关注数学联系 提升教学品质

王铁成　杜先富

摘要：数学充满联系，发现联系建立联系，是数学活动的重要目的.本文从三个方面探讨“三角函数”与其他数学主题的关联，重点讨论与“锐角三角函数”、“直线和圆”、“函数单调性”的联系.具体而言，第一，要突出与初中“锐角三角函数”的衔接；第二，要强化与直线和圆的关联；第三，要实现与函数性质以及指数对数函数的对接.无论是从“怎样学数学”的角度，还是提升教学品质的角度，关注数学联系，寻求数学联系，都应该成为教学目标之一，或者说数学教师的任务之一.

关键词：学习目标；数学联系

作为教师，在教材中读出联系，是不成问题的.问题是，怎样在课堂中 在教学中帮助学生关注数学内外的联系，甚至“发现”数学联系，把“隐性的数学联系”“显现”出来，从而保证上述目标的达成？下面就“三角函数”与其他各个主题的联系，谈一些思考.

一、作为理论化的三角函数，要突出与初中“锐角三角函数”的衔接

从认知心理角度讲，学生初中学习的锐角三角函数，是高中学习任意角三角函数的基础.作为理论化的任意角的三角函数，要突出与初中“锐角三角函数”的衔接.

图1例1以锐角三角函数为基础的“和角公式”和“半角公式”

解：（1）如图1，在△ABC中，设∠ABC=α（α为钝角），

AB=BC，E为AC的中点，AD⊥CD于D，

则∠ABE=α12，∠ABD=180°-α，不妨设AB=1，

在Rt△ABD中，AD=-cosα，AD=sinα，

所以CD=1-cosα，AC=AD2+CD2=2-2cosα，

AE=2-2cosα12，所以sinα12=2-2cosα12，cosα12=2+2cosα12.

图2（2）设∠BAC=α，∠ABC=β（α+β<90°），过C作CD⊥AB于D，过B作BE⊥AC ，交AC的延长线于E，如图2.

不妨设AC=1，在Rt△ACD中，AD=cosα，CD=sinα.

在Rt△CDB中，BD=CD·cosβ1sinβ=sinαcosβ1sinβ，

BC=CD1sinβ=sinα1sinβ.在Rt△BCE中，∠BCE=α+β，BE=BCsin∠BCE=sinα1sinβsin（α+β）.

在Rt△BAE中，AB=cosα+sinαcosβ1sinβ，BE=cosαsinβ+sinαcosβ1sinβsinα，

所以sinα1sinβ·sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ1sinβ·sinα.

即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

二、三角函数就是圆函数，要强化三角函数与必修2之间的关联

我们知道任意角α的正弦和余弦就是角α的终边与单位圆交点的纵坐标和横坐标，这一规定是整个三角函数体系化的基石.三角函数天然就与圆紧密相连，比如，单位圆的方程是x2+y2=1，所以sin2α+cos2α=1.三角函数的教学应该提示、揭示这种关系，强化相互关联，一方面掌握正、余弦概念的程序操作，另一方面巩固必修2的相关知识.试举两例.

图3例2如图3，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标是 （315，415），△AOB为正三角形.（1）求sin∠COA；（2）求cos∠COB.

分析：设B的坐标为（x，y）（x<0，y>0），由已知有

x2+y2=1

（x-315）2+（y-415）2=1 ，解得x=3-43110，

所以cos∠COB=3-43110.

例3已知圆 和圆外一点 ，过 作圆的两条切线，设两切线夹角为 ，求 和 的值.析：设切线方程为 ，由已知有 ，解得 或 ，依题意 ，所以 三、作为一类基本的初等函数，要实现与必修1的对接

显然，函数单调性的学习在整个高中需经历三个阶段：第一阶段，必修1——函数的基本性质，指数和对数函数的单调性；第二阶段，必修4——三角函数 的单调性；第三个阶段，文科选修1-1、理科选修2-2——导数及其应用. 每个阶段的侧重点不同，第一阶段，侧重函数单调性的概念理解和判断（证明）程序的学习，第二个阶段主要是求函数 的单调区间，第三个阶段重点是用导数研究函数的单调性.从概念理解到程序操作，三角函数承前启后，作用不可低估.用换元法和图象变换求函数y=Asin（ωx+φ）+h的单调区间.

例3求函数y=2sin（2x+π13）图象的对称中心、对称轴以及函数的单调区间.

分析：由y=2sin（2x+π13）的对称中心是（kπ，0），对称轴是x=kπ+π12，增区间是[2kπ-π12，2kπ+π12]，减区间是[2kπ+π12，2kπ+3π12]，得

y=2sin（2x+π13）的对称中心是（kπ-π1312，0），对称轴是x=kπ+π12-π1312，增区间是[2kπ-π12-π1312，2kπ+π12-π1312]，减区间是[2kπ+π12-π1312，2kπ+3π12-π1312].3.2 用单调性求 的最大（小）值例5 求函数 的最大值和最小值.析：当 时函数 递减，也就是 时函数 递增，即函数在 上递增，在区间 上递减，所以当 时， 取得最小值 ，又当 时 ，当 时 ，所以 取得最大值 综上，三角函数与多个数学主题相连，不仅如此，这种链接还可以延伸到选修4-4“极坐标系”，延伸到向量空间，这里不再赘述.正如顾泠沅教授所说的：“在概念之间建立联系” 可以“保持高水平认知”，同样，教学中不断地尝试各种表征方式、各种数学活动方式，保持数学思想与方法之间的密切联系，不断地沟通各数学主题，或许可以提升教学的品质.

参考文献：

[1]普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社.

[2]郑毓信.数学教育：从理论到实践—热点透视与个案点评[M]. 上海：上海教育出版，2002，11.