中学数学化归思想方法的教学策略

【摘 要】化归是数学思想方法的核心之一，是数学教学与数学解题中最基本、最常用的思想方法之一。教师要引导学生掌握数学化归特点、思想方法、原则及施教策略，在数学学习中不断渗透数学化归思想方法，把数学化归思想方法贯穿于数学学习的始终，让学生掌握并运用数学化归思想方法正确解决数学问题。

【关键词】中学数学 化归 方法 教学策略

将一个数学问题由繁到简、由难到易、由生疏到熟悉、由复杂到简单的转化过程叫做数学化归。在研究与解决有关数学问题时，通过变换使之转化，进而达到解决问题的数学化方法叫做数学化归思想方法。数学化归思想方法的基本策略是将较复杂的问题转化为简单的问题，将较难解决的问题转化为容易解决的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未解决的问题转化为已经解决的问题。

化归是解决数学问题的一种重要思想方法，几乎所有数学问题的解决都离不开化归，只是所体现的化归形式不同而已。善于使用化归是数学家思维方式的一个重要特点。匈牙利著名数学家路莎·彼得（Rozsa Peter）曾指出：数学家们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经得到解决的问题。

将问题M转化到问题N，既可以是数学问题的转化，又可以是数学方法的转化。对数的发明不仅是数学问题的转化，更是数学方法上的革命；解析几何学的诞生引起了数学革命，在创立解析几何学过程中，把代数与几何相结合的同时，又引进了变数，变数的引进对数学的发展有着极为重要的意义。恩格斯指出，“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。

1.通过语义转换实现化归

所谓“语义转换”就是指将一个数学问题经过适当变形，并作出不同于其表面的或常规的语义解释，使问题转化为另一个问题，它可能与原问题隶属于同一个系统，也可能不隶属于同一个系统，但新语义解释的问题形式上简明，解决起来比较方便。

由于对数学中的同一个数学问题的表示形式可以作不同的语义解释，同一种数学语义的内容可以用不同的数学语言形式来表示，这就为数学问题的语义转换创造了“客观”基础，提供了可能性。如：■的基本意义是表示m2+n2的算术平方根，但它还可表示点（m，n）到原点的距离、向量■＝（m，n）的长度、复数m+ni（m，n∈R）的模等；如果m、n是正数，它表示以m、n为直角边的直角三角形的斜边的长等。

初等数学中“数”与“形”之间的转换是最常见、最基本的转换，围绕其相互转换形成了一种重要的数学思想方法，即数形结合的思想方法。该思想方法的实质是通过对同一数学对象进行代数释意与几何释意的互补，实现“形”与“数”的语义转换，将“形”解释为“数”，利用“数”的知识解决“形”的问题。数形结合思想方法实际上是一种最常见的语义转换策略。

例1 关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2-3=0有唯一解，求实数a的范围.

分析：这是一个超越方程问题，将其等价化归为方程log2（x2+2）=-■x2+■有唯一解.进而转化为函数f（x）=log2（x2+2）的图象与函数g（x）=-■x2+■的图象有唯一交点，作出函数图象可知a>0■=1，解得a=1.

对于超越方程有解问题，通常都可以通过语义转化对原方程进行整理，使其一边含有指数式、对数式、根式，而将其余的项移到方程的另一边，通过构造两个函数，分别作出两个函数的图象，通过函数图象的交点个数得到原方程的解的个数。

2.寻找相应解题模式进行化归

在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来，并作有目的地简单编码。当遇到新问题时，我们可以辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略。这一策略体现了化归的思想。

例2 在数列an中，已知a1=1，an+1=1+■an+■，求数列an的通项公式.

分析：将an+1=1+■an+■转化为■=■+■，并令■=bn，则bn+1=bn+■，这个关系式与下列数列问题相似：bn+1-bn=f（n），可以通过累加法求得其通项公式为bn=b1+■f（k），根据以上考虑可得■=2-■，于是得原数列的通项公式为：an=■.

例3 已知m>1，y=x2，求证：logm（mx+my）≥-■+logm2.

分析：由于m>1，故由对数函数的单调性，不等式logm（mx+my）≥-■+logm2等价于：mx+my≥2m■……（1），于是命题就转化为：在m>1且y=x2的条件下，证明不等式（1）.

将y=x2代入（1）得：mx+m■≥2m■……（2）

注意到不等式（2）的右边有系数2，显然为了得到2这个系数，我们自然会想到算术与几何平均数不等式：a+b≥2■（a>0，b>0），由m>1，mx>0，m■>0得mx+m■≥2m■……（3）.

比较不等式（2）与（3），只需证明m■≥m■……（4），那么不等式（2）自然成立.

