基于“几何画板”平台的数学课堂探究教学的研究——从一堂成功的“信息技术与数学学科整合课”谈起

☉江苏省无锡市水秀中学 薛 莺

☉江苏省无锡市江南中学 童伟伟

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈 锋

基于“几何画板”平台的数学课堂探究教学的研究
——从一堂成功的“信息技术与数学学科整合课”谈起

☉江苏省无锡市水秀中学 薛 莺

☉江苏省无锡市江南中学 童伟伟

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈 锋

2013年11月无锡市滨湖区名师工作室展示课上，无锡市太湖格致中学陈锋老师上的一节《图形中质点的运动》（九年级专题复习课）受到了听课专家和老师的一致好评，这节课展现了现代教育技术支持下的初中数学探究性学习的课堂，下面利用信息技术呈现该课的教学设计并作相应点评，抛砖引玉，希望能与大家做深入的探讨与交流.

一、课前预设——从几何画板运用的角度对课堂探究教学进行设定

1.教学媒体设计

基于几何画板软件在数学探究教学中，功能强大却又操作简单的优势，提供一个理想的让学生积极探索问题的探究教学环境，通过创设虚拟的“数学实验室”，实现学生作图绘画、图像处理、动态分析、仿真运动等操作，激发学习者的潜能多元智能发展.在设计时考虑到学生现有的智能发展水平的差异，尽可能设计一些不同的智能领域的操作演示，满足不同层次学生的需要.

2.教学策略设计

根据本节课的内容和学生实际水平，利用几何画板软件辅助教学，引导学生经历观察、猜想、实际操作验证、分析归纳推理等数学活动过程.①采用启发式教学法，引导学生展开丰富的想象，引导学生以动中观静、动静互换为突破口；②通过观察法，直观地感受图形运动过程，变抽象为具体；③利用操作法，通过动手操作、自主探究来提高学生运用信息技术的能力；④运用讨论法，培养学生尊重科学、尊重事实、严谨细致的科学态度，发展学生自主探究、合作交流和分析归纳的能力.

3.教学流程设想

二、教学过程——从几何画板运用的角度对课堂探究教学进行展示

1.创设情境，引出课题

（1）观察.

让学生观察工作中的雷达显示屏，雷达显示屏中什么在变化？（借助实际模型让学生思考）

（2）比较.

通过学生的观察比较，引导学生思考：当雷达显示屏上指针在运动变化时，其他有没有也随之变化？

（3）引题.

问题：由雷达显示屏上指针在运动变化，引起了其他哪些元素的变化？

【几何画板运用点评】选用生活实例，引进计算机模拟仿真演示，改变原来只凭学生想象的教法.巧妙地利用几何画板的特点，增强教学内容的趣味性，为学生创设良好的教学情境，最大限度地激发学生的学习兴趣，调动学生的求知欲望，又让学生带着问题探索规律，从而很自然地引出课题.

2.探究规律，建立模型

探究活动一：如图1，△ABC中，C

∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点

P、Q分别在线段BC和AB上，点P以

0.8 cm/秒的速度从点C向点B运动，点Q同时以1 cm/秒的速度从点A向

点B运动.设运动时间为t.

（1）CP＝_____，BP＝_____，AQ＝_____，BQ＝_____.（用含t的代数式表示）

（2）在运动过程中，线段PQ与线段AC的位置有无发生变化？它们有怎样的位置关系？

（3）设△PBQ的周长为p，则p与时间t有什么函数关系？

教师引导步骤：

①通过几何画板动态演示，探求由点P、Q的运动引起了哪些元素的变化，引导学生将点P、Q的运动统一到直线PQ的运动过程中.

②第二问探求线段PQ与线段AC的位置关系时，引导学生思考在运动过程中，为什么线段PQ与线段AC的位置没有发生改变，电脑再次利用几何画板的动态演示，引导学生观察运动中的不变关系.

【几何画板运用点评】通过几何画板的动态演示，鼓励学生大胆猜想，并从问题的信息中找到切入点，即寻找不变关系，初步体会质点动静互换的思想.

③第三问探求p与t之间的函数关系式时，强调相似三角形的性质的应用，通过添加辅助线PQ，应用相似三角形周长的比等于相似比的关系，建立所求△PBQ的周长与时间t之间的等量关系，从而转化成函数关系式.

