聚焦几何体的展开图

李庆社

1. 几种特殊的几何体的展开图

棱柱：两个全等多边形与一个平行四边形（直棱柱的侧面展开图为矩形）.

棱锥：一个多边形与几个边边相连的三角形.

圆柱：两个圆和一个矩形.

圆锥：一个圆和一个扇形.

注意：不是所有的曲面都可以展开为平面.如球.

2. 正方体的11种展开图

总结：①中间四个面，上、下各一面；

②中间三个面，一、二隔河见；

③中间两个面，楼梯天天见；

④中间没有面，三、三连一线

3. 正多面体

（1）概念：各条棱相等，每个面都是相同的正多边形的几何体叫正多面体.

（2）几种正多面体：正多面体仅有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体这五种.

可围成下面的几何体.

4.典型例题

例1 哪个图形经过折叠可以围成一个棱柱（ ）.

解析：B、C中间有四个矩形，所以应为四棱柱，而B两侧只有两个三角形，C的两个四边形都在一侧，所以不能围成棱柱.A、D中间有三个矩形，所以应为三棱柱，而A的两个三角形都在一侧，所以不能围成棱柱.故只有D可以.故选D.

例2 将一个长方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至多可以剪 条棱.

解析：由正方体展开图可知：还连在一起的边为正方体未剪开的棱.每种情况均为5条.又正方体有12条棱，所以都剪了7条棱.所以至多可以剪7条棱.

例3 如图1所示，是一个什么多面体的展开图？

（1）如果1是上面，2是前面，请你指出其他几个面所处的位置？

（2）如果2在左面，6在上面，请指出其他各面所处的位置？

解析：易知此图为正方体展开图，剪个纸片标志一下可知：

（1）3是右面；4是后面；5是左面；6是下面；

（2）1是下面；3是前面；4是右面；5是后面.

例4 一个正六棱柱，它的底边长是6cm，侧棱长都是5cm，则它的侧面积是 cm2.

解析：将正六棱柱展开后，侧面为矩形，所以其面积S=底面周长×侧棱长.而正六棱柱底面为正六边形，边长相等.

所以侧面积S=底面周长×侧棱长=6×6×5=180 （cm2）.

例5 如图2，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分恰好能围成一圆柱，设圆的半径为r.（1）用含r的代数式表示圆柱的体积；（2）当r=8.91cm，圆周率取3.14时，求圆柱的体积.

解析：圆柱的体积V=底面积×高.而侧面展开图为正方形，所以高=底面周长.

（1）高h=2πr ，底面积S=πr2，

所以体积V=πr2×2πr=2π2r3.

（2）体积V=2π2r3=2×3.142×8.913≈13948.34（cm3）.

例6 如图3，有一个正方体的房间，在房间内的一角A处有一只蚂蚁，它想到房间的另一角B处去吃食物，试问它采取怎样的行走路线是最近的？如果一只蜜蜂，要从A到B怎样飞是最近呢？

解析：把正方体展开，在其包含A、B的两个相连的正方形（两种情况：前面与上面的正方体或者前面与右面的正方体）中连接AB，则蚂蚁沿着线段AB的路线走最近.（两点之间线段最短）若是蜜蜂，则只要直接从A沿体对角线飞到B即可.