教师主导下的数学内隐式探究

俞昕

张奠宙先生说：“教师是教学的组织者、指导者、合作者，同时也是领导者和示范者. 教师的示范非常重要，现在几乎忽略不提，很遗憾. ”笔者觉得张先生的见解的确独到，也引发了笔者对目前探究性学习的再思考. 高中数学课程引入数学探究这种新的学习方式“有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程……”. 但目前出现了一种异化了的数学探究，很多公开课、观摩课上出现了“为探究而探究”的现象，可称为“低效探究”、“伪探究”. 笔者认为很大程度上，是因为忽视了“内隐式探究”，下面笔者就教师主导下的数学内隐式探究作一番探讨，与同行们交流斟酌.

一、内隐学习的界定

人类的学习可以分为“外显”和“内隐”两种形式. 外显学习就是我们通常意义上的学习，内隐学习就是无意识地获得关于刺激环境的复杂知识（缄默知识）的过程. 但随后的研究发现，任何知识都包含外显知识和缄默知识两个部分，任何学习也都包括外显学习和内隐学习两个层面，只是各自所占成分不同. 由于缄默知识具有不能通过语言、符号或文字进行逻辑的说明的特性，内隐学习的过程和产物都难以到达意识层面，因此缄默知识的传递和内隐学习在教学中的应用都比外显知识和外显学习复杂得多、困难得多.

二、探究活动中的弊端分析

由以上论述我们可以将内隐式学习与如今的探究式学习联系起来. 我们细想一下：如今在很多公开课、观摩课的课堂上，“自主探究”、“小组合作探究”已成为一种常见的学习形式，但事实上缺乏实质性的学习效果. 就其课堂形式来看，合作交流的过程表面上热热闹闹，但在热闹的背后更多的是放任、随意和低效. 就学生而言，讨论不能围绕中心问题进行卓有成效的学习，你讲你的，我讲我的，从表面上看很热闹，实际上没有思维碰撞的火花，没有学生间的互动.

笔者认为造成这种现象的一个主要原因是只注重外显式探究而没有重视内隐式探究，在探究教学中，内隐学习占了极重要的地位. 探究教学是教师传递缄默知识的有效途径，它有利于激发学生的内隐学习，培养学生解决问题的能力，发展学生创造性思维品质和积极进取精神. 而要进行成功的探究教学，不但要考虑有利于外显学习的因素，而且必须要考虑有利于内隐学习的因素，采用适当的探究教学方法和手段，其效果才能更好. 从这一层面上来讲，笔者经过自己的教学实践，发现在教师主导下的数学内隐式探究在具体实施探究式教学中颇为有效.

三、教师主导下的数学内隐式探究

1. 教师主导选择合适的学习材料

学习材料的选择对于成功地进行探究教学是非常重要的. 首先，探究教学是否成功依赖于学生的已有认知水平，缄默知识的掌握也依赖于已有的认知结构，探究教学要求学生具有相当的知识经验和思维能力水平，学习材料在难度、性质、呈现方式等方面影响着内隐学习. 难度高、复杂的材料比简单的材料更适合内隐学习；抽象性高的材料比抽象性低的材料更适合内隐学习. 学习材料的难度与性质还共同作用于内隐学习，在“复杂”而“形象”条件下内隐学习成绩最突出.

因此，在使用探究式教学时，教师应当针对学生的具体情况，选择难易合适，可以引出多种假设的学习内容. 尤其是在让学生形成科学概念、理论，找出现象之间的因果联系时，内隐式探究教学更加有效. 当需要探究的规则比较复杂而难以一眼击穿时，内隐学习比外显学习更为有效. 所以并不是所有数学概念、知识都是需要学生自主探究的，比如数列的概念、任意角三角函数的定义、平面向量的有关概念等数学知识若是还要让学生花费大量时间去探究，那真是性价比较低的探究活动.

2. 教师主导搭建探究脚手架

以上提及教师要慎重选择供学生探究的内容，在选择好合适内容后，教师要考虑的是为学生所作的铺垫与脚手架，注重让学生围绕核心问题进行思维活动. 比如讲授“两角和与差的余弦”第一课时，若是直接让学生探究运用向量方法推导此公式，学生肯定是一头雾水. 所以教师可以利用学过的知识创设出一个情境，给学生的思维提供一个生长的空间，让学生感觉到有方向，但又不确定能否推理出来. 问题的设计真正放在思维的最近发展区，让学生感觉到跳一跳能够得着，极大地激发学生的兴趣与求知欲. 知识铺垫：（1）向量数量积的定义是a·b=？（2）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=？（3）单位圆上的点的坐标■=a=（cos45°，sin45°），■=b=（cos30°，sin30°），则a·b=？在学生推导出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ之后，教师继续让学生探究cos（α+β）=？生1：可以把cos（α+β）看成cos[α-（-β）]，由上面的公式把所有的β都换成-β，再利用诱导公式就得到结果了. 生2：我不是这样推导的. 将单位圆中向量■关于x轴对称得到向量■，其坐标就为（cosβ，-sinβ），这样图中就出现角α+β，则α+β的余弦就可以用■和■的数量积来表示了，再根据cos（α-β）公式得到类似的方法就可以得到这个公式. 以上教学设计给学生的“内隐式探究”一个认知铺垫，为学生搭建一个“梯子”. 这样的课堂上虽然表面小组间的活动较少，但生生间的交流、争论，师生间交流，以及思维碰撞生成的新问题，比表面上活跃的课堂，有意义得多，在教学活动中，无论采用哪一种形式，都应以学生思维的积极参与为目的.

