用向量法确定两条线段交点的位置

包新安

例1 如图1，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设 = a， = b，试用a，b表示 .

解 设λ，μ∈R.令 =λ ，则 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，则 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如图2，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，求证：点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

证明 令 = a， =b.由例1的结论可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，点C在边OA上，点D在边BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD与BC相交于点M，试确定交点M的位置.

解 设 = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，则 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点M在AD与BC上的相对位置就确定了.

例4 在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的位置.

解 设λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点I在AE与BF上的相对位置就确定了.

小结 在平面几何中，用向量法确定两条线段交点的位置更具有规律性，运算量小，容易在一般问题中应用.（责任编校/冯琪）

例1 如图1，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设 = a， = b，试用a，b表示 .

解 设λ，μ∈R.令 =λ ，则 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，则 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如图2，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，求证：点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

证明 令 = a， =b.由例1的结论可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，点C在边OA上，点D在边BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD与BC相交于点M，试确定交点M的位置.

解 设 = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，则 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点M在AD与BC上的相对位置就确定了.

例4 在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的位置.

解 设λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点I在AE与BF上的相对位置就确定了.

小结 在平面几何中，用向量法确定两条线段交点的位置更具有规律性，运算量小，容易在一般问题中应用.（责任编校/冯琪）

例1 如图1，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设 = a， = b，试用a，b表示 .

解 设λ，μ∈R.令 =λ ，则 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，则 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如图2，在△ABC中，E，F分别为边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，求证：点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

证明 令 = a， =b.由例1的结论可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，点G在边BC的中线AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，点C在边OA上，点D在边BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD与BC相交于点M，试确定交点M的位置.

解 设 = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，则 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点M在AD与BC上的相对位置就确定了.

例4 在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的位置.

解 设λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，则 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，点I在AE与BF上的相对位置就确定了.

小结 在平面几何中，用向量法确定两条线段交点的位置更具有规律性，运算量小，容易在一般问题中应用.（责任编校/冯琪）