“中点四边形”——基于研究性学习视角下的再设计

王晓峰

一、背景介绍

“中点四边形”是初中数学课堂教学中的经典课例，但传统教学更多关注的是学生的“学”，其目标定位是对现成问题的分析和解决. 而中点四边形是如何产生的？又是如何变化和发展的？又该如何通过“中点四边形”这个知识载体，让学生体会和了解研究几何图形一般的方法和策略？这些内隐在学生数学学习中更为重要的方法和经验，在传统教学中并不能得以足够地体现.

出于上述思考，笔者在近期徐州市教育学会组织的一次活动中，特地选择了以“中点四边形”为上课课题. 活动结束后，笔者又对本课重新进行了整理与设计.

二、教学设计

1.教学目标

（1）巩固三角形中位线和特殊四边形的性质、判定方法，发展合情推理、演绎推理的能力；（2）在经历想象、画图、观察、实验、猜测、验证、归纳的探索过程中，体会和了解研究几何图形的一般方法，感悟联想、分类、类比、归纳等数学思想；（3）培养学生乐于实践、善于发现、勇于创新的学习品质，激发数学学习的兴趣.

2.教学过程

通过上节课的学习，我们知道了顺次连结三角形的各边中点所得到的三角形叫作“中点三角形”. 那么，“中点三角形”具有哪些特点呢？请结合图1中的△DEF说一说你对它的了解.

思考1：对于“中点三角形”，你是否还有其他的想法？请说一说.

学生可能引发的思考1：如图2、图3，再分别取DE，EF，FD的中点，连结后可得新的中点三角形；再分别取……，这些中点三角形在周长、面积、形状等方面与原△ABC又有怎样的联系？

学生可能引发的思考2：如图4、图5，当点D，E，F分别是AB，AC，BC的三等分点、四等分点、……时，△DEF在周长、面积、形状等方面与原△ABC又有怎样的联系？

学生可能引发的思考3：中点四边形.

今天，我们选取“中点四边形”这个问题进行研究，并通过这节课的学习，了解几何图形的一般研究方法. 呈现课题——“中点四边形”.

设计意图：在进行“三角形的中位线”的教学时，笔者有意避开了与四边形有关的中位线问题. 另外，还专门补充研究了“中点三角形”. 这样，就为本课的学习做好了铺垫.

学生通过联想产生出了若干种不同的思考，然后再在这几种思考中选取本节课的研究主题——“中点四边形”. 这样的设计突出了问题的自然生成，有利于培养学生发现和提出问题的意识和能力.

活动探究：在数学研究中，为明确研究的对象，避免产生歧义，应首先给出这个对象的定义. 与中点三角形相类似，我们可将顺次连结四边形的各边中点所得到的四边形叫作“中点四边形”.

【探究一】 提到一个几何图形，我们马上就会想到它的形状. 那么，你能否结合图6，想象出任意四边形的中点四边形会是怎样的四边形？

在想象困难的时候，我们可以怎么办？（画图） 请你结合图6，画出任意四边形ABCD的中点四边形EFGH，并观察它的形状（图7）.

问题1：如图6，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是怎样的四边形？为什么？

结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形.

回顾： （1）中点四边形与原四边形是怎样建立联系的？（利用三角形的中位线，通过“对角线”建立相互之间的联系）（2）在研究这个问题的过程中，我们经历了怎样的探索过程？（想象→画图→观察→猜测→验证→归纳）

设计意图：探究一的设计因读者都比较熟悉，这里就不再解释. 需要指出的是，该环节的问题设计显性化的是知识的获取、数学本质的发现，但在研究问题的过程中还蕴含着重要的数学思想以及几何图形的一般研究方法，这种知识背后隐性化的东西，相比数学知识来讲其实更为重要. 因此，在探究一完成后有必要对知识和方法及时进行总结.

【探究二】 思考2：通过上面的研究，我们知道了任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，那么对于“中点四边形”，你是否还有其他的想法？请说一说.

学生可能引发的思考1：由“中点三角形”、“中点四边形”，联想到“中点多边形”，研究中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与和面积之间是否存在规律性的联系.