3. 教师主导学生内隐表达多于外显表达

一般而言，外显的言语报告会促进学生的外显学习，但却对内隐学习没有什么帮助，甚至会削弱内隐学习. 在以往的探究教学中，教师往往喜欢让学生言语报告“学会了什么”、“发现了什么规律”、“为什么这么做”等等. 然而事实表明，这样的语言表达会阻碍学生内隐学习的进行. 教师对学生过多的外显表达要求使缄默知识受外显化阻碍而逐渐淡化. 在探究教学中，由于学生对于未知世界（尽管对于教师而言可能是已知世界）的探索中常常会遇到一些非常复杂的情境或知识，一些内隐学习所获得的知识也还未到达意识层面，或者虽通达意识层面，却还不能外显表达. 因此，教师在使用探究教学法的过程中，不必强求学生必须用语言表达出来.

笔者觉得教师针对让学生探究的内容不必让学生口头表达探究结果，事实上，若要求学生用严密的数学语言表述也是有一定困难的. 我们可以让学生到黑板上板书，或有条件的话可以利用实物投影将学生的探究过程及结果投影到大屏幕上，一边让其他学生审视探究过程与结果，并与自己的探究结果比较，一边教师详细地点评学生的探究过程与结果. 在这个过程中虽然只有教师的讲解，但学生们的思维处于高度运转的状态，也就是说学生们在进行内隐学习，思维的火花在不断地碰撞，慢慢地将新知内化到自己的认知结构中.

4. 教师主导采用适合内隐学习的“内隐指导语”

在探究教学中，不可避免地教师需要对学生进行言语指导和启发、引导. 但是，如上所述外显指导语中对规则寻找的指引能够有效地促进外显学习，但往往削弱了内隐学习；而深入且精当的外显指导反而促进了个体的内隐学习，并且它发生得越早越有利于内隐学习. 因此，如何用言语启发、指导学生探究是进行探究教学要深入思考的问题. 但仅仅有清晰、精确的指导语对于激发内隐学习是不够的，还应当使指导语指向模糊的内隐认知方面. 比如“你对此有什么感受”、“试着动手做一做，你一定会有感觉的”等等.

在学习了函数奇偶性定义后，教师：“请同学们读一下定义，你觉得定义中哪一句话对刻画函数的性质更重要？”下面就让学生思考探究，然后进入师生、生生对话阶段……在教学中教师要对教学的重点、难点、学生疑点处提出富有启发性的“内隐指导语”，引导学生积极的、主动的思考，让学生感受、理解知识产生和发展的过程，体现教师教学中应有的教学智慧. 在此教学环节中，教师运用适当的“内隐指导语”引导学生对函数奇偶性的定义进行剖析. 一是通过让学生阅读定义，探求定义中的重要条件，让学生从整体上理解定义的本质；二是通过设置容易引起学生争议的问题，引起学生的思维碰撞，加深对奇偶函数定义域对称的认识，既帮助学生准确理解定义，又对函数奇偶性的概念进行反面理解，同时使学生进一步熟悉判断奇偶性的方法.

5. 教师主导探究时间递进积累

内隐学习发生之后，对于复杂知识的掌握并不是一下子大功告成，而是随着学习时间的增加而发展. 此外，内隐学习材料必须被个体大量频繁地接触才可能引发内隐学习. 因此，在探究教学中，要注意时间的累积因素. 教师不必要求学生在规定的时间内学会，同样方式的探究可以在一段时间内反复进行，以促进内隐学习. 事实上，学生在探究过程中内隐地获得的许多知识在学习的初期可能处于内隐水平而无法被意识到，也不能在随后的任务解决中立刻反应出学习效果. 但随着时间的推移，这些知识可以逐渐外显化并表现出学习迁移的效果. 因此，探究教学在实际使用中也不能偶尔为之，需要反复进行，才有可能体现出内隐学习的效果.

数学教学中的变式教学正是遵循了内隐学习的循环递进性规律. “变式教学”是对教学中的问题进行不同角度，不同层次，不同情形，不同背景的变式，以暴露问题本质特征，揭示不同知识间的内在联系的一种教学设计方法. 利用变式教学，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，帮助学生在解答问题的过程中寻找与总结解决类似问题的思路、方法. 要让学生掌握一种或几种重要的数学思想方法，仅通过对一个问题的探究是不够的，教师可以在第一个问题给出时采用以上提及的方法引领学生进行内隐式探究，随后继续从不同角度给出一些变式，此时教师可以尝试慢慢放手，将内隐式探究逐步推向外显式探究，进而体现出学习效果.