空气动力非对称弹丸大攻角旋转共振运动研究及应用

舒敬荣，张继春，常思江

(1.陆军军官学院 二系，安徽 合肥230031;2.南京理工大学 能源与动力工程学院，江苏 南京210094)

0 引言

在实践中，由于制造误差、材料不均等原因，弹丸通常不是严格对称的。为了避免非对称因素在某一固定方向上作用于弹丸导致攻角增大、形成弹道偏差，即使是尾翼弹一般也低速旋转，使非对称因素的作用方位不断改变，前后的影响相互抵消。但此时，由于弹丸旋转，非对称因素的作用方位不断改变，结果形成对弹丸角运动的周期性强迫干扰，如果转速选择不恰当，这种干扰就会使弹丸产生通常情况下需要努力避免的所谓旋转共振运动［1］，从而使攻角变大，甚至导致运动不稳。但另一方面，有些弹药则需要利用这种非对称产生的大攻角以获得某种特定运动姿态，如国外已装备的无伞末敏弹［2-3］，就利用空气动力非对称形成子弹纵轴相对于速度矢量一定角度的旋转运动，从而在目标区域完成螺旋状扫描。此时，既要保证这种非对称性的存在，以使弹丸形成特定形式的运动，又要避免攻角发散增大，导致运动不稳，因此，需要探讨弹丸利用空气非对称形成稳定旋转共振状态的条件。

1 坐标系的建立与坐标转换矩阵

除按普通外弹道学［1］在炮口中心建立地面坐标系Ox0y0z0、在弹体质心C 建立弹体基准坐标系Cx0y0z0外，还须建立弹体固连坐标系Cxyz. 纵轴Cx在圆柱弹体的对称面内且指向弹顶方向(如果坐标原点不在对称面上，则Cx 平行于对称面);法线轴Cy 位于弹体对称面内或者位于平行于对称面的平面内;横轴Cz 由右手定则确定。

如图1 所示，Cxyz 系可由Cx0y0z0系经3 次旋转得到，所以，由Cx0y0z0系向Cxyz 系转换的坐标转换矩阵为

图1 Cx0y0z0 系与Cxyz 系之间的关系Fig.1 The relationship between coordinate system Cx0y0z0 and Cxyz

2 空气动力非对称弹丸受力分析

2.1 弹丸受到的力

将力和力矩表达到Cxyz 系中。

2.1.1 重力G

式中:m 为弹丸质量;gx、gy和gz为重力加速度在Cx、Cy、Cz 三个方向的分量;g 为重力加速度。

2.1.2 空气动力R

式中:q=ρv2/2 为速度头，其中v 为弹丸相对空气的速度，ρ 为空气密度;S 为弹丸特征面积;分别为轴向力系数、法向力系数导数和侧向力系数导数;α 为攻角;β 为侧滑角。

2.2 弹丸受到的力矩

2.2.1 空气动力稳定力矩M

2.2.2 空气动力阻尼力矩MD

2.2.3 马格努斯力矩MMa

2.2.4 非对称空气动力矩M0

式中:mx0、my0和mz0为Cx、Cy、Cz 三个方向的非对称空气动力矩系数。

如图2 所示，M0由空气动力对称轴(零升力轴)在固连坐标系里转过αa、βa角来确定。其中:为由空气动力非对称性确定的平衡攻角;βa= -my0/为平衡侧滑角。力矩M0沿Cx 轴的分量为qSlmx0，它既可是随机的，也可是由故意制造的外形不对称所产生的，例如由不对称的尾翼(如单侧翼)产生的。

图2 压心与固连坐标系Cxyz 的关系Fig.2 The relationship between center of pressure and coordinate system Cxyz

2.2.5 压力中心偏离固连坐标系Cx 轴产生的力矩MΔ

如图2 所示，设压力中心偏离固连坐标系Cxyz的Cxz 平面Δy，偏离Cxy 平面Δz，则

3 空气动力非对称弹丸运动微分方程

将力的表达式代入动量定理，将力矩表达式代入动量矩定理，投影到Cxyz 中，得质心运动和绕心运动微分方程组为

式中:I 为弹丸绕赤道轴的转动惯量;Ixx为弹丸绕极轴Cx 的转动惯量;vx、vy、vz为弹丸的速度在Cxyz 中的3 个分量。考虑到横向角速度ωy、ωz为小量，式中略去了ωyωz项。

