浅谈与四边形有关的动态问题

动态题是近年来中考的一种常见题型，各地中考越来越关注动态问题.动态问题在中考中大多以压轴题出现，集代数、几何、三角函数等知识于一体.综合性、探究性较强，有助于培养学生的分析、综合、探究、逻辑推理能力和知识的整合能力，所以也备受关注.动态图一般指题目图形中存在一个或多个动点、动线、动图，它们在折线、射线或弧线上运动的一类开放性题目.有关动态问题的综合题要特别关注运动与变化中的不变量不变关系或特殊关系，注重在图形形状或位置的变化过程中寻求函数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形的联系.下面主要探讨与四边形有关的动态问题.

—、动点问题

动点问题主要有两种题型：一是寻找满足条件的点的位置；二是由动点问题探究题目中变化的量之间的关系.

例1：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为（秒），

图1

（1）当MN//AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.

思路分析1：第一小题是求满足条件的值，首先要注意审题，明确题目提供哪些变量、哪些不变量.通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解.所以当题中设定MN//AB时，其实是一个静止问题.通过作辅助线腰的平行线便可将动态问题转化成平行时候的静态问题，于是由平行得到相似，列出比例式建立变量与不变量之间的关系，很快可以求出满足条件的值.

解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图2，过D作DE//AB交BC于E点，则四边形是平行四边形.

图2

∵AB//DE，AB//MN，

∴DE//MN.

∴=.

∴，解得t=.

思路分析2：由于我们平常见到的等腰三角形经常是MN=NC这种状态.因此就漏掉了MN=MC，MC=CN这两种情况.在中考中如果在动态问题当中出现等腰三角形，就一定不要忘记分类讨论的思想，任意两边都可以当腰.具体分类以后，就成了较为简单的解三角形问题，最后要提醒学生注意检验值是否符合题意.像这种题目一般先假设结论成立，再根据结论与已知条件进行合情推理，去伪存真，得到正确结论.

（2）分三种情况讨论：

①当MN=NC时，如图3，作MF⊥BC交于F，则有MC=2FC，易得10-2t=2×，解得t=.

图3

②当MN=MC时，如图4，过M作MH⊥CD于H，则CN=2CH，即t=2（10-2t）×，解得t=.

图4

③当MC=CN时，10-2t=t，解得t=.

综上所述，当t=、或时，△MNC为等腰三角形，

总结：例1中（2）小题由动点产生特殊三角形，此外，这种存在性问题还包括存在特殊四边形、相似三角形、全等三角形、最值问题、对称问题、距离之和最小问题等，这里就不一一介绍了.

二、动线问题

解动线问题时，也要特别关注运动与变化中的不变量，不变关系或特殊关系，综合应用函数、方程、分类讨论、数形结合等思想.

例2：如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）.平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）.

（1）点A的坐标是？摇？摇 ？摇，点B的坐标是？摇？摇 ？摇？摇；

（2）当t=？摇？摇 ？摇？摇秒时，MN=AC；

（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值；若有，求最大值，若没有，请说明理由.

思路分析：第二小题很多学生会很自然地认为MN与AC的位置关系只有题目提供的图示情况，从而忽略了隐含的另一种情况而导致失分.第三小题以一条运动的直线为载体，以矩形为背景探究图形面积的变化也要先确定分段点，分两段寻求S与t的函数关系.

解：（1）（4，0）（0，3）

（2）2或6

（3）当0

由△OMN∽△OAC，得==，

∴ON=t，S=t.

当4

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4），

∴S=△OND的面积-△OMD的面积

=t-t（t-4）=-t+3t.

（4）有最大值.理由：当0

在对称轴直线t=0的右边，S随t的增大而增大，

∴当t=4时，S可取到最大值×4=6.

当4

综上，当t=4时，S有最大值6.

三、动图问题

动图问题，经常以三角形或四边形来创设情境，探索三角形或四边形在运动变化过程中蕴含的规律或相关结论.

例3：如图7，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D.

（1）当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由.

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0

思路分析：本题中点M的位置改变，从而使四边形OCMD的形状一直在变，但是点M在第一象限，它到x轴和y轴的距离分别是它的纵、横坐标，所以利用周长与面积公式很容易得出周长不变的结论和面积的最值.第三小题以三角形为背景，以运动的正方形为载体探究图形面积的变化情况，也是分段函数.所以要先确定分段点，画出每一段的某一时刻的图形进行探究.

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（00，-x+4>0）.

则MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，

∴C=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8.

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8.

（2）根据题意得S=MC×MD=（-x+4）x=-x+4x=-（x-2）+4.

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0

（3）如图8，当0

如图9，当2≤a<4时，S=（4-a）=（a-4）.

图8 图9

动态几何问题往往作为压轴题，这种题型灵活性大，综合性强，一般思路如下。

第一，注意审题，结合图形进行分析，要明确的是在变化过程中有哪些不变的量和变量，并对它们进行梳理，把一个个条件分离出来，将大问题化成若干个小问题去解决.针对运动的量，要掌握其运动的方式与形式.针对不动的量，要建立它们和动量之间的关系.

第二，确定临界点，准确地对自变量进行分段，全方位考查导致图形发生变化的各个时刻，画出每一段某个瞬间的图形.在各个静态图形中探索各个变量的关系.如果没有静止状态，则可通过比例、相等关系等建立变量间的函数关系来研究.

第三，在做题过程中时刻注意是否需要分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学失分是因为没有讨论，只是想当然地认为只有题目所给的那一种图示形式，没有挖掘出题目隐含的另一种情况.