以提升学生实践和应用能力为核心的高等代数教学改革

权利娜

（陕西学前师范学院数学系，陕西西安 710100）

一、课改背景介绍

教学改革是大学教育永恒的话题，不仅在中国而且在国外都是如此［1］。对于我国，从20世纪制订的《面向二十一世纪高等工程教育教学内容课程体系改革计划》到现在进行的教育质量工程，都对教学改革提出了明确的要求，我院的高等代数课程在近些年也进行了多次的改革尝试。

高等代数课程作为数学专业的三大基础课程之一，它不仅广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已经渗透到自然科学的其他学科，如工程技术、经济与社会科学等领域，不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养，训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑能力有很重要的作用。但多年来的教学也存在一些问题，如教学个性不明显、教学模式陈旧；教学内容的安排受教材的影响较大，可以简的和可以放的内容简不下来也放不下去；教学中的应用性和实际计算不够，更重要的是教学过程偏重理论教学，强调基本定义、定理及其证明，对其方法和应用重视不够。这样以来，其弊端之一是学生看不到学习高等代数的用处，不知如何用所学的理论知识来解决实际问题，从而产生了厌学和弃学的念头；弊端之二是教学改革流于形式，没有达到改革预期的目的，教学依旧按部就班。这印证了清华大学副校长、教育部副部长周远清同志说的“没有什么时候比现在对教学方法改革的要求更为迫切、更为强烈了，如果大家天天讲创新、讲创新力培养，而丝毫不去触动在人才培养中扼杀创新能力、创新知识的教学方法，那就等于自己骗自己。”［2］

从2011年开始，我们在总结以往教改利弊的基础上提出了“倡导知识本体，基于能力培养的高校数学课堂教学创新研究”和“以社会需求为导向提升数学教育专业学生实践与应用能力研究”的教改理念，申请了省级教学改革课题和院级教学改革课题，侧重在包括高等代数课程在内的两门专业课中进行课题研究，在这样的新形势下，如何进行课程改革，使这门课程真正提升学生实践、应用和综合能力，使学生能够学以致用，是我们关注的重点。

二、以往教学中存在的问题

1.对人才培养方案认识不足

我院以及各系对不同层次、不同专业的课程都做了详细的人才培养方案，可是教师一般关心较多的是每一次人才培养方案改动中课时的变化，很少关心方案中增添了那些与时俱进的内容，这就形成了教师只是一味的教学，而对于人才培养方案、人才培养规格、学生的知识结构、能力结构、素质结构等问题认识的不够清楚，导致了对于本门课程没有一个很好的定位，使得教学与人才培养方案严重脱节的现象，结果学生的素质、实践和应用能力没有达到方案的预期效果。

2.教学设计简单浮躁，缺乏教学反思和教学研究

以往的教学中，教学设计的不足表现在以下几个方面：（1）教学设计偏重习题的演算，而忽略了数学思想的渗透，教师花大量的时间用于习题的推导和演算，把大部分精力放在了定性分析上，缺乏物理规律、数学模型的阐述，例如对于行列式，往往花大量的时间讲解它的定义、性质和计算，而实际上行列式在当今高等代数的应用中已被矩阵理论所代替，逐渐淡化了；（2）教学大多照本宣科，缺乏巧妙的设计，缺乏应用性强的知识题材，缺乏与现代计算机技术的结合，造成了现代教育理念与内容脱节，知识的实践与应用不够的局面；（3）教学手段单一，仍然坚持“以教师为中心、以教材为中心、以课堂为中心”的传统套路，使得知识与学生的全面发展的根本目的相分离，把有问题要问的学生教成了不思考问题的学生，整个教学过程中学生是在被动的接受。老师讲得辛苦，学生听得痛苦，教学效果差，在概念、定理、公式和解题中学生很难提高实践和应用等方面的能力。同时缺乏教学反思和教学研究。叶澜教授说得好：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年反思，却有可能成为名师”，我们的教师很少做到在教学前、教学中、教学后进行认真的反思。所谓没有反思，就没有进步。所以我们的教学变成了几十年如一日的机械的重复的过程。

