促进学生数学理解的线性代数教学研究与实践

陈建华 刘金林

[摘 要]根据线性代数课程教学目标和学生的认知水平、心理特征，选准基于“问题解决”的课程教学作为促进学生数学理解的切入点，探索如何以为学生提供问题解决情境为抓手，从课程、教材和教法三个层面全方位进行线性代数课程建设.依托线性代数课程，如何利用核心问题统领课程数学内容，利用综合问题增进数学知识联系，利用应用问题体现数学的应用价值，利用趣味问题发挥数学的文化功能，是线性代数教学研究与实践中的重要问题.

[关键词]理解性教学 数学理解 问题解决 线性代数

[中图分类号] G421 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）01-0091-03

线性代数是一种语言.在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了.[1]线性代数课程目标的取向是帮助学生追求智力的卓越发展，数学能力和数学素养的提升.瑞典数学家LarsGarding指出：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，然而按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型……这就带来了教学上的困难.”如何让学生更好地掌握线性代数的基本理论，熟练运用线性代数的核心思想与技术，一直是备受关注的课题.

自20世纪80年代以来，人们倡导将知识与其应用情境联系起来的教育方法，建议通过支持探究、应用、问题解决的学习来支持发展21世纪技能。[2]在这样的背景下，我们的具体做法是：以教学问题为出发点，从课程、教材和教法三方面做了全方位探索，精心设计教学问题，认真组织、实施教学，既有理论研究，又有实践创新.

一、准确定位，构建线性代数课程体系

“问题解决”被教育专家称作“21世纪课程的基础”.在此观点下，课程的基本单位就是“问题”，课程改革的主要任务是“重新组织”课程，即通过问题设计来组织课程内容.自2007年以来，我们从线性代数课程结构、与相关课程的关系等方面开展了课程内容研究.

（一）基于问题解决理论，构建线性代数课程内容体系

我们运用“问题解决”理论对线性代数课程内容作了梳理，将科学研究方法融入课程教学，以期在教学实施过程中对促进学生的概念性理解起一定的作用.对于非数学专业的学生来讲，线性方程组的求解、矩阵的对角化判定和二次型的化简是该课程的三个核心问题.针对以上三个问题，从知识准备的角度将行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，逐一展开三个核心问题，形成“基础知识+问题解决+应用”的课程内容框架.[3]这样，有利于帮助学生建立线性代数知识体系架构，形成对课程的整体性的认知.知识模块顺序及关系如图1：

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图1 知识模块关系图

教学设计时再将每个章节的教学内容拆解为若干易于理解的单元问题，而具体概念或定理的教学，采用构建问题“链”来组织，这种问题链的作用正像一颗颗珍珠串成一串，弯一个小指头就能把它轻轻提起来.这种加工，在加强知识联系的同时，提高了教学效率.[3]同时方便在课堂教学中采用问题来引发学生的学习动机、思路和行为.

（二）加强相关课程联系，高观点理清数与形的关系

根据教学的需要，我们开展了线性代数与解析几何、微积分、概率统计、矩阵论等课程之间联系的研究，打破大学数学课程之间的界限，利用综合问题加强相关课程内容上的联系与整合.从“行列式的几何意义及其应用”和“几何直观在线性代数教学中的应用”等视角，引导学生利用几何直观来理解抽象的代数概念.从“如何用函数思想解线性代数问题”探讨了微积分与线性代数的联系.借助数学模型介绍矩阵在概率统计课程中的应用.相关课程关系结构如图2：

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图2 课程联系关系图

对于线性代数与矩阵论（后续课程）关系的研究，则是从矩阵范数、矩阵的若尔当标准型和线性空间等概念入手，进行讨论.目的是让学生了解课程的发展趋势，接受课程的热点问题，在接受课程前沿知识的过程中体验创新的方法、创新的方向.这是对学生知识体系的完善，有利于学生创新思维的发展。

二、精益求精，打造线性代数精品教材

教材是整个教育教学工作的重要组成部分，高质量的教材及教学资源是培养高质量人才的基本保证.线性代数教材作为该课程教学的知识载体和教学的基本工具，直接关系到课程教学能否为培养创新人才服务.依据教育部颁发的“线性代数课程教学基本要求”和“硕士研究生入学考试大纲”，结合普通综合性大学学生的实际情况，编写了线性代数教材.2007年，由机械工业出版社出版的《线性代数（第2版）》是国家十一五规划教材.2011年，我们吸收研究成果，再次对教材作了修订，形成如下特色：

