一种数字控制三相逆变电路的局部振荡行为分析*

雷博 肖国春 吴旋律

(西安交通大学电气工程学院,电力设备电气绝缘国家重点实验室,西安 710049)

(2012年7月10日收到;2012年9月18日收到修改稿)

1 引言

随着全球化能源危机的不断加剧,利用风能、光伏发电等可再生能源的分布式发电系统得到了广泛的关注.在这些分布式发电系统中,逆变电路作为可再生能源与电网之间的“连接桥梁”起到了重要的作用[1],得到了广泛的应用.数字控制技术的发展,使得目前在实际工程应用中三相逆变电路一般工作在数字控制脉宽调制(PWM)模式下[2].同时,由于数字控制中一拍延时的引入,对系统的稳定性以及动态特性会产生较大的影响[3,4].对数字控制三相逆变电路的动力学特性进行准确的建模分析是非常必要的.

已有许多学者对单相全桥无源逆变电路的动力学特性进行了分析[5−13],同时观测到丰富的非线性现象,如边界碰撞分岔[5−7,11]、倍周期分岔[8−10]以及Hopf分岔[8,10,12,13].文献[5—7]建立了一阶数字控制单相全桥电路工作在DC-DC状态下的离散迭代映射,并提出了可以提高系统稳定性的改进延时反馈策略.文献[9]通过分析一阶数字控制单相全桥逆变电路的非线性行为,提出了慢变稳定性定理.文献[11]分析了一阶数字控制单相全桥逆变电路在对称PWM调制下的边界碰撞分岔现象.但文献[5—7,9]目前并没有对与数字控制系统稳定性密切相关的一拍延时的影响进行分析.同时,文献[5—11]在推导系统的离散迭代模型时,直接利用状态转移矩阵进行分析.当系统阶数高于2阶时,由于状态转移矩阵的元素与状态变量有关并且无法解析表达,无法解析描述系统每个状态变量与系统参数的关系.这时,通常需要借助计算机数值计算循环描点才能表示出系统参数与系统运动行为的关系[8−10].文献[12,13]在考虑了数字控制系统延时的情况下,通过解析表达状态转移矩阵中各个元素,对单相全桥无源逆变器建立了数学模型,分析了LC型滤波器以及LC L型滤波器单相无源逆变电路系统中复杂行为的内在机理,得到了其参数的稳定范围的解析表达式并准确预测了系统发生不稳定现象.这些工作加深了对单相全桥逆变电路的理解,但均集中在单相系统中.同时,上述工作中的慢尺度不稳定现象在一个工频周期内是同时发生的.而在三相逆变系统中,系统可能会产生局部的振荡现象.在考虑一拍数字延时以及解析表达状态转移矩阵中元素的前提下,对数字控制三相逆变电路利用离散迭代模型分析其局部振荡行为的工作迄今为止未见报道.

本文针对一种数字控制三相逆变电路,通过解析表达状态转移矩阵中元素、考虑数字控制中的一拍计算、控制延时并考虑到三相电路中的不平衡因素,建立了系统的离散迭代模型.利用本文提出的离散迭代模型,系统参数与系统运动行为之间的关系可以得到直观的解析描述.进一步,本文提出了系统发生Hopf分岔、倍周期分岔以及鞍阶分岔的解析判别式.利用本文提出的离散迭代模型及不稳定行为判别式,准确预测了本文研究系统的不稳定现象及稳定边界.同时,对系统产生的局部振荡现象进行了分析,得出了这种现象产生的物理机理及产生条件.最后,通过Simulink仿真以及电路实验验证了理论分析的正确性.

利用离散迭代模型,本文建立了数字控制三相逆变电路中系统参数以及系统运动行为之间解析联系,揭示了三相逆变系统的耦合关系,发现了局部振荡现象,指出了局部振荡的产生条件,准确预测了系统参数和局部振荡起始点之间的关系,同时简化了利用离散迭代模型对系统不稳定行为预测的过程,有利于实际工程应用.

