固-固无限周期声子晶体中SH波全反射隧穿的谐振理论*

刘启能 刘沁

1)(重庆工商大学计算机科学与信息工程学院,重庆 400067)

2)(重庆工商大学设计艺术学院,重庆 400067)

(2012年7月29日收到;2012年9月7日收到修改稿)

1 引言

声子晶体是继光子晶体后的另一类人造带隙材料,利用声子晶体的密度和弹性常数在空间的周期性变化,使得声波在其中传播时会产生带隙结构,出现一些特殊的传输性质.利用这些特殊的传输性质能够有效地控制声波的传播[1−9],因此声子晶体成为近年来声学前沿领域内研究的热点问题.一维声子晶体由于结构简单,同时也具备其他高维声子晶体的性质,因此成为人们研究较多的一类声子晶体结构.

在介质中传播的弹性波分为纵波(又称P波)和横波(又称S波)两种形式[10].对于P波因其偏振方向与传播方向平行而容易确定.对于S波因其偏振方向与传播方向垂直而不易确定,因此进一步将S波分为SV波(即偏振方向平行于入射面的横波)和SH波(即偏振方向垂直于入射面的横波).在文献[11]中推导出P波和SV波垂直入射一维声子晶体的转移矩阵,并研究了P波和SV波垂直入射一维声子晶体的禁带特征.文献[12]推导出了P波和SV波斜入射一维声子晶体的转移矩阵,并研究了P波和SV波斜入射一维声子晶体的禁带特征.文献[13]利用P波的转移矩阵研究了P波在一维固-液声子晶体的全反射隧穿效应,得出了其全反射隧穿效应的特征.但是在文献[11—13]中没有涉及SH波的相关问题.对于SH波这种典型的横波在一维声子晶体的转移矩阵及其全反射隧穿效应都是一个值得研究的重要问题.本文将推导SH波在一维固-固无限周期声子晶体中的转移矩阵,得出SH波在一维固-固无限周期声子晶体中的色散关系.并建立一维固-固无限周期声子晶体的谐振模型,得出SH波在一维固-固无限周期声子晶体中的全反射隧穿效应的波长公式,并对谐振理论和色散法的结果进行比较研究,解释SH波产生全反射隧穿效应的原因.

2 模型与理论

设计这样一种一维固-固无限周期声子晶体(AB)N,A层为玻璃(密度为ρ1,厚度为d1),B层为有机玻璃(密度为ρ2,厚度为d2),N为无限大.玻璃和有机玻璃的密度、波速分别为ρ1=2230 kg/m3,c1=3430 m/s,ρ2=1180 kg/m3,c2=1120 m/s.设入射空间的介质也是有机玻璃,即ρ0=ρ2,c0=c2.取中心波长λ0=100 mm,d1=d2=λ0/4.设归一化波长Λ=λ/λ0,λ为入射波波长.

SH波在该一维声子晶体中的转移矩阵由两个“基本单元”的转移矩阵组成,即SH波通过界面的转移矩阵和SH波通过同一介质层的转移矩阵.两个“基本单元”的转移矩阵推导如下.

图1 界面两侧的SH波

设SH波在一维声子晶体中的xoz平面内传播,如图1所示.在介质i层内有沿z轴正方向传播的SH波和沿z轴负方向传播的SH波,它们的位移分别为

其中ω为SH波的圆频率,k=ω/c为波矢,c为SH波的波速,θ为传播方向与z轴的夹角.引入二维位移波矢Ui来描述上述两个位移波:

位移波矢Ui通过一个“系统”后转变为位移波矢Uj,Ui和Uj的耦合关系可以表示为

Mij称为“系统”的转移矩阵.对于SH波其位移始终垂直于xoz平面,只有y分量,即Uy=U,Ux=0,Uz=0,在图1中用⊗表示其偏振方向.因此当SH波通过介质i和介质 j的界面时,其转移矩阵可以根据在界面两侧位移的y分量Uy连续以及应力的y分量σzy连续推出[14].应力σzy满足