（一）内容宏观组织合理，逻辑结构清晰明了

“问题解决”作为教学目的，教学过程要求把课程的基本概念、原理及特有的研究方法编入教材.以矩阵为编写主线，辅以线性空间，遵循了由浅入深、难点分散的原则，做到了删繁就简，加强基础.围绕矩阵的等价、相似和合同，把线性方程组求解、矩阵对角化判定和二次型标准形问题与之相对应，利用矩阵的分块将主要内容有机地联系起来.“矩阵的秩”和“向量组的秩”分章而居，难点分解.向量与线性方程組合并编在同一章，有利于用非齐次线性方程组理解线性表示，用齐次线性方程组理解线性相关和线性无关，让矩阵的初等变换很好地为线性相关性理论服务.二次型和矩阵的相似对角化内容单立成章，突出课程问题.内容阐述采用“几何观点”和“矩阵方法”并重，便于学生通过几何背景理解代数概念，从几何背景中获得解决问题的启示.

（二）反映数学文化价值，展示课程应用背景

数学文化是促进数学教学的有效工具，数学从生活中来，最终应该回归于生活.我们以线性代数知识为载体，挖掘了课程若干知识点的文化内涵，为教学中能更好地渗透数学文化，达到“润物细无声”的教学目标作了资源上的准备.教材中设置“历史寻根”栏目，选择行列式、矩阵、向量和线性方程组等概念，对线性代数课程做出贡献的数学家凯莱、克莱姆、范德蒙、莱布尼兹和若尔当等作为融入点，让学生开阔眼界，提高素养.

数学应用的恰当介绍能帮助学生产生数学情感和强烈的学习动机.教材以线性代数知识为载体，通过“方法索引”和“背景聚焦”欄目，介绍重要的数学方法（解析几何中的行列式、数学归纳法等）和数学应用（矩阵密码法、天气的马尔科夫链、面貌空间等）.[4]为学生深刻理解数学、正确运用数学方法，感受数学的威力提供素材.由于教材使用的专业较广，所以在实际使用中，对促进大学生文理知识的交融也发挥着积极的作用.

（3）习题设置难易得当，补充内容定位恰当

数学习题是解决问题的载体，它在帮助学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，发展学生的情感、态度与价值观方面有着不可替代的作用.如果把数学知识作为解决现实问题的工具，把“解决问题”作为数学教学的出发点和落脚点，那么，习题就是学生把知识用于实际的初步实践，实现自我的梦工场.我们从知识掌握功能、应用背景分析和文化教育价值三方面探讨，提出习题设计重视课程内涵，反映知识的层次；习题设计关注生活背景，反映课程的应用；习题设计体现数学文化背景，增加习题的趣味性等观点.[5]

运用研究成果，精心设计、编写了线性代数课程的教材习题、配套训练题、专题解析典型例题和考研模拟题.习题设计时，注意沟通各部分知识技能之间的联系；反映习题在现实生活中原型，编入适当合理的有教学情境的生活背景内容；注意触及学生的心理现实.根据课程的特点，通过趣味性的习题设置悬念，揭示矛盾，引起学生的认知冲突，引导学生生疑、释疑.把思维教育作为潜在目的，把数学理解作为新目标.

三、更新观念，营造丰富多彩的数学课堂

教学只有符合受教育者的心理发展特点和规律，才有可能取得良好的教学效果.日本教育学家菊池章夫曾经指出：“心理发展的水平与特点是教育的起点和依据，是教育的前提.”在对课程内容研究、打造教材的同时，根据大学生的心理特点，我们需要更新教学理念、精心编排教学案例、积极尝试研究性教学.

（一）更新教学理念，让学生成为问题的解决者

数学问题解决，指学习者面对初次碰到的问题时，在对原有数学概念、原理重新组合过程中进行创造性学习的过程.[6]在教学过程中，尊重学生的认识规律，在问题解决和现代建构主义教学理论指导下，根据教学内容，我们开展了启发式、探究式、发现式教学，努力将线性代数内容的学术形态转变为教育形式.