学生可能引发的思考2：当原四边形成为一种特殊形状的四边形时，它的中点四边形是否也会成为一种特殊形状的平行四边形？

学生可能引发的思考3：当中点四边形成为一种特殊形状的四边形时，原四边形会是怎样的四边形？

预设1：思考2→思考3.

我们已经知道，对于任意一个四边形，它的中点四边形必然是一个平行四边形. 按照从一般到特殊的几何问题的研究方法，我们可以继续考虑四边形的特殊性，从而引发我们进一步的思考——当原四边形成为一种特殊形状的四边形时，它的中点四边形是否也会成为一种特殊形状的平行四边形？

问题2：如图7，当原四边形ABCD分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形时，中点四边形EFGH会是怎样的四边形？请将你的发现填入下表：

经过上面的探索，我们发现，当原四边形是矩形和等腰梯形时，它们的中点四边形都是菱形. 而“反过来想”（逆向思维）也是数学学习和研究数学问题时常采用的一种思维方式，那么，依据这种方式，针对这个发现，是否引发了你新的思考？请说一说. （是否只有矩形和等腰梯形的中点四边形才能是菱形？是否只有菱形的中点四边形才能是矩形？）

请你继续探索上面这两个问题，并将你的发现填入下表：

预设2：思考3→思考2.

经过上面的探索，我们知道，对于任意一个四边形，它的中点四边形必然是一个平行四边形. 按照从一般到特殊的几何问题的研究方法，我们可以继续考虑平行四边形的特殊性，从而引发我们进一步的思考——当中点四边形成为一种特殊形状的四边形时，原四边形会是怎样的四边形？

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

研究性学习是以大脑思考为主的“想数学”的数学学习方式，也是最朴素、最常见、最主要的数学研究的方式. 而且，因为要进行一项研究，就必须具有一定的知识储备和研究能力，因此，研究性学习不仅有利于学生对基本知识和基本技能的进一步的理解与掌握，提高分析和解决问题的能力，还能够让学生在研究问题的过程中，突出培养学生发现和提出问题的能力，亲身体验知识的产生、形成和发展的过程，充分感悟数学思想方法，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验. 笔者以为，研究性学习或许更能体现教育的本质——为了人的发展.

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

研究性学习是以大脑思考为主的“想数学”的数学学习方式，也是最朴素、最常见、最主要的数学研究的方式. 而且，因为要进行一项研究，就必须具有一定的知识储备和研究能力，因此，研究性学习不仅有利于学生对基本知识和基本技能的进一步的理解与掌握，提高分析和解决问题的能力，还能够让学生在研究问题的过程中，突出培养学生发现和提出问题的能力，亲身体验知识的产生、形成和发展的过程，充分感悟数学思想方法，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验. 笔者以为，研究性学习或许更能体现教育的本质——为了人的发展.

问题2：如图7，当中点四边形EFGH分别是菱形、矩形时，原四边形ABCD必须满足怎样的条件？请将你的发现填入下表：

经过探索，我们发现了中点四边形为矩形和菱形时，原四边形必须满足的条件，请你根据这个发现，再将下面的表格填写完整：

总结上述对“中点四边形”的研究过程，我们可以知道：任意一个四边形的中点四边形必然是平行四边形，并且当原四边形的两条对角线构成相等或互相垂直的关系时，它的中点四边形就会成为菱形或矩形. 也就是说，决定中点四边形形状的关键不在于原四边形的形状，而是原四边形的两条对角线之间所具有的数量关系和位置关系. 这个发现也告诉了我们一个生活中的道理——不要被事物的表面现象所迷惑，而要透过现象看本质！

设计意图：由于不同的学生所关注的对象不同，从而造成引发的思考不同. 思考2、思考3都是学生有可能想到的，它们遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四边形”，思考3中的“一般”则是“中点四边形是平行四边形”. 思考2、思考3的产生，并没有先后之分. 笔者在实际教学中，就有学生先提出了思考3，并且通过问题1的解决，直接找到了原四边形必须满足的条件，水到渠成地解决了思考2，这显然要比传统教学中教师人为地让学生先解决思考2，再解决思考3要更利于学生对问题的认识. 因此，进行教学预设时，教师要关注问题的自然生成，不能强迫学生按照自己的方式去思考问题，要给于学生充分表达自己观点、思路的机会，让每一位学生都能主动地、富有个性地学习.

