原子在界面附近自发辐射率的闭合轨道理论计算

王丽林， 徐 强， 隗 莲

(1.山东铝业职业学院 电气工程系， 山东 淄博 255065； 2. 鲁东大学 物理与电子工程学院， 山东 烟台 264025)

原子所处环境对原子自发辐射的影响研究从20世纪40年代开始一直受到人们的关注[1-4].近年来，随着实验技术的进步和理论研究的深入，激发态原子的自发辐射率受介质环境的调制也已引起人们的广泛关注.光子晶体热潮的兴起、微装置捕陷作用以及应用场操纵高激发态原子的研究都极大地推动了对激发态原子的自发辐射率受环境调制问题的研究.用量子电动力学(QED)推导出的自发辐射率，看不出随环境参数变化的规律.杜孟利等人利用闭合轨道理论对电介质层中以及电介质界面附近原子的自发辐射率的多周期振荡进行了系统的研究，把闭合轨道理论中的电子扩展到了光子，获得了成功[5-6].本文利用闭合轨道理论对环境中原子的自发辐射率的多周期振荡的研究，在第一部分研究激发原子在一个无限大的金属界面旁的自发辐射率,第二部分研究用两个理想的金属界面夹着的电介质中的原子的自发辐射率.

1 一个金属界面旁的原子自发辐射

1.1 闭合轨道理论分析

闭合轨道理论最初是由杜孟利等人提出的，用来解释强磁场中原子光吸收谱的振荡现象[7].根据闭合轨道理论，当原子从高激发态跃迁到一个较低的态时，在原子附近辐射光子，光子以电磁波的形式向外出射，当电磁波向外传播到离原子较远处时可以近似由经典轨道来描述，当经典轨道族碰到界面后返回到原子附近，与这些轨道联系的波与出射波干涉叠加可以在自发辐射率中形成一个振荡.因为原子的自发辐射类似偶极天线的辐射，因此，本文考虑与自发辐射的一个经典的对应：偶极天线的辐射.

先看原子旁边只有一个无限大的理想金属面的情况，设金属面与z轴垂直并位于距正z轴l处的地方，原子在x轴原点处(图1).原子辐射出的光子沿着z轴作简谐振荡，它对应的电偶极矩为d0=de-iω0t，其中ω0为振荡频率，d0表示极化方向的单位矢量.它的辐射率为Wd=P/U，其中P为偶极天线的平均辐射功率，U为天线的能量.辐射率可以写为

(1)

图1 原子与金属界面的距离是l

这里把振子附近的电场E分为两个部分，出射部分E0和返回部分Eret.用r表示空间某点相对于偶极子的矢量位置，出射电场部分可以写为

[d0-3r0(r0·d0)]×

(2)

返回电场Eret依赖于环境或偶极天线所在的介质.考虑偶极天线位于距理想金属面l处且与金属面平行的情况，由镜像方法可以得到偶极天线处的返回电场为

(3)

1.2 平行情况(电偶极矩d与x轴夹角为0)分析

当原子对应的电偶极矩d与x轴方向平行时，即单位矢量d0与单位矢量r0夹角为90°时，根据闭合轨道理论,模拟偶极天线辐射，设理想金属面的一边是折射率为n的电介质，其中偶极子出射电场矢量位置r=2lr0，故这时原子的自发辐射率可以写为

(4)

(5)

根据方程(5)，令理想金属面的一边是折射率n=1和n=1.49,利用maple软件可以画出相对自发辐射率Wd/W0随原子与金属界面距离l的变化图(其中原子与金属界面距离由无量纲参量a=l/λ0表示)，如图2所示.

从图2可以看出，相对自发辐射率表现为周期振荡，随着原子与金属界面距离的增加，振荡的振幅逐渐衰减.当原子离界面足够远时，自发辐射率接近于原子在真空中的自发辐射率.在折射率不同的介质中，周期振荡也是有差异的.

1.3 垂直情况分析

当原子对应的电偶极矩d与x轴方向垂直时，即单位矢量d0与单位矢量r0夹角为0°时，根据闭合轨道理论,设理想金属面的一边是折射率为n的电介质，其中偶极子出射电场矢量位置r=2lr0，故这时偶极天线的辐射率可以写为

(6)

令a=l/λ0，k0=2π/λ0，则式(6)变为

(7)

(a) 介质的折射率n=1

(b)介质的折射率n=1.49图2 电偶极矩与x轴平行时相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化

根据方程(7)，可以画出理想金属面的一边是折射率n=1和n=1.49的相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化图，如图3所示.

从图3可以看出，相对自发辐射率的周期振荡类似于平行情况，但是在原子与金属界面距离相同的情况时，垂直比水平的振荡幅度大.

(a) 介质的折射率n=1

(b)介质的折射率n=1.49图3 电偶极矩与x轴垂直时相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化

1.4 一般情况分析

当原子对应的电偶极矩d与x轴方向成任意角度θ(小于等于90°)时，即单位矢量d0与单位矢量r0夹角为(90°±θ)时，设理想金属面的一边是折射率为n的电介质，其中偶极子出射电场矢量位置r=2lr0，故这时原子的自发辐射率可以写为

(8)

令a=l/λ0，k0=2π/λ0，则式(8)变形为

(9)

根据方程(9)，可以画出理想金属面的一边是折射率n=1.49的相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化图，其中还存在参量θ角，为了更明显的从图像上观察结果，本文对θ取多个角度，如图4所示.

