带第一类间断点的RH问题

杨 娟 田进凤

(1．宁夏大学 数学计算机学院,宁夏 银川750021; 2.宁夏大学 民族预科教育学院，宁夏 银川750002)

1962年,路见可教授[1-2]首次提出并解决了复合边值问题，简称RH问题.近年来，有不少学者研究复合边值问题，2000年程平旺[3]研究了双解析函数的复合边值问题;2001年郑神州和渠刚荣[4]研究了解析函数类中的复合型边值问题;2002年张霞、李星[5]研究了非正则型复合边值问题;2005年路见可[6]研究了带平方根的Hilbert边值问题;陈振华，2009年郭定辉[7]讨论并求解了带平方根的复合RH边值问题的两种情况.本文在上述工作的基础上,将复合边值问题进行推广,讨论了带第一类间断点的正则型复合RH边值问题在封闭曲线上的一般解.我们先用消去法将所提出的RH问题化为一个H问题，再进一步化为间断系数的R问题，然后根据指标的不同描述其解，并以定理的形式给出结果.

1 问题的提出

复合RH问题提法如下：求在D内全纯，且连续到L与Γ两侧(端点可能除外)上的函数Φ(z)，使其满足下列条件

1)Φ+(τ)=G(τ)Φ-(τ)+g(τ),τ∈Τ,其中G(τ),g(τ)∈H于Γ，又G(τ)≠0；

(1)

(G(τ),g(τ)满足Holder条件(记为H)且G(τ),g(τ)都是L上的已知函数).

2)Re{[a(t)+ib(t)]Φ(t)}=c(t),t∈L，

(2)

其中a(t),b(t),c(t)为∈H于L的实函数，(a(t),b(t),c(t)均为已知在L上属于H的实函数，且a2+b2≠0)还设它们在L上有若干个第一类间断点c1,…,cn，并限于考虑正则型情况：a(t)±ib(t)≠0于L上.

要注意的是，在Γ的各端点aj,bj附近，Φ(z)可允许有不到一阶的奇异性.可按1)的要求把各端点也分为普通端点和特异端点两类，也称为上述RH问题的普通端点和特异端点.求解时，要求Φ(z)属于某一解类，例如h(c1,…,cq)，其中c1,…,cq为某些普通端点，即要求Φ(z)在这些端点附近有界，而在其它普通端点可以有不到一阶的奇异性，而在所有特异端点附近只能至多是几乎有界的.

在各Γj上取定logG(τ)的一个连续分支，例如，记

使得0

Κ称为所提RH问题的指标.

2 化成H问题

Χ+(τ)=G(τ)Χ-(τ)，τ∈Γ

(3)

于是在h(c1,…,cq)类中，求出D中相应R问题1)的一个特解

利用消去法，令

Φ(z)=Φ1(z)+Χ(z)Φ0(z).

(4)

其中Φ0(z)为D中新的未知函数.当τ∈Γ时，因Φ1(z)满足(1)，故由式(3)知

下面证明Φ0(z)在各端点处也是解析的.

由Χ(z)在端点c(=aj或bj)附近的性质知，Χ(z)=(z-c)γcχc(z)，其中Reγc=ac，-1

Χ(z)Φ0(z)∈h(c1,…,cq).

如c为一特异端点，则a0=0，因此Χ(z)在c附近有界，且不等于0.今Φ(z)既以c为孤立奇点，又只有不到一阶的奇异性，故必以c为常点.注意到Φ1(z)在z=c附近几乎有界，可见，如果RH问题有解，则解Φ(z)也必在z=c附近几乎有界，如c∈(c1,…,cq)，则因0

总之，无论c是Γ上的哪一种端点，Φ0(z)总以它为常点，因而Φ0(z)在D内全纯.又因Φ1(z)，Χ(z)都连续到L上，且Χ(z)≠0，故Φ0(z)也必连续到L上.

反之，如Φ0(z)在D内全纯，且连续到边界L上，则也容易证明由式(4)所确定的分区全纯函数Φ0(z)必满足式(1)，且连续到L上.这样，提出的RH问题就转化为求在D内全纯，且连续到边界L上的函数Φ0(z)，使它满足由式(2)转化的相应条件.将式(4)代人式(2)，可得下述条件：

Re{[a(t)+ib(t)]Χ(t)Φ0+(t)}=c*(t)，t∈L

(5)

其中

c*(t)=c(t)-Re{[a(t)+ib(t)]Φ1(t)}.

这样，原RH问题就转化成了L上带间断系数的H问题(5).