2 电路工作原理及离散迭代模型建立

数字控制三相逆变电路的主要功能是对逆变电流的稳定控制,保证逆变电流符合设计要求.逆变电路以固定的开关频率 fs运行,逆变电流频率为f,角频率为ω.电路由主电路部分以及数字控制部分组成,系统结构如图1所示.主电路部分由直流侧电压源E、三相逆变逆变器和三相阻感负载Ra,Rb,Rc及La,Lb,Lc构成.数字控制部分由采样环节、三相静止坐标系到两相同步坐标系的正变换及反变换环节、数字控制器、归一化环节、限幅器及数字PWM发生器组成.系统采取了两相旋转坐标系下的逆变电流反馈环的控制方式,其中电流环采取的是比例(P)控制器.图1中,CM环节代表电流采样环节;θs是给定逆变相位;idref和iqref是两相旋转坐标系下的给定值,是一个直流信号;ia,ib,ic分别为三相逆变电流;ia,ib,ic结合θs通过三相静止坐标系到两相旋转坐标系变换公式(DQ变换)得到两相同步旋转坐标系下的逆变电流id,iq;kpd,kpq分别为d轴与q轴下的比例系数;d轴以及q轴的输出信号分别为vdx以及vqx;vdx,vqx结合θs通过两相旋转坐标系到三相静止坐标系变换公式(DQ反变换),进行归一化及限幅环节得到三相的控制信号vax,vbx,vcx;其中ksat为归一化系数,其大小为1/(2E).在每个开关周期的起始阶段,系统通过采样、计算各个电气量,利用数字PWM发生器产生占空比信号以驱动S1—S6运行.

图1 数字控制三相逆变电路系统

本文采用的数字控制双极性正弦脉冲调制(SPWM)策略如图2所示.上下两个桥臂工作在互补状态,即若上管导通则下管关闭,反之亦然.各个桥臂的开关状态分别由控制信号vax,vbx,vcx与三角载波的大小关系决定.由于数字控制中的采样计算延时[3,4],第n个开关周期的占空比状态dan,dbn和dcn由第(n−1)个开关周期的控制信号vax(n−1),vbx(n−1),vcx(n−1)决定,占空比信号的值为0或者1.当dna=1时代表S1开通S4关闭,dna=0时代表S1关闭S4开通;当dnb=1时代表S3开通S6关闭,dna=0时代表S3关闭S6开通;当dnc=1时代表S5开通S2关闭,dnc=0时代表S5关闭S2开通.

图2 数字SPWM调制策略示意图

2.1 控制电路离散迭代模型描述

根据两相旋转坐标系到三相静止坐标系变换关系,vax,vbx,vcx三相控制信号之和为0,所以三个占空比信号也只有两个自由度.本文中选取a相及b相占空比作为状态变量.由于逆变电流是正弦信号,系统是一个周期时变系统.但由于 fs远大于 f,同时系统采用数字控制,在一个开关周期内只进行一次电气量的采样、计算及占空比信号的载入,通过准静态分析[14],可以认为在一个开关周期内三相逆变电流是恒值.由于数字系统中的采样保持过程,根据系统的控制原理可以直接得出系统控制部分的离散迭代方程.

设iden,iqen和vdxn,vqxn分别是第n个开关周期d轴和q轴下误差信号以及控制器输出信号;kdp,kqp分别是d轴和q轴下的比例控制参数;设ian,ibn,icn,θsn分别代表第nTs时刻三相逆变电流和旋转坐标同步角的采样值.得出da和db的离散迭代方程为

根据三相关系,得到dcn与dan,dbn的关系为

通过(1)式可以得到系统占空比的迭代方程,具体推导过程见附录1.

2.2 主电路离散迭代模型描述

根据基尔霍夫电流定律,三相电流之和为0,三相电流只有两个自由度.选取其中两相逆变电流i=[iaib]T作为状态变量.设AT,BET,(T=000,111,100,110,101,010,011,001)是系统在不同拓扑下的状态矩阵.从图3中可以看出,当系统的开关状态发生变化时,只有直流侧电压的状态发生改变,令AT=A.A和BET的具体表达式见附录2.同时,为了方便描述,定义θa=0,θb=−2π/3和θb=2π/3.

系统主电路部分在各个拓扑状态下的状态方程为

在系统第n个开关周期的运行过程中,根据dan,dbn和dcn的大小关系,结合图2和图3,系统将会演化出6种不同的拓扑序列结构,如图4所示.

