具有3个公共值的亚纯函数的唯一性

薄朝升，夏生虎

(1.桂林医学院数理教研室，桂林 541004;2.重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

1 主要结果

设f(z)是开平面上的非常数亚纯函数，S是具有不同元素的集合。令记重数不记重数。

1976年，Gross［1］提出以下问题:能否找到2个(甚至1个)有限集合 Sj，j=1，2，使得对任何2 个非常数的整函数f与 g，只要满足E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，必有 f≡g。

1994年，仪洪勋［2］完全解决了该问题，得到对任意2个非常数整函数f与 g，E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，就有f≡g，则S1、S2的最小基数分别是1和3。Li和Yang在文献［3］中推广到了亚纯函数。得到以下定理:

定理1 存在一个具有15个元素的集合S，使得对任意2个非常数亚纯函数f和g，只要满足E(S，f)=E(S，g)，E(∞，f)=E(∞，g)，就有f≡g。

2002年易洪勋在文献［4］中证明了定理2。

秦春燕在文献［5］中进一步得到定理3。

定理3 存在一个具有6个元素的集合S，使得任意2个非常数亚纯函数f和g，只要E(S，f)=，则f≡g。本文证明了如下定理:

2 引理

设

其中:n≥7，是一个整数;a与b是2个非零复数，满足abn-2≠2。令

这里a1，a2是n(n-1)ω2-2n(n-2)bω+(n-1)(n-2)b2=0的2个判别的根，计算得到:

其中 p(ω)有 n个不同于0和1的单零点，记为 ω1，ω2，…，ωn。

引理1［6］设f(z)是非常数亚纯函数，ai(i=0，1，…，m)，bj(j=0，1，…，n)为有穷复数且am≠0，bn≠0，则

引理2［7］设f(z)是非常数亚纯函数，k为正整数，则

引理3 设F和G为非常数亚纯函数，Ek(1，F)=Ek(1，G)，令

设 z0∈Ek)(1，F)。Ek)(1，F)=Ek)(1，G)，且经计算得 H(z0)≠∞，再根据，有:

引理4［8］设 f1和 f2为非常数亚纯函数，c1、c2、c3是3个非零常数。如果 c1f1+c2f2≡c3，则

证明 因为V≡0，由式(5)得

其中A≠0是一个积分常数。从式(6)得T(r，F)=T(r，G)+Ο(1)，所以有

因为T(r，f1)=nT(r，f)+ Ο(1)，所以 nT(r，f)≤5T(r，f)+S(r，f)，与 n≥7 矛盾，所以 1-A=0，得到F≡G。

引理6F，G 被式(2)给出，如果 Ek)(1，F)=Ek)(1，G)且({0}，f)=({0}，g)，则

引理7 V由式(5)给出，并且V不恒等于零，则

故

设z0是f的p重极点，g的q重极点，则z0既是F的(n-2)p重极点，也是G的(n-2)q重极点。计算得z0是V的至少(n-3)重零点。故

引理8H 被式(4)给出，若 H≡0，则 E(1，F)=E(1，G)。

3 定理4的证明

由Ek)(S，f)=Ek)(S，g)及F、G的定义知:Ek)(1，F)=Ek)(1，G)，若H不恒等于零，由第二基本定理得

由于

故

当k≥3时，更有

所以当k≥3时，将式(15)代入式(12)得到:

因此可得:

由引理7得

当k＜3时，结合引理6、7及式(14)得

进一步整理得

若 k=3，则 n≥7，与式(16)矛盾;若 k=2，则 n≥9，或若 k=1，则 n≥11，与式(17)矛盾，所以 H≡0。由引理8知E(1，F)=E(1，G)，从而 E(1，f)=E(1，g)，于是根据定理2，使定理4得证。

［1］Gross F.Factorization 0f meromorphic functions and some open problems［M］.Berlin/Heidelberg/New York:Springer-Verlag，1977.

［2］Yi H X.On a question of Gross concerning uniqueness of entire functions［J］.Bull Austral Math Soc，1998，57:343.

［3］Li P，Yang C C.On the unique range sets for meromorphic functions［J］.Proc Amer Math Soc，1996，124:177.

［4］仪洪勋.具有两个公共分担值集的亚纯函数［J］.数学学报，2002，45(1):75.

［5］秦春燕.具有三个公共值集的亚纯函数唯一性［J］.四川大学学报，2008，45(3):45.

［6］Mokhon KO A Z.On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions，in“Theory of functions，functional analysis and their applications”［Z］.Izd-vo Khar’kovsk.Un-ta，1971，14:83-87.

［7］YI H X.Uniqueness of meromorphic functions and a question of C C Yang［J］.Complex variables，1990，14:169-176.

［8］仪洪勋.具有三个公共值的亚纯函数［J］.数学年刊:A，1998，9(4):434-439.