4 攻角方程

近似取

对(11)式微分得

将(11)式代入(8)式第1 式得

将(13)式代入(12)式得

将(8)式的第2 式和第3 式两边同时除以vx，并考虑到(11)式、(14)式，经变换后略去含α2、αβ 和β2的项并取vx≈v 得

将(15)式第2 式乘以i 加上第1 式，并令g⊥=gy+igz得复数方程

将(16)式对时间取微分得

将(16)式和(17)式代入(10)式并整理得

式中:

式中:ωc为弹丸俯仰和偏航角运动的频率［1］，

ωkp为临界倾斜角速度，

5 旋转共振状态的研究

5.1 旋转共振状态的产生及定性分析

(18)式描述攻角δ 的变化规律，为了定性分析此方程的稳态解，认为它的系数在所研究的时间间隔内近似为常数，则其通解有如下形式［4］:

式中:ρ1与ρ2为与起始条件有关的复常数;

为特征方程的根;δσ为攻角的稳定平衡值，显然δσ=k3/k2，将(20)式和(21)式代入得

则复攻角的模为

从(34)式可见，攻角与λ 的大小有关，也即与弹丸绕纵轴的角速度ωx与临界角速度ωkp之比有关。显然，当(1 -λ2+Δλ)2+μ2λ2取最小值时|δσ|取最大值。用求极值的方法可得:

一般情况下αg和βg都很小，可以取αg=βg=0，且考虑到通常μ≪1，应用近似关系μ2=0 则得

由(35)式知，|δσ|max正比于而μ 值主要与弹丸的阻尼力矩系数有关，通常很小，所以|δσ|max的值可以大大超过激励它的弱非对称性(δ0)，因此将这种状态称为旋转共振状态。由(25)式知Δλ≪1，所以极大值条件即为λ≈±1，即ωx≈ωkp. 这说明，当弹丸绕纵轴的旋转角速度与临界角速度相等时，弹丸的攻角达到极大值，弹丸发生共振。

在弹丸进入旋转共振状态时，攻角的大小发生剧变(一般变得很大)，角运动的特征也将发生本质的变化。为了进行定性分析，将k 和k2最大程度简化，只考虑弹丸绕纵轴的旋转对攻角变化的影响，即忽略(19)式和(20)式中有关轴向力、法向力、重力、阻尼力矩和马格努斯力矩的项，此时k1= i(2 -IxxI-1)ωx，k2=(1 -λ2).

由(32)式得特征方程的根如下:

由(31)式知此时有

图3 旋转共振时的攻角和侧滑角Fig.3 The angle of attack and sideslip angle in spin resonance movement

可见，在旋转共振状态，攻角由常值项(δσ+ρ1)和具有单一频率|λ2|的圆运动ρ2eλ2t叠加而成，通过一定的设计，可使圆运动的幅值很小且不发散［1］。此时，如图3 所示，速度矢量(点A)以及阻力面在固连坐标系Cxyz 中的位置就象是固定了一样。由于固连坐标系本身又以角速度ω 旋转，故这种形式的运动相应于子弹纵轴绕速度矢量作圆锥运动(精确到ρ2)［5-6］，当子弹质心接近于铅直降落时，子弹纵轴(通常带有敏感器)就实现了所需形式的扫描运动，如图4 所示。

图4 旋转共振时非对称弹的扫描运动Fig.4 The scanning motion of asymmetric projectile in spin resonance movement

5.2 旋转共振状态的稳定性

ωx=ωkp只是共振的必要条件，不是充分条件，因为ωx一般都是从0 连续地增加，ωx=ωkp时间很短。但如果在发生共振的同时，角速度的“重合”保持很长一段时间，即ωx=ωkp维持很长一段时间，则就会产生很大的平衡攻角。此时就说弹丸发生了稳定的旋转共振。下面研究产生稳定旋转共振状态的条件。

