利用投影法选取重积分的上、下限

郭 新

(濮阳职业技术学院数学与信息工程系，河南濮阳，457000)

在计算二重积分和三重积分这样的重积分时，一般都是先将它们化成相应的累次积分。在化的过程中，往往要用到投影法确定积分的上、下限，然后再运用定积分的计算方法来计算。

一、二重积分上、下限的选取

即

从中可以看到，二重积分的上、下限实际上是定积分的上、下限与被积函数f(x，y)。

二、三重积分上、下限的选取

在直角坐标系下对三重积分进行计算，在将三重积分化为累次积分时，可以使用坐标面投影法和坐标轴投影法，具体方法的使用还要看实际问题的情况，适合哪个方法就用哪个方法。

(一)坐标面投影法

如图1，闭区域Ω={((x,y,z)|z1(x,y)

图1 坐标面投影法

过任意点(x,y)作一条平行于Z轴且垂直穿过闭区域Ω的直线，该直线与区域Ω的边界至多有两个交点z1(x,y)和z2(x,y)。这种区域类型称为XY型空间区域。

计算方法如下：

(1)将x,y当作常量，那么三元函数f(x,y,z)就变成只关于变量z的一元函数。由定积分的积分法可得

(2)把Ω投影在xoy平面上，得到平面区域D，结合二重积分和积分法可得

D={((x,y)|a

(3)化三重积分为累次积分为

同理我们可以得到yz型和xz型空间区域及它们的算法。

(二)坐标轴投影法

如图2，闭区域Ω={((x,y,z)|e

图2 坐标轴投影法

具体方法如下：

把积分区域Ω投影到坐标轴Z，得到投影区间z∈[e,f]，取∀z∈[e,f]，作平行于xoy面且过点(0,0,z)的平面，得到它们的截面，则三重积分可化为

再在平面区域D上，对变量x,y进行二重积分的计算，得到

从而得到

例：求平面x+y+z=1与三坐标面所围成的四面体的体积。

解：由题意知，四面体在xy平面上的投影是直线x=0，y=0,x+y=1，所围成的三角形平面区域D，则

投影法是数学思想方法中的化归思想在积分学中的直接运用，也是微元分析法的本质规律在公式化方法中的彰显。它不仅易于接受和掌握，而且可以拓展到极坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下使用。

[1] 程红萍，钟忠銮.高等数学：第三版[M].上海：同济大学出版社，2012.

[2] 刘玉琏.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 常瑞玲.利用投影法选取积分的上、下限[J].濮阳职业技术学院学报，2008(1).