一类非自治混沌系统的自适应时滞反馈同步控制

叶志勇，吴 用，刘 原

(重庆理工大学数学与统计学院，重庆 400054)

混沌控制与同步是目前非线性科学研究的一个重要内容。近几十年，混沌系统的控制与同步吸引了很多专家学者的重点关注。经过科学家们努力的研究，多种研究混沌控制的方法被提出来了，如自适应同步控制法［1-4］、参数变分控制法、状态反馈控制法、时滞反馈控制法［5-8］、最优控制法、鲁棒控制法等，这些方法已被应用到了信息科学、医学、生物等领域，并且取得了很多的成果。到目前为止，混沌控制的研究都集中非时滞和时滞的反馈控制这2个方面［9-10］。由于控制系统中考虑时滞会使得证明的过程具有一定的复杂性，所以对含时滞的研究还比较少。然而，在实际的应用中，时滞现象是普遍存在的，因此不能忽视。本文提出了一种n维非自治系统自适应时滞反馈控制的方法，通过选取一个合适的自适应反馈控制器，构造特殊形式的Lyapunov函数，给出了一类非自治混沌系统的全局自适应同步的判据。最后把理论的结果应用于有名的杜芬振子，用数值模拟验证结论的正确性。

1 问题的提出

1.1 预备知识

1)A＞0表示A为正定矩阵，A≥0表示A为半正定矩阵。

2)λmax(A)表示矩阵A的最大特征值，λmin(A)表示矩阵A的最小特征值。

5)引理1(Barbalat’s Lemma)［11-12］假设函数f(t)是一个一致连续函数存在且有界，因此当t→+∞时，f(t)→0。

6)定义1 Lip(G)指一类含有利普希茨常数G的利普希茨连续函数。

7)定义 2［13］令 P=diag{ pp…，p}是一个正定的对角矩阵，Δ =diag{ δ，δ，…，δ}是一个对角矩1，2，n12n阵。QUAD(Δ，P)指一类连续函数 f(t，x):[0，+∞)× Rn→Rn满足:对某一个 ε ＞0，所有的 x，y∈Rn和t＞0，有(x-y)TP {[f(t，x)-f(t，y )]-Δ[ x-y]}≤-ε(x-y)T(x-y)成立。

1.2 数学模型及控制器设计

给定n维非自治混沌系统:

其中:x(t)∈Rn，x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T是系统(1)的状态变量;A为n阶常数方阵;f(t，x)为[0，+∞)×Rn→Rn的非线性连续函数;f(t，x)是一个非线性函数。

现在考虑主系统具有方程(1)这样的表达式，且主系统是一个混沌系统。再给出一个从系统的表达式:

其中:y(t)=y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是从系统的状态变量;u是一个时滞自适应控制器;τ＞0为常数时滞;A为n阶常数方阵。

研究的目标就是给从系统(2)设计一个合适的控制器，使得从系统(2)能和主系统(1)达到同步。

2 混沌系统的同步

令时滞自适控制器为这里的增益函数矩阵 K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，P=diag{ p1，p2，…，pn}是一个正定的对角矩阵，e(t)=y(t)-x(t)，e(t-τ)=y(t-τ)-x(t-τ)分别为主系统(1)和从系统(2)的不含时滞同步误差和含时滞的同步误差。假设存在n个正常数使得是一个正定的对角矩阵，则有以下定理:

定理1 令控制器u=K(t)(2e(t)-e(t-τ))，这里的增益函数矩阵为K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，且为同步误差，θi(i=1，2，…，n)为任意的正常数，且f(t，x)∈QUAD(Δ，P)。假设存在n个正常数使得，且是一个正定的对角矩阵，使得H=(PA)s+PΔ-εIn-K*为负定矩阵，那么从系统(2)能和主系统(1)达到同步。

证明 通过主系统(1)和从系统(2)做差，可以得到

这里的 e(t)=e1(t)，e2(t)，…，en(t)T。

构造李雅普洛夫函数

通过引理可知:当t→+∞时，ei(t)→0，i=1，2，3…n。因此，从系统(2)和主系统(1)达到了同步，定理1证明完毕。

推论 1 如果 f(t，x)为[0，+∞)×Rn→Rn的非线性连续函数，且f(t，x(t))=(f1(t，x1(t))，…，f(t，xn(t)))T∈Rn，则满足fi(t，xi(t))∈Lip(Gi)，i=1，…，n，这里利普希茨常数 Gi＞0。假设存在n个正常数使得，且H=PA+Gi-K*为负定矩阵，则从系统(2)和主系统(1)达到同步。

推论1的证明的方法和定理1的证明方法相同，因此省略。

3 数值模拟

例1 考虑杜芬振子［13］:

把主系统变为

取参数a=0.1，r=10，ω=1，数值模拟得到系统(7)的解轨线产生的混沌吸引子相图如图1所示。

图1 杜芬振子产生的混沌吸引子相图

考虑从系统

其中

图2 杜芬振子同步误差e1的稳定状态

图3 杜芬振子同步误差e2的稳定状态

4 结束语

本文提出了一种n维非自治系统自适应时滞反馈控制的方法。运用此方法，确定了一个满足一定条件的主系统，只要选择一个合适的控制器，就能让主从系统达到全局渐进同步。该方法的优点在于控制器含有时滞。最后用数值模拟验证了结论的正确性。

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