通过问题串发挥教师的引导作用

课的设计与思考

一、教学内容的分析

1.教材的地位和作用

从对数函数知识本身来讲，对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，前面学习了指数与对数，又学习了指数函数，对数函数是在指数、对数与指数函数的基础上引入的，是对上述知识的拓展和延伸，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。

从函数角度来讲，在初中，学生学习了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、图象、性质，到高中后，开始系统地学习函数的性质，从图象、性质、应用等方面较全面地研究了指数函数，学生对新函数的分析、研究已不再陌生。通过对数函数的学习，学生对函数这一重要数学思想有进一步的认识与理解，对函数的概念、图象、性质的探讨进一步完善，对函数知识体系的学习更加完整、系统。

2.教学重点和难点

对于对数函数，学生在认知理解上存在的主要困难是对数函数性质的归纳与整理，虽然之前已经学习过指数函数，但要熟练地总结归纳出对数函数的性质特征，需要从形式上和指数函数进行类比；其次，由于指数与对数之间存在的联系，指数函数与对数函数之间也必然存在着相关性，它们在图象和性质上究竟有怎样的关系，学生对规律的发现以及代数论证存在一定的障碍。

根据以上的分析，本节课的重、难点确定为：

（1）重点：对数函数的概念、图象和性质；

（2）难点：对数函数的图象和性质，对数函数与指数函数的关系。

二、教学目标的确定

1．知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，了解对数函数与指数函数之间的联系。

2．过程与方法：从函数概念的角度及指数函数的形式引入对数函数的概念，通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，形成对数函数的概念；画出对数函数的图象，根据函数y＝logax图象的特征，对照指数函数的研究方式，从特殊到一般，归纳、总结其性质；从图象和代数两种形式，找出指数函数与对数函数之间的联系。

3．情感态度价值观：培养数形结合的意识，提高学z0FASae3NV4OL/9oqiq1R4sJ3w6TIL1sfrFwqt8Hsk8=生的识图能力；学会用联系、类比的观点分析问题。

三、教学方法的选择

由于学生已经系统学习过指数函数，掌握了指数函数的图象和性质，知道了指数函数的研究方式，本节课研究对数函数，主要采用探索发现法、小组讨论法、练习总结法等教学方法。

（1）从指数函数的形式出发，从函数概念的角度，引入对数函数。通过学生活动，从实际问题出发，发现指数函数与对数函数之间的联系，由指数式、对数式之间的关系，通过问题串的方式引导学生说出对数函数的定义域和值域；

（2）在研究其图象时，通过作出几个具体对数函数的图象，充分挖掘指数函数与对数函数之间的联系，发现二者图象关于直线y＝x对称；

（3）在研究其性质时，主要采用小组讨论法，学生协作学习，运用类比的思想，类比指数函数的研究方式，对照指数函数的图象和性质，总结归纳出对数函数的性质。

在学法上，提倡以学生为主体，教师为主导的课堂教学模式，教师通过问题的引导，启发学生思考、分析、实践、探索、归纳、总结，让学生积极主动参与学习过程，充分展现他们的发现与创造性思维。

四、教学过程的设计

本节课以建构主义为理论依据，设计教学过程总体框架为：情景再现——提出问题——动手实践——协作探索——类比总结——解决问题——巩固应用。在整个教学流程中，通过一系列的问题串发挥教师的引导作用，学生在解决问题的过程中自主发现、探索、提炼、总结。教学流程图如下：

课例呈现

1．引入：

前面我们学习了指数、对数以及指数函数，请你写出一个指数函数的例子。

生：y＝2x．

2x是一个指数式，称y＝2x为指数函数.log2y是一个对数式，试问x＝log2y是否也是一个函数？为什么？

生：是．因为它符合函数的定义，当y＞0时，任意给定一个y的值都有惟一的x值与之对应．

我们已经知道指数与对数之间的关系，那么函数y＝2x与x＝log2y之间有什么关系？你能用一个实例来说明二者之间的联系吗？

学生活动。

细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y是分裂次数x的函数，即y＝2x，x∈N*．函数x＝log2y则是知道细胞分裂后的个数y，求细胞分裂的次数x的过程，二者之间是反过来的.

（意图：函数的概念是学习函数的最根本的问题，学生熟悉指数与对数，此处开门见山地从函数的角度，从指数函数的形式直接引入对数函数，然后让学生以一个非常熟悉的实际问题为背景，直观了解指数函数、对数函数模型所刻画的数量关系，并且鲜明地刻画出两个函数之间的联系。）

下面通过复习指数函数的图象和性质，为学生通过类比的方法研究对数函数的图象和性质做铺垫。

回顾指数函数的图象与性质：

2．概念的形成与辨析

对数函数的概念：一般地，函数y＝logax（a＞0且a≠1），x∈（０，+∞）叫做对数函数。

问题1：结合指数与对数之间的关系，试说出对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的定义域与值域。

