构造向量，探索最值问题求解新思路

骆秀金

向量进入中学数学是我国数学课程改革的一个重要内容，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学，进一步发展和完善了中学数学的知识结构系.拓展了研究和解决数学问题的思维通道.应用向量求解最值问题，其实质就是根据问题的结构特征与向量不等式的结构特征的相似性，通过构造适当的向量解决问题.本文将立足于向量这一全新视角，探讨运用向量知识求解最值问题.

一、运用a·b≤|a|·|b|或|a·b|≤|a||b|求解最值问题

对于任意两个非零向量a，b.其数量积a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，显然有a·b≤|a||b|（当且仅当a，b同向时取“=”号），或|a·b|≤|a||b|（当且仅当a，b共线时取“=”号）.

例1求函数y=2x-1+5-2x（112

解析：函数y=2x-1+5-2x=1·2x-1+1·5-2x.由此联想到不等式a·b≤|a||b|.构造向量a=（2x-1，5-2x），b=（1，1），则a·b=2x-1+5-2x，|a|=2，|b|=2.由不等式a·b≤|a||b|得y=2x-1+5-2x≤22.当112x-1=115-2x即x=312时取“=”号.所以ymax=22.

例2设0

解析：原函数变形为ysinx+cosx=2.由此式左边联想到不等式a·b≤|a||b|.构造向量a=（cosx，sinx），b=（1，y）.a·b=ysinx+cosx=2.由a·b≤|a||b|=1+y2得2≤1+y2.即y≥3或y≤-3（不合题意）. 当且仅当a，b共线时取“=”号.即cosx11=sinx1yy=sinx1cosx2-cosx1sinx=sinx1cosxcosx=112.所以x=π13.所以当x=π13时，ymin=3.

二、运用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解最值问题

对于此不等式，应用向量加、减法的三角形法则容易获证.用其求解最值问题的关键是不等式取“=”号的条件.

例3已知x，y是实数， 且x2+y2-4x-6y+12=0.求x2+y2的最值.

解析： 原方程可化为（x-2）2+（y-3）2=1.

目标代数式 x2+y2=[（x-2）+2]2+[（y-3）+3]2. 由此联想到不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| .构造向量a=（x-2，y-3），b=（2，3），则|（x-2）2+（y-3）2-22+32|≤x2+y2≤（x-2）2+（y-3）2+22+32.

即|1-13|≤x2+y2≤1+13.所以14-213≤x2+y2≤14+213，

即（x2+y2）min=14-213，（x2+y2）max=14+213.

例4设a，b∈R+且a≠b.求函数y=asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x的最值.

解析：设m=（asinx，bcosx），n=（bsinx，acosx），

则|m|+|n|=asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x.|m+n|=（a+b）2sin2x+（a+b）2cos2x=a[KF）〗+b.

由于|m+n|≤|m|+|n|.所以y≥a+b.

当且仅当asinx1bsinx=bcosx1acosx，即a=b时取“=”号.所以ymin=a+b.设p=（asin2x+bcos2x，acos2x+bsin2x），q=（acos2x+bsin2x，asin2x+bcos2x），则|p|=|q|=a+b，p+q=（asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x）·（1，1）.所以|p+q|=（asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x）·2.

由于|p|+|q|≥|p+q|，所以y≤112（|p|+|q|）=2（a+b）.

当且仅当asin2x+bcos2x1acos2x+bsin2x=acos2x+bsin2x1asin2x+bcos2x，即|sinx|=|cosx|时取“=”号.所以ymax=2（a+b）.综上可知，根据题设适当构造向量，应用向量不等式求解最值问题，思路清晰，方法简捷巧妙.有规律可循，趣味性强.对培养学生的创造性思维大有益处.