对于不等式（4），由于m>1，由指数函数的单调性，不等式m■≥m■可以转化为■≥-■，即x2+x+■≥0……（5）

这样，最终将问题转化为求证不等式（5）这个简单而熟悉的问题。而不等式（5）明显成立。由此不难推出不等式（4）、（2）和（1），最后得到欲证的不等式logm（mx+my）≥-■+logm2。

从上面的分析可以看出，由于解题的需要，在思考的过程中需要多次进行等价变形，使之转化，从而将原来的问题化归为我们熟悉的或者能解决的问题，从而求得原问题的解。

3.运用一般化或特殊化实现化归

所谓一般化，是指为了解决某一问题，我们先解决比其更一般的问题，然后将之特殊化，从而得到原问题的解。一般化策略一方面有助于命题的推广，另一方面它也是解决许多数学问题的有效途径。相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决。因此，人们在解决某个一般性的数学问题出现困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题上去，从而获得一般性问题的解决。

对于一个具体问题，到底采用一般化策略还是采用特殊化策略，一方面要视问题的特点而定，比如一个问题本身较为特殊，而且容易推广到一般情况，就可以考虑使用一般化策略，如果一个问题本身较为一般，并且能够分解成几个较为简单的问题，可以考虑特殊化策略；另一方面取决于学习者自身的习惯，比如一个问题既可以向一般化方向转化，也可以向特殊化方向转化，有的人习惯于特殊化，有的人习惯于一般化。当然不管采用哪种方法，只要能实现问题的转化，使问题得以解决都是可行的、有效的方法。

特殊化一般包括“非等价特殊化”和“等价特殊化”两类。“非等价特殊化”是指特殊化并没有实现将原问题的解决完全化归为另一个新问题的解决，仅是有助于原问题的解决，即原问题与新问题并不等价。

“等价特殊化”是指特殊化后得到的新问题真正实现了原问题的化归，其解决就意味着原问题的解决，即原问题与新问题是等价的。

在研究问题时，有时会将一个问题转化为与它等价的问题，有时新的问题与原来的问题并不等价，但是从新的问题可以很容易得到问题的解答。在证明不等式问题时，经常会使用这种不等价的化归方法。

例4 已知n（n>4）是给定的正整数，设x1，x2，…xn∈［0，1］，求证：2（x13+x23+…+x3n）-（x12x2+x22x3+…+xn2x1）≤n.

分析：我们先证明一个比较简单的不等式：如果x，y∈［0，1］，则x3+y3≤x2y+1.

事实上：当x

-（x12x2+x22x3+…+xn2x1）≤n.

4.寻找映射实现化归（等价化归）

徐利治教授（1983）把这种策略科学地抽象为关系映射反演方法，简称RMI（Relationship Mapping Inversion）方法。他将RMI方法表述如下：

给定一个含有未知目标原象x的数学关系结构系统S，如果能找到一个确定的映射？准，将S映满S*，则可通过一定的数学手续？鬃把目标映象x*=f（x）从S*中确定出来，进而通过反演？准-1又可把目标原象x确定出来，这称为RMI方法。由于数学知识体系自身的发展，特别是它的现代发展，而不断引进新的重要的映射工具，这就为RMI方法更广泛、更有效的应用展示了更广阔的前景，如今RMI原则被引用到很多学科领域。

寻找映射化归是把一个问题转化为一个等价的会解决的问题的解题策略。

例5 已知a+b+c=0，求证a3+b3+c3=3abc.

分析：如果我们给等式赋予活的数学内容，那将出现一种新的格局。首先，它不再是一个静止的等式，而是方程ax+by+cz=0有非零解x=y=z=t.其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式：a+b+c=0，b+c+a=0，c+a+b=0，最后，再将上面的两个等式结合起来，得到其齐次线性方程组：

ax+by+cz=0bx+cy+az=0cx+ay+bz=0有非零解x=y=z=t，于是a b cb c ac a b=a3+b3+c3-3abc=0，于是a3+b3+c3=3abc成立。

这里既没有用到乘法公式，也没有用到因式分解技巧，是对方程解的定义的理解，把a+b+c=0转化为齐次线性方程组，从而归结为行列式的简单展开。

数学化归思想方法是中学数学思想方法的核心，是学好数学的基础。中学数学每章、每节乃至每个课时的教学都离不开化归思想，离不开知识的转化，因此教师要引导学生掌握数学化归特点、思想方法、原则及学习策略，在数学学习中不断渗透数学化归思想方法，把数学化归思想方法贯穿于数学学习的始终，让全体学生掌握并运用数学化归思想方法正确解决数学问题。

（作者单位：江苏教育学院附属高级中学）