由于系统采用的是对称SPWM调制策略,系统可能的拓扑序列为T000→Tα→Tβ→T111→Tβ→Tα→T000.其中[α,β]有[100,110],[100,101],[010,110],[010,011],[001,101]和[001,011]6种可能性.

结合(2)式,对拓扑序列进行分段积分.积分结果表明,系统在这六种可能拓扑序列中的离散迭代方程是相同的,可以表示为

其中

系统离散迭代模型的推导过程及BEa,BEb和BEc的具体表达形式见附录3.

图3 三相逆变器拓扑状态示意图 (a)T000;(b)T100;(c)T010;(d)T001;(e)T111;(f)T011(g)T101;(h)T110

根据(1)和(3)式可以得出系统的离散迭代方程,其中数字控制部分由于一拍延时作用,得到的是各相独立的“标量化”离散迭代方程,但是主电路迭代模型(3)式直接使用状态转移矩阵进行分析,无法得出各相逆变电流之间、逆变电流与系统参数、逆变电流与各相占空比之间的解析关系.利用矩阵A的特征值和特征向量,可以描述状态转移矩阵[15],同时利用文献[12,13]中提出的方法,对此离散迭代方程进行标量化描述.

设λA1,λA2为矩阵A的特征值,数字控制三相逆变器主电路中a,b两相的标量化离散迭代方程为

同时,根据三相之间的关系,得到c相的表达式为

(4)式的推导过程以及函数 δ,Γχ1χ2χ3(χ1,χ2,χ3=1,2,3)及 φvsy1y2(y1,y2=a,b)的定义详见附录4.

图4 第n个开关周期系统可能的拓扑情况 (a)dan＞dbn＞dcn;(b)dbn＞dan＞dcn;(c)dcn＞dan＞dbn;(d)dan＞dcn＞dbn;(e)dbn＞dcn＞dan;(c)dcn＞dbn＞dan

结合(1a),(1b),(4a)和(4b)式,可以得出在两相同步旋转坐标系下采用P控制、各相为阻感负载时的数字控制三相逆变电路的标量化离散迭代模型.系统共含有4个独立的状态变量,ia,ib,da,db.在下一节将通过分析系统在平衡点处的雅克比矩阵特征值来对系统的运动行为以及稳定特性进行分析.

3 系统稳定性分析

3.1 系统的稳定特性

通过准静态分析[14],结合(1)和(4)式,令dbn可以求出系统的平衡点.根据系统开关频率和工频频率之间的关系,系统共有 fs/f个平衡点.需要注意的是,求解平衡点的方程是超越方程,需要利用牛顿下山法等数值算法进行求解.系统的平衡点分别设为,,和(0＜l≤fs/f),设l为系统平衡点序列的序号.

系统在第l个平衡点的雅克比矩阵可以写为

根据(5)式,得出了系统在第l个平衡点的特征方程为

其中,F0—F3具有解析的表达式,其具体参数表达式详见附录5.同时,根据根与系数的关系,设λJ1—λJ4为(6)式的根,系统的特征方程同样可以描述为

随着系统控制参数的增大变化,系统的特征根会穿出单位圆,系统会发生不稳定行为.当系统中有一对共轭虚根穿出单位圆,而余下的特征根在单位圆内,系统会发生Hopf分岔[14];当有一个特征值等于1,而其他特征值在单位圆内,系统会发生鞍结分岔;当一个特征根等于−1,而其他特征值在单位圆内,系统会发生倍周期分岔[16−19].

根据系统控制规律,kdp和kqp均大于0.在表1所示的系统参数下,在系统的每个平衡点处,以系统控制kdp和kqp为变量,可以对(8)式所代表的三个边界曲线bH,bS和bP在第一象限绘制出一组曲线.通过三条曲线之间的关系,可以预测出系统将会发生的不稳定现象,以及各种不稳定现象发生时的边界控制参数.

根据表1中参数定义,依据准静态分析,在一个工频周期内,系统共含有300个平衡点.在系统的300个平衡点上,根据(8)式代表的三种分岔行为判别式,分别绘制三种边界曲线.根据三种边界曲线之间的稳定性关系,可以发现,在这个数字控制三相逆变器系统中,系统只会发生Hopf分岔,而不会发生其他的分岔类型.

