关注几何图形的多样性 凸显分类讨论思想——分类讨论思想在解题中的应用及思考

☉江苏省东海县白塔初级中学 张雪梅

关注几何图形的多样性 凸显分类讨论思想
——分类讨论思想在解题中的应用及思考

☉江苏省东海县白塔初级中学 张雪梅

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要作用.分类讨论思想是中学数学中一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解.在某些几何问题中，由于图形的不确定性或图形的多样性，使问题存在多解情况，在解决这类问题时，一定要考虑全面，最好画出不同情况下的几何图形，然后结合不同的几何图形分别进行求解，即在求解过程中一定要渗透分类讨论思想，否则很容易出现解题失误.本文以近几年各地中考试题为例，说明当几何图形不确定时，分类讨论思想在解题中的应用，供读者参考.

一、分类讨论思想在解题中的应用

1.分类讨论思想在三角形中的应用

在涉及等腰三角形或三角形的剪切与折叠等几何问题时，由于图形的多样性或不确定性，导致几何问题有多解，在解决这类问题时，一定要全面考虑，画出不同情况下的几何图形，分别进行求解.

例1 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为______.

解析：已知的是一边上的高，可分底边上的高和腰上的高两种情况.当为腰上的高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况.

（1）如图1，当AD为底边上的高时，因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD.

在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，

（2）当CD为腰上的高时，分两种情况.

图1

①如图2，若等腰三角形为锐角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，由勾股定理，得所以BD=AB-AD=5-4=1.

图2

②如图3，若等腰三角形为钝角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，由勾股定理，得所以BD=AB+AD=5+4=9.

图3

在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，由勾股定理，得BC=

点评：在涉及等腰三角形的边、高、角等计算问题中，如果问题中没有明确说明哪条边是等腰三角形的底边与腰，或等腰三角形的高是底边上的高还是腰上的高，或哪个角是顶角与底角，在解决这类问题时，一定要注意多角度全方位考虑，一定要有分类讨论的意识，并运用数形结合思想来解答问题，否则很容易出现错误，在教学中应十分重视分类讨论思想的培养.

2.分类讨论思想在四边形中的应用

例2 已知正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是______.

解：（1）如图4，当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，因为正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，由AB=AD，AE=AF，得△ABE≌△ADF（SSS），所以∠BAE=∠FAD.

A：力嘉投资建立的潮阳力嘉中学在2012年7月11日举行落成庆典并交付使用。从最初投资的4000万元开始，至今已经投入了7000万元，全校共2600人，每个班平均都在60人以上，且学校的规模还在不断扩大。

图4

因为∠EAF=60°，所以∠BAE+∠FAD=30°，所以∠BAE=∠FAD=15°.

图5

（2）如图5，当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，因为正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，由AB=AD，AE=AF，得△ABE≌△ADF（SSS），所以∠BAE=∠FAD，所以∠BAF=∠DAE.

因为∠EAF=60°，所以∠BAF+∠DAE=360°-60°-90°=210°. 所以∠BAF=∠DAE=105°.所以∠BAE=∠FAD=105°+60°=165°.

故答案为15°或165°.

点评：本题考查的知识点比较多，包括正方形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等.利用正方形的性质和等边三角形的性质，可证△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质和已知条件可求出当BE=DF时∠BAE的大小.由于正三角形AEF可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，所以要分两种情况讨论求解.

3.分类讨论思想在圆中的应用

解析：本题给出直角三角形的两边长分别为16和12，并没有具体说明是斜边和直角边还是两条直角边，故需分类讨论.

（1）当16和12是两条直角边时，可得此直角三角形的斜边长为20，故此三角形的外接圆半径为10；

（2）当16和12是斜边和直角边时，此三角形的外接圆的半径为8.

故答案为10或8.

点评：本题主要考查勾股定理、直角三角形的外接圆的半径与斜边的关系.解决本题时，一定要认真审题.肯定有部分师生由于思维定势的影响，认为16和12就是两直角边的长，从而忽略掉另一种情况，从而造成解题失误.解决本题时最好先画出图形，再运用分类讨论的数学思想进行解答.

二、两点思考

1.广大教师在教学中要渗透分类讨论数学思想，培养学生良好的思维习惯

分类讨论思想是在数学知识发生和应用的过程中形成和发展的一种解题思维方式.在数学教学中，广大教师不但要重视数学知识应用的教学，而且要重视形成基本技能与基本数学思想方法的教学，把分类讨论思想的训练渗透于教学始终，充分揭示数学思维过程，帮助学生了解问题的本质，提高学生分析问题和解决问题的能力.在几何图形或运动的点的位置关系不确定时，通过分类讨论数学思想的运用可使解题思路清晰，不出现重复和遗漏答案的现象.因此，引导学生掌握分类讨论的思想方法，有利于培养学生全面观察问题、灵活处理问题的能力，这样才能使学生养成良好的思维习惯.

2.运用分类讨论思想解题时，选择正确、合理、严谨的分类标准是解决问题的关键

分类讨论思想是中学数学中常用的一种思想方法，也是近几年中考命题考查的热点.运用分类讨论思想解题时，要抓住问题的本质，认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重不漏，条理清晰.运用分类讨论思想解题的关键是在解题中选择正确、合理、严谨的分类标准，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力，发展他们思维的条理性、严谨性和完整性.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.