

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