表1 系统参数表

3.2 局部振荡行为分析

对比(9)式中各个等式,当kqp与kdp相等时,等于0,同时也是与系统平衡点序号l的无关量.但是,当kqp与kdp不相等时,会随着系统平衡点序列号l(0＜l≤fs/f)而做周期性的变化,显然,其变化周期为工频周期的两倍.由此,预测系统在kdp不等于kqp的情况下,在一个工频周期内,系统的稳定性不一致,会出现局部不稳定现象.根据之前分析,由于此系统在表1所示参数下,只会发生Hopf分岔,所以此时系统将会出现局部振荡现象;而当kdp=kqp的情况下,系统在一个工频周期内的稳定性一致,系统不稳定时,将会产生的是全局振荡现象.下面就kdp与kqp的不同关系对系统的稳定性进行分析.

根据控制器参数定义,kdp和kqp均大于0.根据3.1分析结果,在表1所示参数下,系统在300个平衡点上均只会发生Hopf分岔.同时考虑计算方法原理[20],为了避免数值计算误差,以ksatkdp为横坐标,以ksatkqp为纵坐标,从第15个平衡点开始每隔15个平衡点,画出此时系统第一象限中的bH曲线组,如图5所示.

如图5所示,由于系统的特征方程(6),及相应的Hopf分岔边界条件(8a)中与平衡点序列号l相关,所以不同的平衡点的稳定范围有所不同.同时系统的稳定特性具有对称性,对称周期为工频周期的一半.对于某一特定的控制参数,在系统一部分平衡点处系统稳定,而在其他平衡点处系统不稳定,系统就会产生局部振荡现象.

根据图5所示,当控制参数ksatkdp=0.5(kdp=100),ksatkqp=0.95(kqp=190)时,将会在第45—90平衡点处及195—240平衡点附近出现振荡现象,而在工频周期的其他部分,系统是稳定的.

根据 (9)式中各式定义,当 kdp=kqp时,和平衡点序列号 l无关,则系统的特征方程(6)及系统稳定边界条件(8)中各式与系统平衡点无关.此时,若系统发生不稳定现象,那么这种不稳定运动将在一个工频周期内的所有平衡点同时发生.定义此时求取稳定边界的方程为

此时,系统只有一个控制参数ksatkdp,同样从第15个平衡点开始,以15为步进,给出(10)式的根的分布情况如图6所示.从图6上可以看出,不同平衡点对应(10)式的根相同,与之前推论符合.

根据参数定义,(10)式在正半轴最小的实根即为使系统稳定的最大控制参数取值.通过精确的计算,此系统在kdp=kqp的条件下的稳定边界为

对比图5,图中所有的稳定边界交汇于一点,这点坐标下的控制参数是0.7390395(kdp=dqp=147.8079),满足于(11)式关于kdp=kqp情况下稳定边界的判断.当系统控制参数不满足(11)式时,系统将会在整个工频周期内同时发生不稳定振荡现象.

图6 kd p=kq p时,稳定边界方程根的分布情况

4 仿真和实验

根据图1,给出系统相应的Simulink仿真电路图如图7所示.整个仿真系统采用连续仿真,同时利用比较模块以及延时模块模拟了数字控制系统的采样保持、计算延时过程.

假设3认为，对于成长期企业，碳信息披露会显著缓解企业的融资约束。为了检验假设3，对处于成长期的288个样本数据进行多元回归。表5的假设3部分列示了碳信息披露对成长期企业融资约束影响的估计结果。结果显示：（1）CFAt-1的系数在1%的水平下显著为正 （系数为0.0013，t值为2.79），表明成长期的重污染企业普遍面临较强的融资约束；（2） CFAt-1×CDI的系数在1%的水平下显著为负 （系数为-0.2435，t值为-2.91），表明碳信息披露对成长期企业融资约束的缓解效应显著。假设3检验通过。

代入控制参数kdp=100,kqp=190,仿真结果如图8所示.图8中出现了局部振荡现象,局部振荡周期为工频周期一半,振荡起始、终止点与理论分析一致,证明了理论分析的有效性及精确性.

代入控制参数kdp=kqp=150,系统的仿真结果如图9所示.图9中出现了全局振荡现象,证明了理论分析的有效性及精确性.