与传统教学相比，基于问题解决的线性代数课程教学设计成功地确立了学生的主体地位和教师主导角色.教学中遵循“学习是一种过程，而不是结果[7]”的原则，教师给学生提供的是探究知识的问题情境，而不仅仅是知识.教师为学生更好地理解数学而营造知识环境、挖掘学生的学习潜能，学生积极参与教学过程，在问题解决的过程中亲身实践.学生的主体地位和教师主导角色得以确立.课程教学迁移模式如图3：

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图3 课程教学迁移模式图

在教学中，我们不是以学生学会线性代数中某种方法作为教学的终点，而是鼓励学生自己生成学习项目.比如矩阵等价理论的教学，从初等变换的引入，初等矩阵概念的形成，到等价标准型定理的证明，都围绕问题“矩阵求逆方法的改进”来组织，根据学生的已有知识经验设计教学问题，引起学生对结论迫切追求的愿望，激发学生的认知冲突.将问题结论的寻求过程、方法的思考过程、规律的揭示过程等还给学生，让数学“冰冷的形式”背后的数学思想呈现给学生，在进行了火热的思考后实现代数知识与技能的“同化”和“顺应”.另外，解题是数学教学的重要组成部分，我们设计了一些特定问题作为学生巩固和消化所学知识并转化成为技能，吸收线性代数思想的重要环节.

（二）渗透数学理论的文化内涵，提升学生的数学素养

课堂教学中，我们以介绍重要概念的创建和演变、重访定理的发现时刻、再现问题的解决过程等形式作为数学文化有机融入方法，以润物细无声的方式来传递数学理论的文化内涵，呈现一个个丰富的课堂，给学生以广博的文化浸染.如初等行变换概念的教学引入，提供了《九章算术》中解方程组的“直除法”和高斯的“消元法”的问题背景，学生在学会知识的同时了解到概念的来龙去脉，让问题背景下的线性代数课程中的教学内容变得“鲜活”起来.让学生在文化层面体验了数学的价值和魅力，提升了数学修养.

（三）以课程网站为平台，关注学生良好学习习惯的养成

问题背景下的现代化教学手段的运用，以课程网站为平台，拓展课程资源.借线性代数是校级精品建设课程的契机，推进课程网站建设，设置了课时讲稿、电子课件、反例仓库、模型介绍和考研辅导等有特色的栏目，给学生提供更多的课程资源和个性化学习空间，努力让学生在自己构建知识系统的过程中，锻炼获取知识的能力.教学手段的改善，不仅激发学生学习兴趣，还丰富了教学方法，提升了课程内涵.[7]

（四）强化应用意识，培育大学生的创新实践能力

知行统一是人才培养的要求，也是社会对人才能力的期望.根据大学生思维的辩证性成分增多、创造性程度提高，能够更好地调节和控制自己的思维活动的特点，我们通过对一些具体问题（如矩阵加密，Fibonacci数列通项公式，面貌空间等）进行数学建模，让学生在运用知识解决问题的过程中思维得到锻炼，创新意识得到加强.如特征值和特征向量的教学中，引入求Fibonacci数列的通项公式问题.利用二维向量及二阶矩阵表示Fibonacci数列的本质关系fn+2=fn+1+fn，求数列通项公式问题转化为计算矩阵的高次幂问题.如何计算呢？矩阵相似对角化条件的讨论成为教学的现实需求，这样矩阵特征值和特征向量便成为呼之欲出的教学内容.在“基于全息元的线性代数课程的教学研究”中带领学生研究全息现象在数学教学中的应用，探讨如何运用数学全息现象充分调动学生的学习积极性，从而提高教学效率.学生在经历问题解决的过程中，接受了数学建模的思想，增强了创新意识.在数学学习中，“理解”无疑是第一位的，而“数学理解”已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题（PMENews May 1997 edition，Mathematics Forum）.本研究是大学数学基础课建设的一次尝试，“问题解决”理论运用于课程教学的一次实践.虽然“为理解而教（Teaching for Understanding）”作为一种重要教学思想已经逐渐被数学教育界所接受，但是真正实现理解性教学，提升大学数学基础课教学质量仍任重道远.

[ 参 考 文 献 ]

[1] COMAP著，申大维等译.数学的原理与实践[M].高等教育出版社，1998.

[2] 琳达·达林—哈蒙德等著，冯锐等译.高效学习：我们所知道的理解性教学[M].上海：华东师范大学出版社，2010.

[3] 陈建华，李立斌等.基于问题解决的线性代数课程教学设计研究[J].高等理科教育，2011（4）：21-23.

[4] 陈建华，刘金林，魏俊潮.线性代数（第3版）[M].北京：机械工业出版社，2011.

[5] 陈建华，李立斌.线性代数课程习题设计研究[J].教育与教学研究，2011（10）.

[6] 包蕾.数学问题解决研究的主要问题及发展趋势[J].数学教学研究，2008（9）.

[7] 谭瑞梅，朱云.工科“线性代数”课程改革模式探讨[J].高等理科教育，2005（6）：32-34.

[8] 布鲁纳著，邵瑞珍译.教学过程[M].北京：文化教育出版社，1982.