3 化为R问题

不失一般性，以下不妨设L为单位圆周|t=1|，则式(5)可改写为

(6)

因此式(6)又可改写为

(7)

则问题(5)可化为下列带有间断系数的R0问题(即要求Φ0(∞)有界)

Ω+(t)=G(t)Ω-(t)+g(t)，t∈L

(8)

4 对H问题求解

问题(8)的解也可分成一些解类，也是Ω(z)所属的解类，例如，要求式(8)的解属于h(c1,…,cq)，当然c1,…,cq都是普通结点.于是就可求出式(8)亦即式(5)在该类中的指标为

故这个H问题的指标为：Κ=κ+2χ.

下面先考虑齐次问题(c*=0)，则由文献[8]可知问题(8)的典则函数为

X1(z)=z-kX*(z),

4.1 齐次问题(c*(t)≡0)

当Κ≥0时，这时齐次问题(8)(其中g(t)≡0)在R0中的一般解为

Ω(z)=Χ1(z)(C0zΚ+C1zΚ-1+…+CΚ)，

Φ(z)=Χ1(z)(C0zΚ+C1zΚ-1+…+CΚ)，z∈S+

(9)

(10)

(11)

定理1 齐次H问题(5)(c*≡0)：当Κ≥0时，有一般解为式(9)，其中Ck要满足条件(10)，这个一般解中含有Κ+1个任意实常数：当Κ<0时，它只有零解.

4.2 非齐次问题(c*≠0)

对非齐次H问题(5)来说，只须求出其一个特解，再加上相应齐次问题的一般解就是它的一般解.对(7)式两边取共轭，得

(12)

当Κ≥0时，这时问题(8)在R0中有一个特解

(13)

则

(14)

再加上相应齐次问题的一般解，(9)式就是所求一般解.

当Κ<0时，这时非齐次R问题(8)在R0中的可解条件为

这就是

(15)

定理2 非齐次H问题(5)，当Κ≥0时，有一般解

Φ(z)=Φ0(z)+Χ(z)(C0zχ+C1zχ-1+…+Cχ)，

其中Φ0(z)以式(13)给出，而C0,…,CΚ须满足条件(11)；当Κ<0时，当且仅当条件(15)满足时，问题有唯一解(13).此问题的一般解有Κ+1个自由度.

5 RH问题的求解

根据上面的结论，对原RH问题作出以下的讨论.

1)设g≡0,c≠0，根据定理1，当Κ≥0时，相应H问题(8)的一般解可写成

Φ0(z)=c1Ψ1(z)+…+c2Κ+1Ψ2Κ+1(z).

(16)

当Κ<0时，由于相应H问题只有零解，从而原RH问题也只有零解.

2)设g≡0,c≠0，由于这时可取Φ1(z)=0，故Φ(z)=Χ(z)Φ0(z)，而Φ0(z)为D中非齐次H问题(7)的解，由定理2，当K≥0时，相应H问题有一般解

其中Φ0(z)为特解,则原RH问题有一般解

(17)

其中cj仍为实任意常数.当Κ<0时，当且仅当c*(t)从而c(t)满足-2Κ-1个实条件时，相应H问题从而原RH问题才有解，且有唯一解.

3)设g≠0，于是Φ1(z)≠0.这时又可分为两种情况：

通过以上讨论可以得到如下定理

定理3 当Κ>0时，有：1)对原RH问题，其一般解中含有2Κ+1个任意实常数；2)对齐次问题(c=0,g=0)只有零解；3)对准齐次问题有唯一非零解；4)对真非齐次问题，当且仅当问题中各已知函数间满足-2Κ-1个实条件时，才有唯一解.

参考文献：

[1] Lu Jianke.On compound boundary problems[J].中国科学(A辑),1965,14(11):45-47.

[2] 路见可.复合边值问题[J]，武汉大学学报(自然科学版)，1962,8(1):25.

[3] 郑神州,渠刚荣.N-解析函数类中的复合型边值问题[J].北方交通大学学报,2001,25(3):37-40.

[4] 张霞,李星.非正则型复合边值问题[J].宁夏大学学报(自然科学版),2002,23(3):193-197.

[5] 路见可.On Hilbert Boundary Value Problems With Radical [J].Acta Mathematica Scientia,2005(4):755-760.

[6] 孙凤琪.一类具有间断系数的RH边值问题求解[J].吉林大学学报(理学版),2007，45(3):389-392.

[7] 陈振华,郭定辉.带平方根的复合RH边值问题两种情况的讨论与求解[J].湘潭大学学报(自然科学版)，2009，31(1)：27-33.

[8] 路见可.解析函数边值问题[M].武汉：武汉大学出版社，1984：99-104.