其中µ为拉梅常数,它与波速c和介质密度ρ的关系为

由位移和应力的y分量在介质i和介质 j的界面两侧连续有下面两个方程:

将(5)式整理为二维位移波矢Ui和Uj的矩阵关系为

令

(6)式表示为

位移波矢在界面处的转移矩阵Mij为

当位移波矢通过厚度为di的第i层介质时,位相变化为kidicosθi[15],其转移矩阵Gi容易得到:

该一维固-固无限周期声子晶体一个基本周期单元的转移矩阵m为

SH波在该一维固-固无限周期声子晶体的色散关系为[16]

当|cos(K d)|＞1时,K为复数,布洛赫波为衰减波,SH波出现禁带.当|cos(K d)|≤1时,K为实数,布洛赫波为非衰减波,SH波出现导带.其色散函数

利用(13)式绘出色散函数F的图像,在F的图像中,F＜0对应禁带,F≥0对应导带.

3 隧穿效应

波从波速小(c0)的介质入射到波速大(c1)的介质的分界面时会发生全反射现象,当SH波从有机玻璃中入射到该声子晶体时,其全反射角为θm=arcsin c0/c1=0.333 rad.SH波以大于全反射角入射该一维声子晶体时能否出现全反射隧穿现象呢?计算出SH波以入射角θ0=0.55 rad入射该一维固-固无限周期声子晶体其色散函数F随归一化波长Λ的响应曲线,如图2所示.由图2可看出,SH波大于全反射角入射该一维固-固无限周期声子晶体时出现了三个隧穿导带,三个隧穿导带的归一化波长中心分别在Λ=0.45,0.22,0.14处.这表明SH波也会产生全反射隧穿效应,其全反射隧穿效应具有以下特征:全反射隧穿效应是由多级导带组成,归一化波长最大的隧穿导带称为一级隧穿导带,随着归一化波长的减小分别称为二级隧穿导带、三级隧穿导带、······.

图2 色散函数随归一化波长响应曲线(θ0=0.55 rad)

4 谐振理论

SH波产生全反射隧穿效应的原因可以通过建立谐振腔模型给予解释:一维无限周期声子晶体由无限多个如图3的谐振腔组成,腔内介质的波速c2小于腔壁介质的波速c1.当SH波以大于全反射角的角度在腔内传播时会在腔内往复地全反射,这时ρ2层就成为一个势垒很高的势井,即形成一个谐振腔.当SH波以大于全反射角入射该声子晶体时,由于c0＜c1,SH波会在从ρ0入射到ρ1的界面上发生全反射,但SH波并不是完全不能进入ρ1中,SH波能够以倏逝波的形式进入ρ1约一个波长的深度[15].而该声子晶体中ρ1的厚度d1约为0.25个波长,因此SH波能够穿过ρ1进入ρ2中.满足下列驻波条件的SH波才能在谐振腔发生共振而存在:

满足(14)式波长的SH波会在谐振腔中产生共振,并且满足(14)式的SH波在谐振腔内相邻两次往复反射所产生的透射波会发生相长干涉.因此,这些波长的SH波就能够穿过高势垒产生一维无限周期声子晶体的全反射隧穿效应.由(14)式可得全反射隧穿导带的归一化波长满足的解析公式:

由(15)式可看出当介质材料一定时,全反射隧穿导带的归一化波长由 j,d2,θ0三个参量确定.其中自然数变量 j用来确定全反射隧穿导带的级数,称为隧穿导带级数,j=1对应一级隧穿导带,j=2对应二级隧穿导带,······.由 (15)式看出归一化波长Λj随着级数 j成反比变化.这个结论正好对图2中由色散法得出的全反射隧穿效应的特征给出了满意的解释.将d2=λ0/4,θ0=0.55 rad,代入(15)式计算出一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长分别为Λ1=0.42,Λ2=0.21,Λ3=0.14,这些数值与图2中的色散法的结果符合.(15)式中d2是谐振腔的厚度,θ0是入射角.波在谐振腔中往返一次的波程为2d2cosθ0,即波在谐振腔中往返一次的波程由θ0和d2共同决定.下面进一步对θ0,d2两个参量对全反射隧穿导带归一化波长的影响进行研究.

