圆变方孔型的系数设计法

曹国富

（佛山市万乘实业有限公司，广东 佛山 528315）

0 前 言

焊管先成圆后成方的工艺在中小型焊管生产线上应用十分广泛，设计方法也多种多样，但都存在两个问题：①需要人为设定一个变形参数，以推动整个设计得以进行。这样就因个人知识多寡、经验丰歉等因素产生一定的设计风险；②大多计算较为繁杂，计算量大，设计效率低。

圆变方孔型的系数设计法既不需要人为设定变形参数，又能简化设计程序、减少计算量、提高设计效率，并且对本次设计效果可预知。这是因为圆变方孔型的系数设计法有其独特设计方法和设计思路。

1 圆变方孔型系数设计法的思路

圆变方设计的初始圆及变形花如图1所示。可看出，在按公称尺寸设计孔型时，初始圆上(a在数值上等于方管边长a（以下均用a表示），则先成圆之圆直径D与方管边长a存在（1）式所示的函数关系

同时，圆变方之初始弓形高h与方管边长a也存在（2）式所示的函数关系

图1 圆变方设计的初始圆及变形花

虽然（1）式和（2）式对图1而言表达的内容不同，但是都是以 “系数×方管边长”的形式表现方管边长与圆的关系。这意味着有可能通过一定的数学变换，将各道孔型各部位曲线的函数表达式也变换成 “系数与方管边长”相乘的形式，并且，由（1）式和（2）式所决定的各道次设计系数应该对所有圆变方孔型都适用。或者说，在总变形道数一定的情况下，所有圆变方孔型第道次的设计系数都相同。倘若能实现这一构想，那设计圆变方孔型就简单方便快捷多了。

2 圆变方孔型的系数设计法

2.1 系数设计法的内涵

根据设计思路，所谓圆变方孔型的系数设计法是指将圆变方孔型各道次、各部位曲线的函数表达式都以一个对应固定的系数μi（λi）或一个关于μi（λi）的表达式与方管边长a相运算的形式来表示，即

式中：ai（a）—圆变方孔型第i道次内接正方形边长的函数；

Ri（a）—圆变方孔型第i道次变形半径的函数；

λi—关于函数ai的各道次孔型设计系数；

μi—关于函数Ri的各道次孔型设计系数；

i—变形道次；

N—总变形道次数。

式（3）这组函数关系一但确定之后，就对所有圆变方孔型都适用。该式两个方面的含义：

（1）在变形总道数已定和按公称尺寸设计原则设计孔型的前提下，所有圆变方孔型的设计系数只有 N 对，即 μi=μ1，μ2…μN和 λi=λ1，λ2…λN，且每道孔型不论方管边长如何变化，也不管是箱式孔型还是斜出孔型，都只有唯一一对设计系数与之对应。

（2）在每一个圆变方孔型表达式中，只涉及两个参数，一个是被固化了的设计系数 （μi或λi），一个是方管边长a。由此可见，在系数设计法中，真正的变量是方管边长a。设计时，只需将自变量a带入进行运算即可获得圆变方孔型参数。

当然，这些是以一定设计原则为前提的。

2.2 系数设计法的设计原则

2.2.1 以弓形高为变形量的原则

在圆变方过程中，实质上是弓形高从初始值变为0的过程。之所以选择弓形高为变形量，是因为采用平均递减弓形高来变形，管坯变形比较平稳，轧辊孔型面受力也比较平均。由（2）式得弓形高的道次平均递减变形量

继而，弓形高的道次变形量

式中，当变形道次i=N时，hi=0，完成圆变方变形。

2.2.2 以公称尺寸代替孔型弧长的原则

在采用圆变方工艺设计方孔型时，目前是借助道次压下系数来解决管坯变形中发生的周向收缩，并据此作为设计各道各段孔型弧长的依据。可是，由道次压下系数所决定的量平均到各段弧长上一般只有几十微米至一百多微米（中小直径圆管范围），而在圆变方过程中影响实际变形效果的因素较多，如材料、工艺、操作、公差等。只要这些因素中任意一个没有达到理论设计要求，那么，采用道次压下系数设计孔型曲线长度就形同虚设和微不足道了。因此，直接用成品管公称尺寸作为设计孔型曲线弧长的依据，让每段孔型对应的曲线长都与公称尺寸一样，既不影响产品精度，又能筒化设计程序，也有利于设计系数的推导。

2.3 系数设计法的推导

2.3.1 孔型内接正方形边长ai及其设计系数λi

由变形过程中孔型内接正方形边长ai与成品管边长a及弓形高hi的几何关系可以得出

将 （6）式两边同除以a，并令ai/a=λi，得出

式 （7）的几何意义是：当N确定之后，第i道次关于ai的设计系数λi便唯一确定；因此，决定函数大小的真正变量是正方形边长。它的实际意义是，无论成品方管边长如何变化，只要总变形道数N一定，第i道次孔型内接正方形边长的设计系数就是定值；并且，在计算第i道次孔型内接正方形边长时，只需将该系数与成品方管边长相乘即可。

2.3.2 孔型变形半径Ri及其设计系数μi

根据圆变方过程中孔型变形半径Ri、孔型内接正方形边长ai与弓形高hi的几何关系可以得出

将（5）式和（6）式同时代入（8）式，且两边同除以成品方管边长a，并令Ri/a=μi，得出

在（9）式中，设计系数λi是一个定值，一旦N的数值确定之后，圆变方过程中关于各道次变形半径Ri的设计系数 μi亦就会为定值,Ri=μia。这样，在进行第i道次变形半径设计时，再无需进行繁琐的运算了。

