高中数学教学中排列组合的应对策略

黄秀芳

新课标下的高考，文科数学考以简单计数为前提的古典概型和几何概型，理科对排列组合不要求考小题，只能在随机变量分布列的大题中用到排列组合的知识.而排列组合本身是高中数学的一个难点，这需要学生具有非常强悍的解析能力.本文总结多年高中数学教学的经验，对高中数学里的排列组合问题的全面处理方法做研讨，以便和同行商榷从而得到最好的应对策略.

一、 排列与组合的概念

1.排列的概念

排列概念：一般来讲在a个元素里面，随便选用b个元素，再依据指定的次序排成一列，这就叫做在a个元素里面，随便选用b个元素组成一列.特别是当a=b时，这就叫做a个不同元素的全排列.

排列数概念：在a个元素中选用b个元素的一切排列的数目，这就叫做在a个元素里面选用b个元素的排列数.这里采用数学的符号Aba来表示.

2.组合的概念

组合概念：一般来讲在a个元素不相同的元素当中，随便选用b个元素组合成一组，这叫做a个不相同的元素中随便选用b个元素的组合.

组合数概念：在a个元素不相同的元素中选用b个元素的一切组合的数目，这叫做在a个不相同的元素中选用出b个元素的组合数，这里使用数学的符号Cba来表示.

二、排列与组合的应用

使用排列：对于无条件限制的简便排列问题，可以利用公式直接解答；像“用数字0，1，2可以组成多少个无重复数字的三位数？”这种有限制条件的排列问题，可以依照限制条件来使用“直接法”或是“间接法”进行解答.（2）组合方法的使用：对于无条件限制的简便组合使用问题，就使用公式法直接解答；像“从12人中选5人，甲乙丙三人必须当选，有多少种选法？”这种有条件限制的组合问题，就可以依照指定的限制条件来使用“直接法”或是“间接法”解答.（3）整体的组合和排列：在整体的组合排列的问题上，主要是组合排列的混杂问题，解题之前要先处理组合的问题，然后才能研讨排列的问题.在处理组合排列全面问题时，要注重以下两点：第一点限制条件就是排列问题常常出现的出题方式：“不在”和“在”；“不相邻”和“相邻”.在处理客观问题时必须是要有自己的解答思维和方法：碰到“相邻”问题的时候，要经常使用捆绑法来解题，把题目当中的几个元素当作一个元素，这也是处理相邻问题的最好方法.而“不相邻”的问题处理最常用的方式就是“插空法”.在处理“不在”和“在”的问题时，常常会碰到特别元素或是特别方位，但是常见的都是先对特别的元素进行排列.但是当题目里元素的排列次序有限制时，就必须把次序约束放在一旁，让排列结束以后，再依照指定次序来求解得出结果.第二点限制条件的组合问题常常出现的命题方式：“不含”或“含”；“至多”或是“至少”.在处理实际题目时，要学会使用“间接法”或是“直接法”.

三、常见问题的应对策略

1.不相邻的“插空法”

对于几种不相邻元素的排列问题，可以先排其他的元素，再把不相邻的元素插在排好的元素当中.

例如，在校园文艺演出中有4个是朗诵队，2个是舞蹈队，3个是独唱队，如果舞蹈队都不能靠着，那么这样的节目实行的次序总共有几种？

分析：一开始先排2个舞蹈队和3个独唱队，有A55种排法，再在这些节目当中和两边的6个“空”中选4个让舞蹈队插进去，有A46种排法，根据分布计数原理一共有A55A46=43200种排法.

2.相邻的“捆绑法”

对于无数个元素要求相邻的排列，要先让相邻的几个元素“捆绑”在一起，当作是一个整体的元素和剩下的元素进行排列，最后再让组合元素当中的元素进行排列.

例如，书桌上摆着3本不相同的英语书，4本不相同的语文书，5本不相同的化学书，把这些都竖立起来排成一排，如果把相同类的书放在一起，一共有几种排列方法？

分析：由于相同类的书放在一起，就把3本英语书，4本语文书和5本化学书都互相捆绑在一起，看作是3个整体进行排列有 A33种，每捆内部的排列分别有A44种， A55种，A33种，由分步计数原理一共有：A44A55A33A33=103680（种）.

3.巧用“转换法”

对于一些不常见的问题，使用直接解答的方法一般很艰难，从正面着手处理会非常艰难，这时我们就从反面着手，把这种题转化为一个最为简便的问题来处理.

例如，用1到6这六个数字，把它们组合成大于200000而且在百位数是非3的不重复数字的六位数有几个？

分析：一看到题目，瞬间没有思路，但是仔细地一思考，要大于200000 实际上就是首位不是1的数字，因此，我们把问题看成“1”不在首位，“3”不在百位，分析下来，你就会读懂了.这和曾经做过的“甲学生不做学习委员，乙学生不当班长”这个题不是很相似吗？ 从例题那就能转变成这题的做题方法，共有A55+A14A14A44= 504个.

4.分排问题“直排法”

把多个元素排列成前后的几种排列问题，假设没有什么条件来约束，那么就运用全体排成一行的方法来处理.

例如，有个班级有50个学生在10排位置上坐着，而每排有5个人，一共有多少种坐法？

分析：如果50位学生都能在10 排位置上随便就坐，没有条件约束，所以我们就把10排当作一个整体来理解，一共有A 种就坐方法.

当然，排列组合还有其他的应对方法：如分组分配问题，相同元素的隔板原理，元素交叉问题等.总而言之，排列组合在高中数学里不仅运用范围广泛，而且是学习统计学和概率学的基础，由于这部分教学内容的思想方式多变且又灵活，所以排列组合的知识也是培养学生逻辑思维和抽象思维能力的较好的材料.