【几何画板运用点评】通过几何画板的动态演示，添置辅助线PQ，通过添置辅助线，构造了相似三角形，构造了p与t之间的函数关系，从而体现了数形结合的思想和函数思想

小结规律一：动中观静.

所谓的”静”指的是问题中的不变关系和不变量，动中观静就是抓住运动变化过程中的不变关系和不变量，以不变应万变，迅速把握问题的实质.

【几何画板运用点评】利用几何画板动态地、探索式地表现点的运动，让学生在演示的过程中，反复观察运动中线段和三角形的特点，实现空间想象能力的培养，让原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、优美感人的舞台.

探究活动二：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P、Q分别在线段BC和AB上，点P以0.8cm/秒的速度从点C向点B运动，点Q同时以1 cm/秒的速度从点B向点A运动.设运动时间为t.

（1）CP＝_____，BP＝______，BQ＝_____.（用含t的代数式表示）

（2）在运动过程中，线段PQ与边AC能否互相平行？若能够平行，求出这时t的值；若不能够平行，请说明理由.

教师引导步骤：

①通过几何画板的动态演示，令学生明确将质点P、Q的运动统一到直线PQ的运动中.其次探求时间t对直线PQ与三角形的边的位置关系的影响，由学生说明线段PQ与边AC能否互相平行、线段PQ与边AB能否互相垂直.

②在肯定了学生的思考后，教师再利用几何画板动态演示.

【几何画板运用点评】以布鲁纳的发现学习理论为指导，通过几何画板强大的动态变化功能，以浓缩的形态给学生提供参与和亲手操作的机会，让枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，学生原本不明白或不甚明白的题目等变得一目了然，让学生在感性认识上进行理性思考，为形象思维到抽象思维的过渡架起了桥梁，体现了教学的直观性原则和操作性.

③教师第三次利用几何画板的动态演示，请学生思考线段PQ与边AC互相平行可以得到什么，在肯定了由平行可以得到三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例，求出“线段PQ与边AC互相平行”时t的值.

④几何画板动态演示线段PQ运动时，线段PQ与边AC互相平行，这一静态下的位置关系，引导学生从动态转到静态，利用数形转化思想和方程思想，师生共同求出相切时t的值，解决了静态下的位置关系，

【几何画板运用点评】在几何画板探究过程中渗透转化思想和数形结合思想，使学生体会了由一般到特殊的辩证思想，学会在动中取静，把动态问题转化为静止状态来解决，而边探索边小结既符合学生的认知规律，又逐步建构了知识系统，深化了教学重点.

小结规律二：动静互换.

动和静是互相矛盾的两个方面，它们在一定条件下互相转化，灵活地进行.当碰到动态问题时，要善于动中取静，先把动态问题转化为静止状态来解决，由一般到特殊，再由静到动，由特殊到一般，动静互相转化则能收到意想不到的效果.

3.学以致用，解决问题

探究活动三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P、Q分别在线段BC和AB上，点P以0.8 cm/秒的速度从点C向点B运动，点Q同时以1 cm/秒的速度从点B向点A运动.设运动时间为t.

（1）设△PBQ的面积为y，求y与t的函数关系.

（2）△PBQ的面积能否等于4.5 cm2？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由.

（3）（1）中的面积y有没有最大值？最大值是多少？若有最大值，求出这时t的值.

学生自主实践体会：请一个学生上台利用几何画板动态演示，由学生运用刚学的解题思路解决问题，从而体会数学来源于实践，又作用于实践.建构主义者设计教学的依据是“在问题中学习”，通过实际问题的解决，使学生不仅学以致用，而且体会到成功的喜悦，更能激发学生对学习活动的持续关注，使学生处于学习活动的核心.

【几何画板运用点评】利用几何画板“数学实验室”的交互功能，给了学生参与的机会，可以让学生在自己操作中“学数学”、“做数学”，实现自我学习，使学生的想象力得到充分发挥，为探究性学习提供了极大的可能，同时学生对自己的任何发现，又可以利用几何画板得到及时地验证.

4.操作实验，应用举例

探究活动四：如图4，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P、Q分别在线段BC和AB上，点P以0.8 cm/秒的速度从点C向点B运动，点Q同时以1 cm/秒的速度从点B向点A运动.设运动时间为t.则在运动过程中，△PBQ能否成为等腰三角形？若能，请求出这时的时间t.

