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双参换元,构造二次曲线巧解含根式问题

2014-02-01江苏省泰兴中学吴卫东

中学数学杂志 2014年2期
关键词:二次曲线根式动点

☉江苏省泰兴中学 吴卫东

双参换元,构造二次曲线巧解含根式问题

☉江苏省泰兴中学 吴卫东

一般来说,利用代数方法解决含根式的问题比较繁琐,因为对根式而言,变形的主要方法是平方.由上面的简单例子可以看出,函数与方程之间存在着必然的联系.本文结合近几年来的竞赛或高考试题,通过引入两个变量,即双换元的方法,将代数中的根式问题转化为解析几何中的二次曲线问题,总结出几种常用的转化途径.

途径1 转化为二次曲线上的动点与定点之间的距离问题

点评:引入双参数后,转化为圆上的动点到一个定点的距离的范围问题.

途径2 转化为二次曲线的动点到一定直线的距离问题

点评:(1)引入双参数,转化为圆上的点到定直线的距离的范围问题;

途径3 转化为过二次曲线的点的直线系的纵截距问题

例3(2013年全国高中数学联赛江西预赛)

途径5 转化为二次曲线上的点与定点连线的斜率问题

总之,通过引入双参数,将根式变为有理式,充分挖掘代数式所隐含的几何特征(如距离、截距、斜率等),构建平面直角坐标系与二次曲线,利用点、直线与二次曲线的的关系(相切、过曲线弧的端点等),巧妙地将代数问题转化为解析几何问题去求解.

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