生：定义域为（0，+∞），值域为R．

问题2：试比较指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的定义域和值域，它们之间有什么关系？

生：指数函数的定义域和值域，分别是对数函数的值域与定义域。

（意图：同指数函数的概念一样，对数函数也是一个形式上的概念。通过两个问题成功地建立了指数函数与对数函数的一般联系，为学生能够发现两者图象之间的关系提供思考的途径。）

例1 求下列函数的定义域：

（1）y＝log0.2（4－x）；

（2）y＝loga（■）（a＞0且a≠1）；

解：（1）由4－x＞0，得x＜4，故函数的定义域是（－∞，4）；

（2）由■＞0，得x＞1，故函数的定义域是（1，＋∞）；

（意图：概念形成之后，需要对其进行概念的辨析，进一步强化对数函数的定义域。）

3．对数函数性质的形成

分别在同一坐标系下画出以下两组函数的图象。

（1）y＝2x，y＝log2x；

（2）y＝（■）x，y＝log■x。

问题3：观察各组函数的图象，它们之间有着怎样的关系？

生：关于直线y＝x对称。

思考：一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝ax与y＝logax是否有上述关系？

生：有。

（意图：有了对数函数的概念之后，学生就自然想到要研究函数的图象，对数函数的图象是什么样子？通过描点、作图画出两组图象，让学生动手作图、对比图象，发现规律。从特殊到一般，总结出指数函数与对数函数图象之间的关系，并以此来验证二者在定义域和值域上的关系。至于y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称的代数证明可以在课后进行探究。有了这条性质，即请学生快速地在同一坐标系内画出y＝log2x，y＝log■x，y＝log3x，y＝log■x的图象，并通过小组协作讨论，归纳总结出对数函数的性质。）

观察下列函数的图象（用Ｅxcel或几何画板给出）：y＝log2x，y＝log■x，y＝log3x，y＝log■x

问题4：结合指数函数，你能总结、归纳出对数函数具有哪些性质吗？

（意图：上述性质学生通过类比指数函数不难得到。主要从五个方面进行考虑：定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊性质。这里需向学生说明一点，这些关于性质的结论都是从特殊的函数归纳得到的，即运用由特殊到一般的总结方法，那么对一般的情况（即底数a取不同值）上述性质是否存在？借助几何画板，作出动态的对数函数的图象，让学生观察、发现、交流，回答问题5和问题6。）

问题5：对数函数的图象与y轴有交点吗？它们有着怎样的特殊关系？

生：没有交点，y轴是对数函数的渐近线。

问题6：随着底数a的变化，对数函数的图象呈现怎样的变化规律？

生：在第一象限按顺时针方向，底数依次增大。

例2 利用对数函数的性质，比较下列各组数的大小：

（1）log23.4 log23.8；（２）log0.５1.8 log0.５2.1；

（3）log25 log35； （4）log76，log58，log0.73.

解：（1）因为y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，由于3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

（2）因为y＝log0.5x在（0，＋∞）上单调递减，由于1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

（3）考察y＝log2x与y＝log3x的图象，易知log25＞log35；

（4）log0.73＜0＜log76＜1＜log58．

问题7：如何比较两个对数的大小关系？

（1）同底对数考察函数的单调性；

变式（选）：比较大小loga5.4____loga3.2．

解答：考察函数y＝logax，

①当a＞1时，函数y＝logax在（0，+∞）为单调增函数，由于5.4＞3.2，所以loga5.4＞loga3.2；

②当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，+∞）为单调减函数，由于5.4＞3.2，所以loga5.4＜loga3.2；

（2）同真数对数考虑对应函数的变化规律；

（3）真数与底数均不同时，先考虑与0、1等特殊数的大小关系。

（意图：设置“例2”是为进一步熟悉、理解对数函数的性质，并运用性质处理一些实际问题。（1）和（2）是同底对数式，考虑同底对数函数的单调性，补例需要考虑a的范围，涉及分类讨论的思想；（3）是同真数的对数式比较大小，可以运用对数函数的变化规律解题，还可以运用换底公式；（4）中真数与底数均不相同时，应考虑选取中间值来进行比较。）

4．小结：

问题1：对数函数的概念是如何形成的？问题2：简述对数函数的性质；问题3：对数函数的性质又是怎样得到的？它体现了怎样的思想方法？

（意图：以问题的方式请学生进行课堂学习内容的小结，让学生再次回归知识的生成过程，体会数形结合、类比、由特殊到一般、分类讨论等数学思想方法在解决问题的过程中的应用，培养学生的概括能力和回归本质的意识。）

思考：通过对本节课的学习，你有什么方法能快速判断对数式logab的符号？

生：当a，b同属于区间（0，1）或（1，＋∞）时，logab＞0，反之则为负。

（意图：通过思考题让学生从函数值的正、负角度观察对数函数的图象，进一步感受分类讨论的思想，让学生在解决问题的过程中不断总结规律，提升其数学思维品质．）

5．作业：

1．求下列函数的定义域（课本题）

（1）y＝ln（3x－1）；（2）y＝log4■.

2．利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：

（1）log57.8与log57.9；（2）log0.33与log0.32；

（3）ln0.32与log2；（4）log65与log78．

（作者单位：南京市中华中学）