学生自主探究步骤：

①学生自主利用几何画板动态演示线段PQ的运动过程，其他学生观察△PBQ形状的变化.

②在线段PQ的运动过程中，△PBQ能成为等腰三角形的形状有哪几种可能？

③再次利用几何画板的动态演示，验证自己猜想的结果，说明在△PBQ为等腰三角形不同形状下边的关系有何不同.

④学生利用准备好的模型动手实验，分小组讨论，△PBQ为等腰三角形处于不同的形状时所对应的t的值.

在此过程中，使学生明确解决本题的关键是通过了解图形的动静交替，通过常量和变量的交替转化，从而求出△PBQ成为等腰三角形时的时间t的值.

【几何画板运用点评】先借助几何画板的动态演示，学生观察，使质点的运动和三角形形状的变化变抽象为直观，使难点分散，易于理解.学生在感性认识的基础上，通过动手实验，根据条件作出或画出图形，验证自己由观察而得出的结论，符合循序渐进，由感性到理性的认知规律.

（1）教师请学生发言公布自己研究的结果，并利用几何画板的动态演示，对不同时间下的图形的形状进行矫正，由此使学生深入理解题意.

（2）师生共同探讨不同状态，通过归纳和类比，最终体会质点运动变化探索性问题的解决规律.

【几何画板运用点评】利用几何画板测算线段长度的功能，加强学生的感性认识，便于学生分析运动问题中各要素之间的关系，联想到图形中线段长度的求法；利用几何画板的动态演示功能，帮助观察、比较、分析图形的变化，从而运用分类思想对不同情况下时间t的值进行讨论，加强了学生的转化能力.

5.反思整合，总结提高

本课的探究从质点的运动，到线段的运动，最后到三角形的运动，由点到线再到面，而后两者的变化都是由质点的运动变化而引起的，深入揭示了物体的运动都是由质点的运动而引起的.

【几何画板运用点评】本课的四个探究题将质点运动探索性问题的不同类型进行了统一，从而将本节课的知识条理化，有助于突出重点和突破难点.利用几何画板的动态演示呈现图形，学生操作，独立解题.利用几何画板的动态演示把运动过程设计成动态过程，变抽象为直观.题目设计体现分层教学思想，面向全体学生，并培养学生思维的发散性和深刻性，使其具有良好的思维品质

三、课后点评——从几何画板运用的角度对课堂探究教学进行再认识

1.利用几何画板软件，在数学动态教学中容易突破教学重点和难点

利用几何画板软件，在数学动态教学中可以更容易突出数学教学的重点，突破数学教学的难点.本节课的教学难点是利用几何画板软件来分解的，它可以通过两个途径，一是几何画板的动态演示，使抽象问题具体化，同时优化了教学过程；二是学生小组合作，通过几何画板亲自动手实验，验证自己的猜想，解决动态问题，从而使学生在感性认识的基础上进行理性思考，这样更加符合数学教学的循序渐进原则、层次性原则和全面性原则，通过几何画板的动态演示使实际问题的解决更容易，使学生更容易理解和接受对新旧知识进行的同化和顺应.同时数学的抽象性决定了很多知识仅靠讲授或在黑板上画图很难让学生理解，而通过几何画板软件可以进行视、听、触等多种方式立体化、形象化教学，让学生真正理解数学解题方法、解题思路，学会运用数学提供的中间桥梁来建立想象.所以根据学生的认知规律与心理特点，精心设计的几何画板软件优化组合运用到数学课堂的动态教学中，能突出重点，突破难点，逐步培养学生的思维能力，同时学会主动探究问题.比如本节课在操作实验环节中难点的突破，利用几何画板软件展示的质点的相对运动而引起的三角形形状的变化，充分揭示了三角形形状随时间t的变化而变化，学生在利用几何画板动手实践后，就能比较容易确定等腰三角形不同形状时时间t对应的值，从而理解图形之间的转换关系.除此以外，利用几何画板软件辅助教学可以代替部分传统的板书，节省了时间，所以知识容量大，从而增强课堂密度，提高教学效率和质量，增加师生的互动与交流，为突破教学重点和难点提供了有利条件.

