热振动在纳米力学测量中的应用

王世良，侯丽珍，MA Shu－jun，HUANH Han

（1.中南大学，湖南 长沙 410083；2.湖南师范大学，湖南 长沙 410081；3.The University of Queensland，QLD4072，Australia）

热运动广泛存在于微观世界中，并通过布朗（Brown）运动和约翰逊（Johnson）效应等可观测的宏观现象为人们所认识［1］。通常，作为精密测量中经常遇到的问题，热运动被认为是影响测量精度的主要因素之一［2］。本文中，从另一个侧面出发，以能量均分定量和悬臂梁振动理论作为基础，阐述了利用热振动进行精密力学测量的基本原理，并通过多个测量实例来说明其具体应用。本文中所涉及的基本理论为物理系高年级学生所熟知，所涉及的表征和测量手段广泛应用于物理和工程测量，所获得实验结果却代表了相关领域的研究前沿。

1 理论模型

处于热平衡状态的微悬臂梁可近似成理想弹簧谐振子。该系统的Ha miltonian量为［3］

其中：p、q、m和ω0分别为弹簧谐振子的动量、位移、质量和角频率。按照能量均分定理可得：

其中，kB、T和〈q2〉分别为波尔兹曼常数、环境温度和谐振子位移的方均值。对于弹性常数为K（对应于悬臂梁的法向弹性常数）的弹簧振子，有K＝mω20，所以，

由傅里叶变换中的帕斯瓦尔定理可知［2］，频域中热振动的功率密度谱面积等于时域中热振动幅度的均方值。因此，在一定温度下，如果能获取微悬臂梁的热噪声功率密度谱，则通过对其共振峰进行面积积分，就可确定其法向弹性常数。

另一方面，微悬臂梁进行热振动时，只在其固有振动频率处的振动幅度是最大的。在忽略空气粘滞阻力的情况下，由Euler－Ber noulli理论可知［4］，悬臂梁的第n阶振动频率fn为，

其中：E、I、A、L和ρ分别悬臂梁的杨氏模量、惯性矩、截面积、长度和密度，β1≈1.875，β2≈4.694，β3≈7.855，β4≈10.996，βn（n＞5）≈ （n0.5）π。悬臂梁的第n阶振动模的振幅的方均值（q2n）为［5］。

由于悬臂梁的所有振动模彼此相互独立，且都对悬臂梁的热振动振幅的方均值（q2）有贡献［4］，所以与公式（3）相一致。

2 应用举例

2.1 标定微悬臂梁法向弹性系数

微悬臂梁结构在微观领域有着广泛的应用，而其力学特性又是研发和使用过程中最受关注的参数之一。比如，在原子力显微镜（AFM）中，微悬臂梁的力学特性直接影响到AFM的成像质量和测试精度。但在通常情况下，对于商品化的悬臂梁，由制造商直接给出的弹性常数只具有参考意义；因为给定的参考值与实际标定的弹性常数之间有很大的偏差，有时甚至会达到一个数量级［6］。因此，在进行力学测量之前，我们必须对其进行精确标定。

基于上述理论模型，我们可以采用频谱分析技术获取微悬臂梁的热噪声谱，然后再通过数据拟合和计算，由方程（3）来求出其法向弹性常数。比如，当测得某一悬臂梁在室温下的热涨落幅度为0.3 n m，则该悬臂梁的法向弹性系数约为0.05 N／m［4］。当然，在实际情况下，AFM 悬臂梁是在倾斜状态下进行工作，通过光杠杆技术测量的并不是悬臂梁末端的位移，而是斜率。经修正后，倾斜放置的悬臂梁的法向弹性系数为［4］。

目前，热振动法作为一种简易、无损和快捷的标定方法，已成为微悬臂梁法向弹性常数的主要标定方法之一［6］。

2.2 估测纳米晶须的杨氏模量

在透射电子显微（TEM）分析中，对于一端固定一端自由的细长纳米晶须，其自由端因无法聚焦而只能得到模糊的影像，且其顶端影像的模糊程度随温度升高而增加。通过估测纳米晶须顶端的模糊影像宽度，即2（q2），则由此可以估算出纳米晶须的杨氏模量［7－10］。

比如，如果将一端固定的碳纳米管（CNT）看成长度为L，外径为a，内径为b的空心圆柱形悬臂梁，则由方程（6）可得CNT的杨氏模量

1996年，Treacy等［7］通过TEM原位测量的方法先测出 CNT的〈q2〉、a、b和L，然后通过方程（8）估算出11根CNT的平均杨氏模量，ECNT≈1.8 TPa。

通过TEM原位测量热振动振幅来估算纳米晶须的杨氏模量，虽然存在较大的误差，但仍不失为一种对直径在20 n m以下的纳米晶须的杨氏模量进行估测的简便、快捷而有效的方法。

2.3 定量测量纳米晶须的杨氏模量

显微激光多普勒技术的飞速发展，为纳米悬臂梁热振动谱的精确测量提供了可能。最近，Bieder mann 等［5－10］利用激光多普勒振动计（LDV）获得了CNT和Ag2Ga的热噪声谱，并由此获得了CNT和Ag2Ga的杨氏模量。

图1 Al2O3纳米晶须分析图

作为一种验证，利用Polytec MSA－500扫描LVD，对α－Al2O3纳米晶须的杨氏模量进行了精确的测量。实验中，我们先将单根Al2O3晶须固定在Si基底的边缘，然后采用LVD来采集Al2O3纳米晶须自由端的热噪声谱。图1（a）和（b）对应于同一Al2O3纳米晶须的光学照片和扫描电子显微镜（SEM）照片，由此可测出Al2O3悬臂梁的长度为79.8μm。由高分辨SEM照片图1（c）可知，Al2O3晶须的等效直径（六边形截面的对角线长度）d为295 n m。图1（d）为Al2O3纳米晶须的热激发－速度谱，由此可得前三级振动模：f1＝63 k Hz，f2＝396 k Hz和f3＝1 130 k Hz。因为f2／f1＝6.286和f3／f1＝17.937与对应的理论值6.267和17.551高度一致，可将Al2O3纳米晶须视为理想的悬臂梁，且可以判断出空气粘滞阻力并不会引起纳米晶须的振动模发生明显改变。

将实验测量到的d、L 和fn，以及I＝代入方程（4），可算出与三个振动模相对应的杨氏模量E分别为450，453和452 GPa。由于 Al2O3［0001］单晶的杨氏模量为435～475 GPa，所以Al2O3纳米晶须的杨氏模量与对应的块单晶体材料并没有明显区别。

此外，也可以通过Al2O3纳米晶须的热激发功率密度谱的面积，即各级振动模的振幅的方均值，〈qi2〉，来计算其杨氏模量。比如，由图1（e）可得，〈q21〉＝6.0 nm2，通过公式（5）可得E＝446 GPa，与通过共振频率算出的约450 GPa完全一致。

3 结 论

基于能量均分定量和悬臂梁振动理论，分析讨论了微悬臂梁热振动的物理模型，并列举了利用该物理模型来标定微悬臂梁的弹性常数、估测和定量测量纳米晶须杨氏模量的三个实例。本文中所讨论的理论模型，忽略了空气对悬臂梁的阻尼，且没有考虑量子效应对热振动谱的影响（在高频和低温条件下有比较明显的影响）。如要进行更精密的测量，则需要对本文中涉及的物理模型进行拓展和修正。

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