三、高等代数课程的教学改革实践

1.思考高等代数课程的定位，明确课程教学目的

高等代数课程作为数学专业的一门重要的专业基础课，它的基本性体现在工具性、服务性和素质性。我们把这门课程作为解决实际问题的工具，注重培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力、分析问题的能力、计算能力和运用知识解决问题的实际动手能力等；同时本门课程是为后续的专业课程服务的，我们着重对于一些与别的课程有联系的内容给予拓宽，在夯实基础知识的同时不断的融入新的、宽口径的知识，使学生能够尽可能的多掌握一些知识；另外，我们注重培养学生的数学素质，突出数学的人文精神教学，在教学中渗透高等代数、线性代数发展史的同时穿插一些数学家小传，让学生了解数学家在数学发展史上所做的贡献以及一些数学知识的来龙去脉，加强科学精神与人文精神的教育的同时，提升学生逻辑思维、空间想象和创新等素质。正如李大潜院士所说：“数学的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，而且应该在传授数学知识的同时，让他们学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，让学生在数学文化的熏陶中茁壮成长。”

2.对教学进行适当调整，优化教学结构

教学内容的编排次序要根据学生的认知心理和知识体系综合考虑，课本顺序不一定是最佳选择，尤其是各院校学生之间有很大的差异。例如，由于传统的矩阵的秩的定义离不开行列式，故矩阵的秩、逆矩阵等一般放在行列式后面讲，但是行列式的传统定义对于初学者比较难接受，所以在教学中我们尝试先由线性方程组引入，然后讲矩阵、矩阵的线性变换、简单的矩阵分块计算、可逆矩阵等，根据矩阵等价标准型的唯一性，由矩阵等价标准形中“1”的数目定义矩阵的秩，然后介绍向量组的线性相关性、向量组的秩等，接着完成线性方程组的解的理论，最后再介绍行列式就相对比较简单了。另外，教材中对于线性方程组解法的完备性不够全面，一般只给出线性方程组有解的判定、解的个数以及解的结构和解法，但对于无解的线性方程组则不作交代。事实上，无解的线性方程组可以有最小二乘解，这在实际问题中常常会遇到（如实验数据建立起来的线性方程组可能无解），所以我们在讲解时会给学生补充此部分内容，这样不仅完备了线性方程组各种情形解的处理，而且对于实际是很有用的。

3.突出实践、应用相结合的能力培养宗旨，加深理解数学的本质

由于课程本身的抽象，许多概念学生不知道如何去应用，为了探索教学和实践的结合，为了提高学生的应用知识的能力，我们在引入一些重要概念如矩阵、线性方程、向量空间等时结合常见的工程技术或经济管理上的实例来帮助学生理解概念的应用背景，其次会选择一些与内容有关的数学模型进行讲授。例如在讲行列式定义时引入了联合收入模型；讲矩阵定义时引入了交通网络模型；讲矩阵运算的应用时引入了投入产出的线性代数模型；讲矩阵特征值的应用时引入了Leslie人口模型和常微分方程中的常系数线性方程组解法的介绍等。又如在讲解映射、单射、满射和双射的概念时，为了让学生更好的理解概念之间的区别和联系，我们用图示来帮助学生形象的理解和掌握（见图1-图6）。

图1

图2

图3

图4

图5

图6

首先，图1不构成映射，因为按照映射的定义原像集中的一个元素没有找到像，所以对于原像集而言重点强调元素不能剩（但没说唯一或是不唯一，即原像在和像对应时可以一对一，也可以多对一）；图2也不构成映射，因为按照映射的定义，在像集中要有唯一的一个元素和原像对应，所以对于像集而言重点强调唯一对应（但没说剩或是不剩，即像可以剩也可以不剩），根据以上的分析图3图4图5图6均为映射，即映射分为多对一和一对一两种情形。

另外在是映射的情况下进一步讨论映射，对于单射而言强调一个原像对应一个像，其重点是为了排除映射中多对一的情形，但并没有说像剩或是不剩；对于满射而言强调每一像都能找到原像和它是对应的，其重点是为了说明像不能剩，但没说必须是一对一的情形，即多对一的情形也可以。因此，单射可以是满射如图5也可以不是满射如图3；满射可以是单射如图5也可以不是单射如图4。

在以上的映射中即是单射也是满射的映射称为双射，例如图5。当然也存在即不是单射也不是满射的映射，例如图6。

根据以上的分析，映射之间的概念可以用如下的集合来表示（如图7）：

这样基于知识本体的教学不仅让学生得到了建立数学模型及解决实际问题的初步训练，提高了应用能力，同时在了解了抽象知识在实际生产生活中投影的同时刺激了学生的学习兴趣，有助于加深学生对数学知识本质的理解，对培养学生实践与应用相结合的能力起到了积极的推动作用。