2.利用几何画板软件，在数学动态教学中可以培养学生多种能力

心理学家皮亚杰曾指出：“思维是通过操作来实现的，能力是在动手实验中内化的.”尤其是学生学习能力的形成和智慧的发展阶段，为学生提供充分的时间、空间和动手实验的可能性，通过学生动手“做数学”，引导学生进行数学的“再创造”活动，促使其认知结构获得更新，得到重建，同时，培养学生的整体观察力、操作力、思维力、创造力.而几何画板软件就可以为学生建构一个做数学实验的场所，学生动手动脑，通过几何画板的动态演示，对学生分析、探究、解决问题的能力大有裨益，从而让学生深入理解数学元素之间的相互关系和转换，运用多种感官获取信息，体验数学实验并学会自主探索.比如本节课问题的提出、探究和解决，都通过几何画板软件体现教学过程的交互性，使学生利用自身优势，发挥自身潜能，选择适合自己的实验方法和角度，使自身的各种能力得到积极主动的发展.

利用几何画板软件可以展示数学结论的形成过程，可以培养学生综合运用知识的能力，可以让学生建构关于质点运动的知识，培养学生合情推理的能力，加强多种数学思想如函数思想、数形转化思想、数学建模思想等的渗透.与此同时，培养学生科学的辩证思想，让学生将抽象的数学问题具体化.几何画板软件可以引导学生顺着知识的阶梯和学生的认知规律进行探索，步步递进，层层深入，逐步揭示，让不同层次的学生通过问题的发生和解决，主动、愉快地接受新知.比如本课在探究规律环节的探究活动一中，两个质点运动过程的电脑动态演示揭示了线段PQ与线段AC的位置关系，而且使学生观察到结论的形成过程，而这种位置关系的演变使学生有深刻的感性体验，为形象思维到抽象思维的过渡架起了桥梁，体现了教学的直观性原则和创造性原则.

3.利用几何画板软件，在数学动态教学中可以提供良好的学习环境

为学生提供良好的学习环境，可以使学生更容易构建数学知识结构，本课运用几何画板软件建构了一个比较良好的数学学习环境，优化了学生的认知环境，促进学生主动学习.利用几何画板软件充分调动学生的听觉、视觉、触觉等各种器官，使学生的眼、耳、手等器官综合参与，为学生提供观察、操作、实践和独立思考的环境.如本课一开始所抛出的问题，探求由点P、Q的运动引起了图中哪些元素的变化，学生可以亲手通过几何画板软件随机取点，直观地演示由质点运动引起了图形中其他元素的变化，从而引起学生高度的注意，唤起学生自主参与的欲望和学习的动机，让基础较差的学生也能直观的观察到，从而使其树立信心，积极参与课堂教学.

4.利用几何画板软件，在数学动态教学中可以体现学生的主体地位

充分利用几何画板软件在问题情境创设、资源提供及人机交互方面的优势，可以改变以传授和灌输为主要方式的课堂教学模式，实现以学生主体的学习活动为基础的课堂教学，吸引全体学生参与学习活动，为学生创设既能满足学生的个体差异，又有助于形成协作学习的氛围，根据学生的实际情况，因材施教，因地制宜，抛出问题，通过学生利用几何画板软件随机取点的实验，自然而然地引发学生主动地思考由质点的运动变化引起的探索性问题，该寻找什么样的切入点解决问题，这样容易激发学生学习的主动性和积极性，学生自主探索总结质点运动探索性问题的规律，逐步自主地建构了知识系统，从而提高学生应用所学知识解决简单的实际问题的能力，为学生主体性、创造性的发展创设良好的基础，使学生开阔视野，朝着自主、探索的学习方向发展.在这节课中，几何画板软件的运用既符合学生的认知规律，又激发了学生对学习活动的持续关注，始终使学生处于教学活动的主体地位.

几何画板软件在数学探究教学中的运用，根据数学教学内容，掌握学生的学习行为特点和认知规律，有效地选择，灵活应用，突出教育性，充分体现了建构的四要素，即情境、协作、会话和意义，同时还应结合学生的认知原则，发现学习理论，认知同化学习理论等，这样才能使几何画板软件真正在数学探究教学中发挥实效.

1.陈锋，薛莺.对初三“圆的复习课”的几点感悟［J］.中学数学（下），2013（5）.

2.陈锋，薛莺.多元化的“微探究”：从机械记忆走向理解建构［J］.中学数学（下），2013（9）.WG