图3 谐振腔模型

4.1 入射角对波长的影响

固定d2=λ0/4,由(15)式计算出入射角对一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长的影响关系为

由(16)式绘出归一化波长随入射角的响应曲线,如图4所示.利用色散法绘出归一化波长随入射角的响应曲线,如图5所示.图5中黑色部分为禁带区域,三条白色带分别为一级、二级、三级隧穿导带.从图4和图5中可得:

1)(16)式给出一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长都随入射角的余弦成正比变化,即归一化频率随入射角的增加而减小,这一个结论与色散法的结果(图5中的图像)完全符合;

图4 波长随入射角的响应曲线(谐振理论)

图5 波长随入射角的响应曲线(色散法)

2)在θ0=0.6 rad处,由(16)式计算出一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长分别为Λ1=0.41,Λ2=0.21,Λ3=0.14,而在图 5中θ0=0.6 rad处一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长中心分别为Λ1=0.46,Λ2=0.22,Λ3=0.14,这表明谐振理论的结果与色散法的结果也符合较好.

4.2 腔厚度对波长的影响

为了研究方便,令d2=Xλ0,X为无量纲的参变量,腔厚度的变化通过X的变化实现.由(15)式得出腔厚度对隧穿导带的归一化波长的影响关系为

由(17)式计算出SH波以θ0=0.42 rad入射时其一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长为

由(18)式绘出归一化波长随腔厚度的响应曲线,如图6所示.由色散法计算出归一化波长随腔厚度的响应曲线,如图7所示.图7中黑色部分为禁带区域,三条白色带分别为一级、二级、三级隧穿导带.从图6和图7可得:

图6 波长随腔厚度的响应曲线(谐振理论)

图7 波长随腔厚度的响应曲线(色散法)

1)(18)式给出一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长都随腔厚度成正比变化,这一结论与色散法的结果(图7中的图像)完全符合;

2)由(18)式计算出一级、二级、三级隧穿导带在X=0.3处其归一化波长分别为Λ1=0.55,Λ2=0.27,Λ3=0.18,而图7图像中在三处一级、二级、三级隧穿导带的归一化波长中心分别为Λ1=0.8,Λ2=0.28,Λ3=0.19,除一级隧穿导带谐振理论的结果与色散法的结果有一定差别外,二级、三级隧穿导带两种方法的结果符合得很好.

从前面谐振理论和色散法的比较结果中可以看出,尽管两者整体上是一致的,但是也存在一定的差别.其主要差别是:谐振理论给出的是隧穿导带的波长中心的解析变化规律,由它绘出的图像只能反映隧穿导带的波长中心的变化曲线.而色散法绘出的图像是隧穿导带的波长变化图像,它不仅反映出隧穿导带的波长中心的变化规律,而且还能够反映出隧穿导带的波长宽度的变化规律.产生这种差别的主要原因是:谐振理论是以一个谐振腔为研究对象得出的结果,而色散法是以无限多个谐振腔为研究对象得出的结果.这样就出现了两种方法结果上的一些差别.

5 结论

利用边界条件推导出SH波在一维固-固声子晶体中的转移矩阵,得出一维固-固无限周期声子晶体中SH波的色散关系.通过建立一维固-固无限周期声子晶体的谐振腔模型,利用共振条件推导出一维固-固无限周期声子晶体全反射隧穿导带的波长满足的解析公式,利用波长的解析公式对全反射隧穿导带的波长随导带级数、入射角和腔厚度的变化规律进行了研究,圆满地解释了一维无限周期声子晶体的全反射隧穿效应的变化规律.从理论上解释了一维固-固无限周期声子晶体中SH波的全反射隧穿效应产生的原因.并与色散法的计算结果进行了比较,结果发现两种方法得出的结论是符合的.这种符合表明本文推导出的SH波的转移矩阵、色散关系以及谐振理论都是正确的.

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