三角恒等变换的几种常见技巧

三角恒等变换是三角函数部分的重点内容.《考试说明》明确指出对三角公式和三角恒等变换的考查通常与三角函数的图像与性质相结合，或直接化简求值.化简求值的问题，不仅考查学生对相关公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角公式（倍、半、和差、诱导等）为素材，重点考查相关的数学思想和方法，比如函数与方程思想，化归与转化思想，等等.所以同学们熟练掌握三角恒等变换的一般方法和技巧是解决三角函数问题的关键.本文归纳了几种三角恒等变换的常用技巧，仅供参考.

虽然三角变换的技巧多且灵活，但是万变不离其宗，多是通过观察角、名、形、幂之间的差异，进行差异分析，实现异角化同角、异名化同名、高次化底次、弦切互化等的变异求同.

1.变“角”

例1.设α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.

【分析】条件角是α-，β+，目标角是α+β，运用转化与化归思想得到α+β=（α-）+（β+）-.

【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.

由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.

所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.

【评析】本题可以直接利用和角、差角公式展开cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.这也是一种思路，但是计算量太大.本题的解法通过配角化异求同，沟通已知角与未知角的关系，大大提高了解题效率.但是解题中要注意角的范围，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽视角的范围限制，容易产生运算错误.

常用的角度变换有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.

2.变“名”

例2.已知函数f（x）=tan（2x+），

（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；

（II）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.

【分析】解决三角函数问题要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，这里有复角α+，倍角2α，单角α，首先得消除角的差异，即α+，2α→α；其次函数化切化弦.

【解答】（I）易解得定义域为{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.

（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.

因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.

由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.

【评析】弦切互化是化函数异名为同名的最常用方法.忽视角的范围限制是产生错误的重要原因.

3.变“式”

例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.

【分析】非特殊角→特殊角，利用公式变形整体求解.

【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.

【评析】在进行三角变换时，顺用公式的情况比较普遍，但如果能根据题目的结构，联想到公式的变形、逆用，那么就会“柳暗花明又一村”.本题的巧妙之处在于将两角和的正切公式变形为tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.

4.变“次”

例4.函数f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是

？摇？摇？摇 ？摇.

【分析】已知条件中存在次数的差异，应先运用降次、升幂公式消除次数差异.

【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.

【评析】通过降次、升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略.常见的降次公式有sinx=，cosx=；升幂公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.

5.“1”的妙用

例5.已知a，β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=

？摇？摇？摇 ？摇.

【分析】已知条件是sinα，cosα的齐一次式，联想到化弦为切，转化为tanα，tanβ的关系.

【解答】tanβ===tan（-α）.又因为α，β均为锐角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.

【评析】在三角变换中，“1”的妙用使问题迎刃而解.常见的有1=sinα+cosα，1=tan.

6.整体处理

例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，则cos2θ的值是

？摇？摇 ？摇？摇.

【分析】看到sinθ+cosθ=比较容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，这是一种思路.当然还可以从化同角的角度把单角变倍角，则只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角转化为单角，则cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，这个问题就解决了.

【解答】法一：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因为θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.

法二：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，

又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，

所以cosθ-sinθ<0，即cosθ-sinθ=-.所以cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=·（-）=-.

【评析】题目虽短，却是三角函数中的一个非常典型的问题，它体现了三角函数解题的一些基本规律和基本方法，比如角的变换、函数名的变换、整体处理等.特别要熟悉sinθ+cosθ，sinθ·cosθ，sinθ-cosθ这三者之间的联系，即知一求二.

总之，在三角恒等变换中要注意：（1）发现差异：观察角、函数、结构之间的差异，进行“差异分析”；（2）寻找联系：运用相关的公式，找出差异之间的内在联系；（3）合理转化：选择适当的公式，进行差异的转化.从而实现“名”、“角”、“形”的统一，同时要注意角的取值范围对转化的影响.