2.3.3 孔型宽和孔型深

由圆变方孔形之间的几何关系，容易推导出孔型宽度和孔型深度是一个关于系数μi的表达式与方管边长之积。图1所示箱式孔型的孔型宽和孔型深由式 （10）决定。

式中：bi—圆变方箱式孔型第i道次的孔型宽度；

li—圆变方箱式孔型第i道次的孔型深度。

若是斜出45°方管孔型，则其孔型宽和孔型深由（11）式确定。

式中：Bi—圆变方斜出45°方管第i道次孔型的宽度；

Hi—圆变方时斜出45°方管第i道次孔型的深度。

需要指出的是，（10）式也是“系数与方管边长相乘”的形式，在N确定之后，第i道次的数值也是可以固化的。

2.3.4 圆变方孔型设计系数表

通常采用5平4立9个道次孔型轧辊完全能满足各种规格圆变方管的轧制，即N=9，i=1，2，…，9。 那么，根据（7）式和（9）式，易得系数 λi和 μi。 圆变方9道次孔型设计系数见表1。有了这些系数后，就使得原本复杂的孔型设计过程变成了简单四则运算，从而实现了圆变方孔型的 “傻瓜式”设计。

表1 圆变方9道次孔型设计系数

3 设计验证

以设计圆变45方为例进行设计验证。按5平4立9个道次、斜出45°设计变形孔型，则a=45 mm，N=9，i=1，2…，9。

3.1 系数设计法的设计实例

根据圆变方孔型系数设计法的设计思路、设计原则及表1所列设计系数，计算得圆变45方管孔型的变形参数，见表2；设计成果如图2所示。

表2 圆变方系数设计法45方斜出45°孔型参数

图2 圆变方轧辊孔形图

3.2 非系数设计法的设计实例

根据设计原则和（1），（2），（4），（5），（6）式及（8）式，并假设N=9，那么，圆变方非系数设计法45方、斜出45°孔型参数列见表3。

表 3 中，ai′、 Ri′、 Bi′、 Hi′分别表示圆变方非系数设计法45方斜出45°孔型第道次内接正方形边长、变形半径、孔型宽和孔型深。比较表2和表3的设计结果，系数设计法的数值与非系数设计法的数值，绝大部分完全一致，极少不一致的属于计算精度误差，这说明圆变方孔型的系数设计法正确可行。

表3 圆变方非系数设计法45方斜出45°孔型参数

另一方面，虽然表2的设计思想和设计方法与表3不同，但是，两个表内相同道次的相应数据几乎一致的情况说明，圆变方孔型的参数，确实存在（7）式、（9）式和表1所显示的内在系数规律。其数值精度完全能够满足焊管尺寸精度对孔型精度的要求。

3.3 反推的设计系数 μi′和 λi′

基于表3的设计结果和比照 （7）式、（9）式，易类推出由非系数设计法孔型参数反推的设计系数 μi′和 λi′，见（12）式和（13）式,

式中：λi′—非系数设计法反推出关于第i道孔型内接正方形边长ai′的设计系数。

式中： μi′—非系数设计法中反推出的关于第道孔型变形半径Ri′的设计系数。

那么，由（12）式和（13）式计算得，第i道次反推的系数 μi′和 λi′，详见表 4。

表4 非系数设计法圆变方9道次孔型反推的设计系数

表4所显示的反推系数μi′和 λi′与表1所列出的推导系数μi和λi基本相同，相同道次的对应系数都十分接近，其最大误差均不超过万分之二。这种 “十分接近”的结果表明：圆变方孔型系数设计法所推导出的孔型设计系数正确可信。反推系数与推导系数的唯一区别在于：前者是圆变方非系数设计法过程的终点，仅起验证后者的作用；而后者则是圆变方系数设计法过程的起点，并贯穿圆变方孔型系数设计法全过程，是系数设计法的灵魂。

4 结 论

圆变方孔型的系数设计法不仅正确可行，而且能提高设计效率、避免设计风险，所得设计系数对所有圆变方孔型都适用。

（1）圆变方孔型系数法正确可行。系数设计法所推导出的系数与非系数设计法反推的系数高度一致，其数值精度完全能够满足焊管产品对孔型精度的要求。这种异曲同工的结果证明，圆变方之系数设计法的正确性。

（2）圆变方孔型的设计系数唯一。由于圆变方之圆直径与方管边长存在着固定系数关系和替代关系，这就为通过一定的数学变换，将代表各道孔型各部位曲线的函数表达式，演绎成系数与成品方管边长相乘的形式提供了充分必要条件。而且，一旦N确定后，经过演绎获得的各道次设计系数μi和λi，对所有圆变方孔型都具有唯一性；也就是说，在总变形道数N相同的情况下，不论成品方管规格如何变化，所有圆变方孔型第I道次的设计系数都相同，而且固定不变。

（3）提高设计效率。用系数设计法设计圆变方孔型，不再需要计算方管展开长度、初始圆直径、总变形量、平均递减变形量等繁琐数据，直接根据系数与成品方管边长的关系，计算圆变方孔型各部位的变形尺寸，从而简化圆变方孔型设计程序，减少计算量，提高设计效率。同时，由于系数设计法不需要人为设定变形参数，这就从根本上避免了因设计人员经验差异而可能产生的实际变形风险，使圆变方孔型的标准化设计成为现实。

另外，本研究提出的设计思路、设计原则和设计方法，对设计其他孔型亦有借鉴作用。

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