在仅有空气动力非对称的情况下，(18)式和(9)式的第1 个方程可以写成如下形式:

式中:

为简单起见，以空气动力对称轴与Cxz 平面共面但非对称为例。此时Δy =αa=0，Δz≠0，βa≠0，从而α0=0，对α 和β 求解(38)式得

对λ 求解方程F1(λ)=F2(λ)得

将所得到的实根λj代入β 和α 的(39)式中即可求得(37)式的各个奇点。

根据系数不同，(40)式可以有1 ～5 个根，故(37)式的奇点数也是相应可变的。图5 表明系统(37)式存在与λj(j =1，2，3)相应的3 个奇点的情况。

图5 系统(37)式有3 个奇点的情况Fig.5 The situation when Eq. (37)has 3 singularities

实际上，从(39)式(取αg=βg=0)可看出，函数F2(λ)是斜率取决于非对称参数Δz 的单参数直线簇。还可看出，不论Δz 为多少，F2(λ)所决定的直线簇均通过点。图5 中绘出了F1(λ)曲线及分别和F1(λ)曲线相切、相交的并与Δz1、Δz2、Δz3(Δz1＜Δz2＜Δz3)相应的3 条直线F2(λ).显然，Δz1、Δz3是参数Δz 的分叉值，与F1(λ)和F2(λ)相切相对应。由文献［7］知，稳定的旋转共振状态由位于共振峰内侧的稳定奇点①确定。

图6 说明了在用斜置尾翼使弹丸绕纵轴旋转的情况下，非对称弹丸在稳定旋转共振状态时的“自转闭锁”效应。如果弹丸的倾斜运动与俯仰、偏航运动不相互作用，则ωx的稳定值要大大超过ωkp(曲线Ⅰ)。由于运动相互作用，当在尾翼导转力矩作用下ωx达到临界值ωkp时攻角和侧滑角就共振增大。于是产生了倾斜非对称力矩MΔ=α，此力矩与斜置尾翼产生的力矩方向相反，从而使ωx减小(曲线Ⅱ的第1 段);在ωx远离临界值ωkp后(曲线Ⅱ的第2 段)，攻角减小，而尾翼导转力矩又开始增大ωx一直到临界值ωkp，然后重复以上过程。

图6 用斜置尾翼导转时非对称弹的“自转闭锁”Fig.6 The spin lock-in of asymmetric projectile when canted fin induces spin

因此，在轻微非对称力矩作用下，弹丸俯仰、偏航和倾斜运动相互作用导致共振条件(即ωx≈ωkp)在长时间里被“保持”。这种稳定的旋转共振状态(即图6 中的曲线Ⅱ)就意味着相轨线落入了决定共振的稳定奇点①的吸引域中。

6 应用算例

根据以上分析，设计了一个空气动力非对称弹体，取空气动力非对称确定的平衡攻角αa=5°;平衡侧滑角βa=12°，压心偏离质心Δz =0.005 m，采用文献［8］模型计算得攻角的变化如图7 所示。

图7 某空气动力非对称弹丸的攻角变化规律Fig.7 The change rule of angle of attack for a certain aerodynamic asymmetric projectile

从图7 可以看出，攻角在约30°处达到稳定。若此时该弹体铅直下降，显然其弹轴就可实现如图4 所示的扫描运动。

7 结论

1)为了保证弹丸以很大的攻角共振旋转，必须满足:弹丸自身的空气动力参数等以及非对称参数Δy、Δz、αa、βa的组合使得(37)式存在决定共振的稳定奇点;弹丸运动的起始条件应使相轨线落入决定共振的稳定奇点的吸引域内。

2)影响稳定大攻角旋转共振运动的参数较多，这些参数对产生稳定旋转共振运动的影响程度各不相同，且若取值不当，可能导致攻角运动发散。因此，各参数的取值范围及不同参数对旋转共振运动特性的影响规律应是深化该项研究工作的重要内容之一。

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