解二元一次方程组有妙招——设参消元法
2014-02-20何建兴
何建兴
摘要：本文结合例题介绍了解二元一次方程组的两种解法，即直接求解和构造求解，旨在给学生学习带来帮助。
关键词：数学学习；二元一次方程组；直接求解；构造求解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0124
利用设参消元法来解二元一次方程组，很少有人注意到，其实，它是一个妙招。结合灵活运用代入消元法和加减消元法，妙上加妙。
解题之关键，在方程组中，选定一个二元一次方程ax+bx+c=0，将常数项c化整为零。构造成形如：a（x+m）=b（y+n） （m、n可为0），然后设参求解。
解法另辟蹊径，避繁就简，新颖独特，广开解题思路。不仅如此，而且更可贵的是利于开发智力，培养学生的创造性思维能力，大有裨益，值得提倡。
为了使同学们有规可循，易于掌握此法。本文所举范例，重过程，少空话。以大家熟悉的九年义务教育三年制初中《代数》第一册（下）2001年审定版教科书的例（习）题为例，用本法给予一题几个优解。供大家品尝回味，各有所得。
一、直接求解
例1解方程组（第24页）
5（m-1）=2（n+3） ①2（m+1）=3（n-3） ②
解法1：由①设5（m -1）=2（m+3）=10k，则
m=2k+1， n=5k-3 ③
③代入②， 得2（2k+2）3（5k-6）.
解得k=2，代入③，得
m=5n=7
解法2： 方程①两边加上10，从而可设5（m+1）=2（n+8）=10k，则
m=2k-1，n=5k-8 ③
③代入②，得4k=3（5k-11），解得 k=3，代入③，得
m=5n=7
解法3：方程①两边减去20，从而可设5（m-5）=2（n-7）=10k，则m=2k+5，n=5k+7 ③
③代入②，得2（2k+6）=3（5k+4），显见k=0，代入③，又显见
m=5n=7
点评：由解法2与3，已经给我们一个启示，由方程①还可以找到更多的解法。上述三种解法是优解。在求解中，找到k=0的解法是妙解。
二、构造求解
例2解方程组（第20页例2）
3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②
解法1：由①可设 3x=4（1-y）=12k，则
x=4k，y=4-3k， ③
③代入②，得20k-6（4-3k）=33
解得k=■，代入③，得
x=6 y=-■
解法2：因为16=12+4，由①可设3（x-4）=4（1-y）=12k，则
x=4k+4，y=1-3k ③
③代入②，得5（4k+4）-6（1-3k）=33，解得k=■，代入③，得
x=6 y=-■
解法3：由①两边减去18，可设3（x-6）=4（-■-y）=12k，则
x=4k+6，y=-■-3k， ③
③代入②，得5（4k+6）-6（-■-3k）=33，解得k=0，代入③，得
x=6 y=-■
解法4：由②易想到33=30+3，可设5（x-6）=6（y+■）=30，则
x=6k+6，y=5k-■ ③
③代入①，得3（6k+6）+4（5k-■）=16，解得k=0，代入③，得
x=6 y=-■
点评：此例所给方程组是一般形式，先构造后求解，是重点掌握。上述四种解法都是优解，特别是解法4更值得一提。
例3解方程组（第24页）
■-■=0 ①■-■=■ ②
分析：一般地，结构复杂的方程组，先化简，再求解。但是，化简时要注意分寸。下面给予两种巧妙解法。
解法1：把方程①的第二项移到右边，然后两边减去1，得
■=■，设4（x-2）=3（y-2）=12k，则
x=3k+2， y=4k+2 ③
②化简为3（x-3）-4（y-1）=1，将③代入，得
3（3k-1）-4（4k-1）=1解得k=0，代入③，得
x=2 y=2
解法2：因为■=■-■，②化简为■=■，设3（x-2）=4（y-2）=12k，则
x=4k+2，y=3k+2 ③
①化简为4（x+1）=3（y+2），将③代入，得
4（4k+3）=3（3k+4），解得k=0，代入③，得
x=2 y=2
点评：把方程组化简为一般式，然后求解。留给读者试一试。
例4. 解方程组（第34页）
4x+7y=222 ①5x+6y=217 ②
解法1：因为222=12+210，由①设4（x-3）=7（30 -y）=28k，则
x=7k+3，y=30 -4k ③
③代入②，得5（7k+3）+6（30-4k）=217，解得k=2，代入③，得
x=17y=22
解法2：①-②，得-x+y=5，可设 x+5=y=k，则
x=k-5，y=k ③
③代入①，得4（k-5）+7k=222，解得k=22，代入③，得
x=17y=22
点评：此例未知数项的系数与常数项的数字都比较大，且相关项的系数也没有倍数关系。显然用两种常规解法是琐碎的。上述两种解法都是优解。特别是解法2，简明精巧。
（作者单位：广西崇左市扶绥县龙头中学 532101）