图7 数字控制三相逆变系统仿真电路图

图8 kd p=100,kq p=190时系统仿真结果

图9 kd p=kq p=150时系统仿真结果

图10 kd p=100,kq p=190时试验波形

图11 kd p=kq p=150时试验波形

对三相系统的运动行为进行试验研究,以验证理论分析的正确性.实验电路拓扑结构与图3相同,系统参数选取如表1所示.分别选取控制参数kdp=100,kqp=190;kdp=kqp=150,进行试验,实验结果如图10及图11所示.实验结果与Simulink仿真结果相似.由于没有考虑逆变器死区作用以及开关管的损耗等,实验产生了一定的误差.

5 结论

本文针对数字控制三相逆变电路系统,对其在同步旋转坐标系比例控制下的一种局部振荡行为进行了分析.通过解析表达状态转移矩阵中元素,建立了系统各个状态变量离散迭代方程,从而得到了三相逆变电流之间和逆变电流与各相占空比、系统参数之间的内在物理联系.进一步,本文针对高阶系统,提出了一种运动行为解析判别式,揭示了三相逆变系统的耦合关系以及运动行为的内在物理机理,准确预测了系统的稳定范围以及不稳定现象.

以往针对全桥逆变器,利用非线性理论进行建模分析的工作主要集中在单相领域,同时它们的不稳定现象在一个工频周期内是同时发生的.通过本文对三相系统的研究,发现系统会发生有别于单相系统的局部的振荡现象.本文针对这种局部振荡现象,进行了理论分析,得出当D轴比例系数与Q轴比例系数超出一定范围且两者不相等时,就会发生这种局部振荡现象.本文得到了控制参数与局部振荡点关系的解析表达式,并准确预测了产生局部振荡的起始、结束点.最后,通过Simulink仿真以及电路实验证明了理论分析的正确性及有效性.

附录A1

根据三相静止坐标系到两相旋转坐标系转化公式:

通过由此得到系统的误差信号,设为iden和iqen,可以表达为

根据两相旋转坐标系到三相静止坐标系变换公式及图1所示控制框图,得到vyxn(y=a,b,c)三相控制信号为

由于三相控制信号由DQ反变换得来,则三相控制信号之和为0.

结合图3,可以得到dyn(y=a,b,c)的表达式为

结合(A7)和(A8)式,可以分别得出三相系统控制部分的离散迭代方程表达式.

附录A2

A和BET在8种拓扑状态下的表达式为

其中α1,α2和α3可以表达为

其中:

附录A3

对(2)式进行积分,设积分起始时间为ton,结束时间为toff,拓扑结构为Tt,积分结果为

如图7所示,系统可能的拓扑序列为T000→Tα→Tβ→T111→ Tβ→ Tα→T000.其中 [α,β]有 [100,110],[100,101],[010,110],[010,011],[001,101]和[001,011]六种可能性.在第n个开关周期内,设占空比最大相为g相,最小相为s相,另一相为m相,通过代入相应参数对(C1)进行迭加,得到:

其中φEg,φEm和φEs为

可以分六种情况讨论(C3)和(C4)的表达式变化,在此以[α,β]=[100,110]时为例进行分析.此时占空比最大的为a相,最小的为c相,则

对于其他5种情况,均可以写出相应的BEa,BEa和BEa表达式.根据附录1中定义,发现在六种情况下BEa,BEa和BEa的表达式相同,于是重新定义BEa,BEb和BEc:

附录A4

根据文献[12,13]中的方法,同样定义κ,ρ为系统矩阵A的特征向量矩阵及其逆矩阵,并可描述为

定义λAχ1,λAχ2为矩阵A的特征值.

定义函数ε(χ1,χ2,χ3):

其中χ1,χ2和χ3定位了矩阵κ,ρ元素的位置.

设 ξ 为任意常数,定义 δξχ2χ3:

其中r定位了向量δr(N,ξ)的位置.

则 eξA可以表述为

定义 ς1,ς2和 ς3

定义函数Γrlq:

附录A5

根据参数定义,同时考虑系统的开关频率相对工频频率较高,设可以得出在第 l个平衡点的表达式为

同样可以得出:

将(1)式对ia,ib分别求偏导,可以得出1,2)在第l个平衡点的表达式为

根据系统在第l个平衡点的雅克比矩阵(5),可以得出F3—F0的表达式为

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