【探究三】 相比较三角形，四边形除四条边外，还存在另外两条线段——对角线. 受到中点四边形是由顺次连结四边形各边中点所产生的启发，我们可以进一步将四边形的两条对角线的中点也纳入我们研究的范围，请你继续思考：

问题3：如图8，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点.

（1）请指出以其中的4个中点为顶点的平行四边形；（图9、图10、图11）

（2）如图10，

①请说明四边形EPGQ是平行四边形的理由；

②对于平行四边形EPGQ，你能提出怎样的问题？（当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ分别是矩形、菱形？你能否设计出这样的四边形？）

③对于平行四边形EPGQ，你还有怎样的想法？（四边形EPGQ一定存在吗？当四边形ABCD满足怎样的条件时，四边形EPGQ不存在？）

（3）如图11，针对四边形QFPH，说说你的认识.

设计意图：探究三的设计是基于以下两个方面的考虑：一是渗透问题研究的理性思考方法. 对于几何图形的研究，我们要教会学生一般的研究方法，其中就有先研究构成图形的基本元素——边与角，再研究由边与角生成的新的元素，如三角形的“四线”（三条边的中线、三个内角的平分线、三条边的高线、三条边的垂直平分线）以及四边形的对角线等等. 因此，按照这样的方法，研究完“中点四边形”后，就应该研究“若再取两条对角线的中点，又会产生怎样的问题了？”二是虽然从知识掌握的角度来讲，“中点四边形”的性质已被学生发现和掌握，但教师还需要进一步创造尽可能多的落实“四基”、提高“两能”的机会，因此设计了探究三.

3.回顾总结

回顾本次学习的过程，请你谈一谈对“中点四边形”的认识，并总结几何图形一般的研究方法.

设计意图：通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结；二是方法和经验总结，尤其是方法和经验. 知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要. 当然，限于课堂时间有限，笔者对这个环节进行了简化，但考虑到该环节也十分重要，因此设计成“数学日记”的形式，让学生在课后进行细致的回顾、思考和总结.

4.揭示联系

本节课我们接触到了几种与“三角形中位线”有关的图形，它们之间又有一定的联系吗？来看——在“几何画板”中分别按图12～图17的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，其中图12、图13、图15就是我们这节课已经研究过的与“三角形中位线”有关的图形. 不仅如此，我们又有了新的发现，在拖动点P的过程中，还产生了另外三种新的图形，如图14、16、17，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，课后继续研究这三个图形.

设计意图：让图形“动”起来，是研究图形、获得发现的一种重要方法. 通过在几何画板中对点的拖动，不仅产生了学生熟悉的图形，而且还产成了新的图形，这样不仅能够让学生直观地感受到这些图形之间的内在联系，还能够自然地引发学生对新的图形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如图18、19、20，中点多边形和原多边形的周长与周长、面积与面积之间是否存在规律性的联系？提出你的猜想，并尝试用“几何画板”软件进行探索，再将你探索的结果用合适的形式表达出来.

（2）数学日记：

今天我们研究的是“中点四边形”，经过本节课的学习，我有如下的总结：

①我的收获有：

数学知识方面：

数学思想方面：

数学问题的研究方法方面：

②我在学习中还存在的疑惑：

③对于“中点四边形”，我还有以下的想法：

三、一些思考

研究性学习是由某个问题所引发的某个猜想或某个发现，通过在深度、广度上的研究，全面地认识这个猜想或这个发现. 而且，在研究的过程中，往往会生成新的问题、获得新的发现，从而带来新的思考，从而形成“思考→发现→研究→解决→新思考→新发现→再研究→再解决”这样一条研究之路.

研究性学习是以大脑思考为主的“想数学”的数学学习方式，也是最朴素、最常见、最主要的数学研究的方式. 而且，因为要进行一项研究，就必须具有一定的知识储备和研究能力，因此，研究性学习不仅有利于学生对基本知识和基本技能的进一步的理解与掌握，提高分析和解决问题的能力，还能够让学生在研究问题的过程中，突出培养学生发现和提出问题的能力，亲身体验知识的产生、形成和发展的过程，充分感悟数学思想方法，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验. 笔者以为，研究性学习或许更能体现教育的本质——为了人的发展.