引导学生在辨错纠错中走出思维定式的误区

周婷

先说个小笑话，甲问乙：“小明的弟弟叫二毛，二毛的哥哥叫什么？”乙不假思索，立即答道：“叫大毛。”乙为什么会犯错误？这就是思维定式作祟的典型表现。在乙的心理中，“二毛”的哥哥当然是“大毛”了。由此进一步思考发现这个有趣的小故事，对数学教学有一定的启迪作用。

数学中的思维定式有一定的积极作用，但也有负面作用。按已知的双基模式进行常规程序化的操作，反映出的思维方式就是思维定式。虽不能完全否认这种思维方式的功能，但若长期习惯于这种思维方式，就会现出稳定、固化和定向的特点，使思维受到束缚而使视野变得狭窄、肤浅和片面。特别是当遇到问题情境发生变异，或问题含有某种“陷阱”时，这种思维方式对于问题的解决不仅很难奏效，反而会陷入误区，使解题产生错误。

本文就这个议题，谈谈如何引导学生在辨析错误和纠正错误的过程中走出思维定式的误区，从而发展思维创造性、批判性、广阔性和深刻性。

一、盲目套用固定的法则，导致错误

学生遇到“狡猾”的问题时，常受题设表面信息或法则的暗示，将解题纳入自己熟悉的习惯性轨道，就很容易导致错误。

例1.在■与n（n∈N*）之间插入n个数，使这n+2个数成等比数列，则这n个数的乘积为 。

不少学生由等比数列的性质a1an=a2an-1=…很快得所求乘积为n×■=1。

师：请用具体数字试试。

有学生取n=3，得所求积确实为1，但有学生取n=5，却得所求积为±1。

严峻的事实使学生明白这n个数的中间数可能为1，也可能为-1，所以正确答案应为1或-1。说明学生思维在不断深入。

例2.在平面直角坐标系中，有点A（2，4）、B（5，7），现将向量■按向量■=（-1，3）平移，则平移后所得向量■的坐标为 。

许多学生略作思索，迅速获解，得■=■-■=（5，7）-（2，4）=（3，3）。

则按向量■=（-1，3）平移后，所得向量■的坐标为（3，3）+（-1，3）=（2，6）。

师（明知学生错了，但此时却不动声色，启发学生进行自我批判）：若A（2，4）、B（5，7）两点按向量■=（-1，3）平移，则平移后所得两个对应点C、D的坐标分别是 。

生（暂时不明就里）：因为■+■=■，（2，4）+（-1，3）=（1，7），所以得C（1，7），同样得D（4，10）。

师：那么按此结果，可得■的坐标为 。

生：■的坐标为（4，10）-（1，7）=（3，3）

师：嗨，■的坐标怎么有了两个答案啦？

生（大受刺激，思考后迅速作出反应）：（3，3）是对的。

师：错误是怎么产生的？

生：用向量的加法运算，得到的是点的坐标，但不管如何平移，向量的坐标是不变的，所以■=■=（3，3）（如图1）。

■

学生感到大受启发，今后可不能盲目地进行似是而非的简单操作了。

二、观察角度片面，导致错误

例3.三棱锥S-ABC中，三条侧棱SA、SB、SC的长度分别为4、5、6，且两两互相垂直，求三棱锥S-ABC的体积。

教师故意将图形画成图2的模样，不少学生果然上当了，他们误认为这个三棱锥的底只能是△ABC，于是题解陷入困境。

■

师：请注意三条侧棱两两互相垂直，三棱锥的底一定在下方吗？

学生立即反应过来，△SAB、△SBC、△SCA都可以为底啊！（解略）

学生的笑声表明他们的思维由刻板走向灵活。

例4.关于x的方程ax2+x+1=0（a>0）的二实根为x1、x2，若■∈[■，10]，求a的最值。

学生开始按常规思路来解，很顺利地得出

x1+x2=-■ ①x1x2=■ ②

设■=k，则x1=kx2，①②两式变为x2（k+1）=-■kx22=■

消去x2，得a=■=■=■

因为k+■≥2，当且仅当k=1时，k+■有最小值2，所以a有最大值■。

师：a有最小值吗？（“狡黠”的一问，声音虽不大，但极具穿透力与震撼力）

生：关于k的函数k+■在（0，1]与[1，+∞）上分别是减函数与增函数（证明略），而k∈[■，10]，所以当k=■，或k=10时，k+■有最大值■，则a有最小值■，此时此刻，学生感到心灵通透、回肠荡气，那是必然的了。

三、题设条件认识肤浅，导致错误

对题设条件提供的信息，有的学生读题只停留在表面，多凭直观的思维定式给出解法，不去深入地思考和仔细地观察。事后多以“粗心大意，心浮气躁”来解释。

例5.当实数a满足什么条件时，圆（x-a）2+y2=9与抛物线y2=2x有公共点？

错解1：由（x-a）2+y2=9y2=2x消去y得x2+2（1-a）x+a2-9=0①

∵两曲线有公共点 ∴方程①有实数解，

则Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0 ∴a≤5

错解2：∵y2=2x≥0 ∴方程①的解是非负的

则Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0-2（1-a）≥0a2-9≥0 ∴3≤a≤5

教师带领学生一道进行辨析：

解法1中学生只考虑方程①有实数解，没有进一步思考方程①的有解与方程组的有解是否等价，更没考虑到方程①应该有什么样的解。

解法2中学生看到有限制条件y2=2x≥0，但认识仍然不全面，只是机械地应用题设条件，没能深入分析条件隐含的信息，实现等价转化。

根据直觉直观解题是解题的重要手段，许多重要的数学发现甚至发明创造也多来源于此。如果只停留在表面，不做进一步深入的思考，牛顿可能也只知道苹果熟了会掉下来，而发现不了万有引力定律。在教学过程中教师应有意识地多创设干扰环境，让学生在失败中逐步提高思维的深刻性，养成深入透彻地分析定义、定理、公式法则的内涵和外延的习惯，有效地消除思维定式的消极影响。

四、对双基的掌握不准确，导致错误

学生由于认识的肤浅，对双基的掌握常有不准确的缺陷，教师应选择典型问题帮助他们克服这种弊端。

例6.已知等差数列an，bn，前n项和分别为Sn，Sn′且■=■，求■。

生：由已知，可设Sn=（2n+2）k，Sn′=（n+3）k（k为常数）

则■=■=■=2

师：两个等差数列前n项和之比肯定为某一常数吗？

生：Sn=an2+bn（a≠0），是关于n的二次函数式。在除式■中被约去的是kn，该学生简单理解为约去k形成错解。

正确的解答为■=■=■=■

又根据等差数列的性质知a7=■（a1+a13），b7=■（b1+b13）

则■=■=■=■

由上述几例可以看出思维定式消极影响的严重性。如何在教学过程中引导学生有效地消除上述不利情形，如何提高學生对知识理解的深度，掌握和应用的正确性，笔者有如下建议：

1.注意运用反例和特例，通过反例和特例鲜明的直观特征，引起学生更多的注意，也易于学生接受。

2.教授概念、公式和定理时，引导学生深入分析它们的内涵和外延，正确认识知识之间的联系和区别，减少死套公式，张冠李戴的思维定式错误。

3.逐步在学习过程中培养和提高学生的思维品质，形成改组思维定式的基础。只有当学生思维具有广阔性、严密性和灵活性，善于多方向、多角度地思考问题时，思维定式才可以发挥其积极作用。

？誗编辑 张珍珍