学会求几何体的体积

刘文

策略1：直接法

当题目给出的是规范几何体且已知条件比较集中时，我们就按所给图像的方位用公式直接计算出体积.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷文科卷第19题）如图1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

难度系数 0.70

分析 不要将题目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）问起到明显的提示作用.解答本题的关键在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）证明：取AB的中点为O，连接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奂平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由题设可知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，则A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC ×OA1=3.

小结 这类问题中的几何体规范，考生很容易找到底面和高，并且计算常规，所以通常直接使用公式解答即可.不过需要注意的是，考生要写清楚计算的理由.另外，本题还可以考虑利用割补法来处理.

策略2：换底法

当按题目所给图像的方位不便于计算时，我们可选择条件较集中的面作底面，以便于计算底面积和高.这种方法尤其适用于跟棱锥有关的体积计算问题.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17题）如图2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.

（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积.

难度系数 0.75

分析 根据题目中几何体的特点，求三棱锥C1-A1B1E的体积我们可以考虑换一个视角，以△A1B1C1为底，这样处理起来更为简便、合理.

（Ⅰ）证明：由于E为动点，所以需要证明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奂平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奂平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，则∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱锥E-A1B1C1的高.

由于V三棱锥 =V三棱锥 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱锥C1-A1B1E的体积为 .

小结 利用换底法，我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题，这是数学中的一种重要思想方法.在利用换底法答题时，我们应该在原图形中找到一个较容易计算出面积及其对应高的平面来.

策略3：割补法

当题目所给的是非规范（或条件比较分散的规范）几何体时，我们可通过对图像的割补或体积变换，将其化为与已知条件有直接联系的规范几何体，并作体积的加减法.

例3 （2013年高考重庆文科卷第19题）如图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.

难度系数 0.75

分析 如果直接求三棱锥P-BDF的体积，底面△BDF的面积和高都不太好求，考虑到条件“PA⊥底面ABCD”，我们可以尝试“补形”后将其处理成两个几何体的体积之差，从而使问题得以解决.

（Ⅰ）证明：由于BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内的两条相交直线PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱锥 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱锥F-BCD的高为 PA，故V三棱锥 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱锥 =V三棱锥 -V三棱锥 =2- = .

小结 本题通过将三棱锥P-BDF拓展补为三棱锥P-BCD，将原问题转化为三棱锥P-BCD与三棱锥F-BCD的体积之差，然后利用间接法求得最后结果.与分割一样，有时为了计算方便，我们可将已给的几何体利用平移、旋转、延展或对称等手段，补成易求体积的几何体（如长方体、正方体、三棱锥等），从而使问题得以解决.（责任编校/周峰）

策略1：直接法

当题目给出的是规范几何体且已知条件比较集中时，我们就按所给图像的方位用公式直接计算出体积.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷文科卷第19题）如图1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

难度系数 0.70

分析 不要将题目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）问起到明显的提示作用.解答本题的关键在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）证明：取AB的中点为O，连接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奂平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由题设可知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，则A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC ×OA1=3.

小结 这类问题中的几何体规范，考生很容易找到底面和高，并且计算常规，所以通常直接使用公式解答即可.不过需要注意的是，考生要写清楚计算的理由.另外，本题还可以考虑利用割补法来处理.

策略2：换底法

当按题目所给图像的方位不便于计算时，我们可选择条件较集中的面作底面，以便于计算底面积和高.这种方法尤其适用于跟棱锥有关的体积计算问题.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17题）如图2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.

（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积.

难度系数 0.75

分析 根据题目中几何体的特点，求三棱锥C1-A1B1E的体积我们可以考虑换一个视角，以△A1B1C1为底，这样处理起来更为简便、合理.

（Ⅰ）证明：由于E为动点，所以需要证明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奂平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奂平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，则∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱锥E-A1B1C1的高.

由于V三棱锥 =V三棱锥 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱锥C1-A1B1E的体积为 .