从图4可以看出，图像均为周期性振荡，大体情况与上面相似.在折射率n给定的情况下，随原子对应的电偶极矩与x轴方向的角度增大，振荡幅度增大.图4(a)和图4(d)分别与图2(b)和图3(b)比较可以看出角差不多大时，画出的图像差别较小.原子与金属界面的距离和电偶极矩与x轴方向所成角度对自发辐射率都会产生较大影响.

(a)θ=5°

(b)θ=30°

(c)θ=45°

(d) θ=85°图4 相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化(n=1.49)

2 两个金属界面旁的原子自发辐射

2.1 理论分析

在上述分析中我们已经得到一个金属界面旁的原子自发辐射率，现在由此推广到两个金属界面的情况.当原子对应的电偶极矩d与x轴方向平行时，一个金属界面旁的原子自发辐射率为式(4).当偶极天线与金属面之间的距离大于半个波长时，式(4)中的括号内的后两项可以忽略不计，得

(10)

其中S=2nk0l为辐射光子从原子到金属面再返回到原子的作用量，显然这光子路径为一个闭合轨道.现在通过图像来比较一下理想金属面的一边是折射率n=1时,利用式(4)和式(10)画出相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化图，其中实线代表式(4)，虚线代表式(10)，如图5所示.

图5 相对自发辐射率随原子与金属界面距离的变化(n=1)

由图5看出，实线与虚线几乎重叠，故式(4)与式(10)所得图像相差很小，即(4)式括号内的后两项可以忽略不计，所以一个金属面前偶极子辐射率可以近似表达为式(10).

根据上述理论分析，把式(10)扩展到两个金属面间填充着同样的电介质的情况，有

(11)

其中Sj=nk0Lj为第j个闭合轨道的作用量，Lj为该轨道的几何长度；φj=-mjπ为相位修正，mj表示被金属面反射的次数，式(11)即为闭合轨道理论公式.

2.2 公式推导

两个平行的无限大的理想金属板，板间填充折射率为n的非吸收性介质，自发辐射原子处于介质中.设选取坐标原点在发射原子处，z轴与金属板垂直，原子在介质中相对与两金属板的距离分别为l1和l2，介质的厚度为l=l1+l2.如图6所示.

为了方便计算两个平面平行金属板间原子的自发辐射率，只考虑偶极距d平行于金属板的情况，则采用式(11).根据闭合轨道理论，在此种情况下存在四个基本的闭合轨道，如图7所示.

其中四个轨道的作用量分别为S1=2nk0l1，S2=2nk0l2，S3=S4=2nk0l，四个相位修正分别为φ1=φ2=-π，φ3=φ4=-2π，代入式(11)可得原子自发辐射率为

(12)

图6 原子距离金属界面的距离分别为l1、l2

图7 原子在两金属界面间的四个基本的闭合轨道

为方便研究自发辐射率中的多周期振荡，定义R=(l2-l1)/(l2+l1)用以标记原子相对于上下的金属板的位置，定义两个金属板间的标准距离为l0=λ0=2π/k0，即辐射光子在真空中的波长，同时定义标度变量表示整个体系的大小变化，金属板间的距离则为l=al0.简单的几何关系给出原子与上金属界面距离以及原子与下金属界面距离的关系分别为l1=a(1-R)l0/2和l2=a(1+R)d0/2.在给定R后，就可以给出自发辐射率作为自变量为空间标度变量a的函数，由式(12)可得

(13)

2.3 结果分析

在两平行平面金属板界面中填充折射率为n的电介质时，原子的自发辐射率公式由闭合轨道理论已经得出，其中标度变量a与原子到金属板界面的距离有关.因此，在R和折射率n给定时，根据式(13)就可以画出原子相对于金属界面在不同位置时相对自发辐射率随标度变量a的变化.现在令折射率n=1.49，原子相对位置分别为R=0，1/3，1/2，3/5，3/4，4/5时，画出图像如图8所示.

(a) R=0

(b) R=1/3

(c) R=1/2

(d) R=3/5

(e) R=3/4

(f) R=4/5图8 原子相对于金属界面在不同位置时相对自发辐射率随标度变量的变化(n=1.49).

从图8可以看出，在图8(a)中辐射原子位于介质中点，辐射率表现为衰减的锯齿状振荡.图8(b)中原子距离上边的金属板为介质厚度的1/3，自发辐射率中一些高频振荡出现.余下的4幅图像显示，随原子距离上边金属板距离的增大自发辐射率中一些高频振荡逐渐增多，该周期振荡的中心是1.0，即为真空中的自发辐射率.在图中有许多峰出现，当R=0时，原子位于介质中点所以每个峰对应两个闭合轨道，当原子不在两个金属板的中间位置时，有一些峰的简并被解除，有一些被保留下来.

3 结束语

根据经典偶极天线的辐射情况，通过引入位置的标度变量，讨论了一个金属界面旁的原子自发辐射对激发态原子自发辐射率的影响，并将原子自发辐射率的结果在推广到两个金属界面旁的情况.研究表明，随着激发态原子位置的变化，自发辐射率呈现复杂的多周期振荡，辐射出的光子经界面反射后返回到原子上，与出射的光子相干,从而抑制或加速激发态原子的自发辐射.自发辐射率的振荡与光子的闭合轨道相对应，正是这种多周期的光子闭合轨道贡献的迭加，原子的自发辐射率呈现复杂的振荡特性.

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