4.重视现代教育软件的应用，既增强了知识的建构又提高了效率

在高等代数课程教学中，我们也顺应时代的发展增加了计算软件使用的数学实验课程。在实验课上我们不给学生讲太多、太繁的理论，只要他们会实际操作即可，我们不仅限于对Matlab软件的介绍，更重要的是围绕教学内容教给学生如何使用Matlab软件，让学生体会运用数学软件的便利和高效。例如矩阵与每一章节有着密不可分的联系，而矩阵理论与计算机又联系广泛，矩阵的求逆、特征值和特征向量、矩阵的对角化等这些在实际计算中较麻烦的内容经计算机代劳后就变的简单多了。有了计算机的帮助我们的时间被节省下来了，我们把重点放在了矩阵理论和重要方法的介绍上，这样学生不仅学到了理论知识也会用现代教育技术解决问题了，这是我们改革的一大进步。

图7

5.在反思中调整，在调整中创新

古人云：“吾日三省吾身。”做任何事情都需要时常不断的反思、反省，教学作为一种需要不断改进的艺术，自然也不例外。对于高等代数课程要针对不同对象的“瘦身”与“平民化”是我们在一直反思的一点。目前，就我院数学教育专业的学生而言，有一部分是专科学生，他们的数学素质相对弱一些，而我们又想要更多的人懂得和应用高等代数，我们就对课程内容进行了适当“瘦身”和“平民化”，对讲解的内容通俗化、简单化，一般设计的内容有矩阵及其运算、逆矩阵、矩阵的秩、解一般的线性方程组、行列式的计算。有时会根据学生的不同情况加一些特征值和特征向量、向量空间的简单内容，使其对这些较抽象的理论有一个初步的认识。另外，在高等代数的教学过程中，一般学生的计算能力明显强于论证问题的能力，这反映了学生数学思维能力较差的特点。为了培养学生的逻辑思维和创造性思维的能力，经过不断反思我们从两方面入手：一是充分利用有限的教学实践引导学生深入理解教材，例如在讲解矩阵的特征值和特征向量的关系时，我把矩阵比作一棵树，特征值是树枝，特征向量是树叶。显然，树枝长在树上，树叶长在树枝上，一片树叶只能长在一根树枝上，但一根树枝上可以生长多片树叶。也就是说，特征值是属于一个矩阵的，一个特征向量只能属于一个特征值，但一个特征值可以有多个特征向量。二是精心编写不同类型的练习题，有知识能力层次、理解能力层次、简单应用能力层次、综合应用能力层次和发展性应用能力层次等，题型兼顾了基础性、针对性、典型性、复杂性和开拓性等。对于习题侧重解题思路和逻辑推理，对一题多解的题目，要求学生寻求最优解以培养学生的发散性思维能力。

四、高等代数课程教学改革的体会和启示

本次教学改革更多的关注了数学本身的“改造”，由以往对教学的方法改革转变到了对教学实质内容的改革，这种改革不仅有利于学生对整个知识的认识、把握和重新组合，更有利于学生实践和应用能力的培养和提高。通过研究我们得出这样的结论，即教学活动应该将目标导向放在第一位，明确在课堂中必须尊重知识本身，从基础问题出发，遵循一定的方法，通过正确的思维方式还原知识本质，才能达到高效学习的目标。通过教学我们发现仍存在一些问题需要改进，例如教材中概念的讲解较刻板和抽象，教材次序和逻辑安排较凌乱，练习题的安排较少且缺乏与现实生活的联系，这些都影响学生思维水平的提高，学生往往不知道知识该如何应用。我们计划在今后的教学中不断的钻研教材，挖掘教材中的开放性因素，设计变式教学，通过具体的“概念变式”、“过程变式”和“练习题变式”体现知识的本质性、系统性和结构性。

通过教改我们清楚地认识到，教学不应是日复一日，年复一年的机械地重复，而是应该一遍一遍不断地挖掘知识的本质和联系，寻求知识更好的表征方式，即便是对任何一本经典的教材和任意一届基础较好的学生我们也要与时俱进的进行教改。只有不断的改革和研究，才会有知识的创新和学生能力的根本提高。

［1］WILSON R.The Remaking of Math［J］.The Chronicle of Higher Education，2000，XLV（18）：14-16.

［2］浩歌.教学方法改到何时突破重围［J］.中国高等教育，2009（6）：1.