小结 利用换底法，我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题，这是数学中的一种重要思想方法.在利用换底法答题时，我们应该在原图形中找到一个较容易计算出面积及其对应高的平面来.

策略3：割补法

当题目所给的是非规范（或条件比较分散的规范）几何体时，我们可通过对图像的割补或体积变换，将其化为与已知条件有直接联系的规范几何体，并作体积的加减法.

例3 （2013年高考重庆文科卷第19题）如图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.

难度系数 0.75

分析 如果直接求三棱锥P-BDF的体积，底面△BDF的面积和高都不太好求，考虑到条件“PA⊥底面ABCD”，我们可以尝试“补形”后将其处理成两个几何体的体积之差，从而使问题得以解决.

（Ⅰ）证明：由于BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内的两条相交直线PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱锥 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱锥F-BCD的高为 PA，故V三棱锥 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱锥 =V三棱锥 -V三棱锥 =2- = .

小结 本题通过将三棱锥P-BDF拓展补为三棱锥P-BCD，将原问题转化为三棱锥P-BCD与三棱锥F-BCD的体积之差，然后利用间接法求得最后结果.与分割一样，有时为了计算方便，我们可将已给的几何体利用平移、旋转、延展或对称等手段，补成易求体积的几何体（如长方体、正方体、三棱锥等），从而使问题得以解决.（责任编校/周峰）

策略1：直接法

当题目给出的是规范几何体且已知条件比较集中时，我们就按所给图像的方位用公式直接计算出体积.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷文科卷第19题）如图1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

难度系数 0.70

分析 不要将题目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）问起到明显的提示作用.解答本题的关键在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）证明：取AB的中点为O，连接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奂平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由题设可知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，则A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC ×OA1=3.

小结 这类问题中的几何体规范，考生很容易找到底面和高，并且计算常规，所以通常直接使用公式解答即可.不过需要注意的是，考生要写清楚计算的理由.另外，本题还可以考虑利用割补法来处理.

策略2：换底法

当按题目所给图像的方位不便于计算时，我们可选择条件较集中的面作底面，以便于计算底面积和高.这种方法尤其适用于跟棱锥有关的体积计算问题.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17题）如图2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.

（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积.

难度系数 0.75

分析 根据题目中几何体的特点，求三棱锥C1-A1B1E的体积我们可以考虑换一个视角，以△A1B1C1为底，这样处理起来更为简便、合理.

（Ⅰ）证明：由于E为动点，所以需要证明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奂平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奂平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，则∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱锥E-A1B1C1的高.

由于V三棱锥 =V三棱锥 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱锥C1-A1B1E的体积为 .

小结 利用换底法，我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题，这是数学中的一种重要思想方法.在利用换底法答题时，我们应该在原图形中找到一个较容易计算出面积及其对应高的平面来.

策略3：割补法

当题目所给的是非规范（或条件比较分散的规范）几何体时，我们可通过对图像的割补或体积变换，将其化为与已知条件有直接联系的规范几何体，并作体积的加减法.

例3 （2013年高考重庆文科卷第19题）如图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.

难度系数 0.75

分析 如果直接求三棱锥P-BDF的体积，底面△BDF的面积和高都不太好求，考虑到条件“PA⊥底面ABCD”，我们可以尝试“补形”后将其处理成两个几何体的体积之差，从而使问题得以解决.

（Ⅰ）证明：由于BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内的两条相交直线PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱锥 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱锥F-BCD的高为 PA，故V三棱锥 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱锥 =V三棱锥 -V三棱锥 =2- = .

小结 本题通过将三棱锥P-BDF拓展补为三棱锥P-BCD，将原问题转化为三棱锥P-BCD与三棱锥F-BCD的体积之差，然后利用间接法求得最后结果.与分割一样，有时为了计算方便，我们可将已给的几何体利用平移、旋转、延展或对称等手段，补成易求体积的几何体（如长方体、正方体、三棱锥等），从而使问题得以解决.（责任编校/周峰）