基于能量法计算材料的弹性模量和压痕硬度

金宏平，陈建国

（湖北汽车工业学院机械工程系，十堰442002）

0 引 言

很长时间以来，在实际工程中常将硬度作为评估材料强度、耐磨性和刚度的一个指标。但是，由于传统的硬度测试要求用光学仪器测量残余压痕的尺寸，这使其在工业应用中存在一定困难，并容易引起误差。最近十多年以来，由于新材料的大量涌现，特别是纳米材料和涂层材料在工程中的大量应用，为了评价这些新材料的力学性能，常规的力学性能测试方法显然已不适用。因此，很多学者尝试通过分析硬度测试过程中的载荷和位移数据，建立载荷-位移曲线与材料性能之间的某种约束关系，如图1所示，从而间接获得材料的力学性能［1-5］。

Oliver和Pharr［6］等通过研究抛物面形状压头的接触深度、压痕深度和卸载后残余压痕深度之间的关系，根据弹性理论，提出了接触深度hc的计算公式：

式中：hm为最大压入深度；Fm为最大压痕载荷；S为卸载斜率；β为与压头形状有关的参数，对于球形压头，β＝0.75。

对于半径为R 的球形压头，其压痕硬度H 的计算公式为：

式中：F 为压痕载荷。

由于Oliver-Pharr方法（简称O-P 法）快捷方便，易于实现，在工程上得到了广泛应用，是现有商品化纳米压痕仪中计算压痕硬度的通用方法。

图1 压痕的载荷-位移曲线和堆积/沉陷示意Fig.1 Load-depth curves （a）and pile-up/sink-in sehematic of indentation（b）

对于弹塑性材料，最大压痕载荷Fm和卸载斜率S 永远是正值。由式（1）可知，接触深度hc总是小于最大压入深度hm，即在压痕接触边沿总是呈现材料沉陷状态，如图1（b）右侧所示。然而，在实际工程应用中并非都如此。例如，对于比较软的材料，在压痕接触边沿可能会出现材料堆积，如图1（b）左侧所示，此时接触深度hc就会大于最大压入深度hm。此时如果采用式（1）来计算接触深度，就会产生很大的误差。因此，用基于O-P法获得的投影接触面积来计算硬度的纳米压痕仪只适用于材料沉陷的情况。但是，由于该方法简单、方便，目前不少学者仍采用该方法研究压痕硬度。

自从郑哲敏［7］将量纲分析引入到硬度的分析中后，不少学者开始采用该方法来分析、研究压痕的响应过程。有些学者采用尖压头来研究纳米材料压痕硬度的计算方法，由于尖压头在使用过程中存在磨损，使得其形状发生变化，因此在使用中需要对其接触面积进行标定［8-10］；有些学者采用球压头来研究材料的力学性能，但在计算过程中，需要计算残余压痕深度，这对其测量精度提出了较高的要求［11-13］。为了提高计算精度以及减小测量误差带来的影响，作者采用量纲分析法扩展了弹塑性球形压痕接触的无量纲函数，通过分析弹性模量、压痕硬度与材料特性、压痕参数及响应的约束关系，建立了基于能量法计算材料弹性模量和压痕硬度的方法。

1 理论分析

假定刚性球压头的半径为R，垂直压入各向同性的弹塑性硬化材料（弹性模量E、屈服强度σy、应变硬化指数n）中，球压头与被测材料之间为无摩擦接触，并且被测材料中不存在残余应力。下面分别对球形压痕接触的加、卸载过程进行详细的量纲分析，以建立压痕响应与材料性能、压痕参数之间的无量纲函数关系。

在球形压痕加载过程中，压痕载荷F 和接触深度hc是材料性能参数和压痕参数的函数，其函数表达式分别为：

式中：h为压入深度；ν为泊松比。

根据量纲分析和Π 定理，式（3）和式（4）分别可以改写为：

式中：Πα和Πβ分别为三个无量纲参数E＊／σy、n 和h／R 的 无 量 纲 函 数；E＊为 等 效 弹 性 模 量，E＊＝E／（1-ν2）。

由式（5）可得在加载过程中，外力做的总功Wt：

式中：Πφ为无量纲参数E＊／σy、n 和h／R 的无量纲函数。

当压头加载到最大压入深度hm后，即开始卸载。因此，在卸载过程中，卸载载荷Fu和hm有关。根据量纲分析及Π 定理，有如下公式：

式中：Πξ为无量纲参数E＊／σy、n、h／R 和hm／R 的无量纲函数。

在卸载过程中，弹性恢复功Wu为：

式中：Πφ为无量纲参数E＊／σy、n 和h／R 的无量纲函数；hr为残余压痕深度。

对于一个完整的加载-卸载循环，不可逆功Wp和加载功Wt之比为：

式中：Πγ为无量纲参数E＊／σy、n 和h／R 的无量纲函数。

在最大压入深度hm时，由式（5）和式（6）可得到最大压痕载荷Fm和接触深度hc，将它们代入式（2）中，得压痕硬度H 表达式：

式中：Πκ为无量纲参数E＊／σy、n 和h／R 的无量纲函数。

上式可改写为：

从式（10）和（12）可看出，Wp／Wt和H／E＊都是三个无量纲参数E＊／σy、n和hm／R 的无量纲函数。

2 有限元分析

2.1 有限元模型

由于弹塑性材料的球形压痕接触没有解析解，故通常采用有限元仿真来分析该问题。在压痕试验中，存在接触非线性、材料弹塑性变形的非线性和几何变形的非线性，而ABAQUS 软件在非线性仿真计算方面有着比较精确和快速的优势，因此采用ABQAUS 6.11软件对压痕接触过程进行有限元仿真分析。

在仿真分析中，为了获得比较全面的结论，选择了96种不同材料的参数以保证能覆盖工程中常用的材料，其弹性模量和屈服强度的比值范围为30～1 000，泊松比对压痕试验的载荷-位移曲线影响较小，而且大部分工程材料的泊松比近似为0.3，因此泊松比ν 取0.3，硬化指数n 分别取0，0.1，0.3，0.5。其本构关系为：

式中：σ为应力；ε为应变；K 为强度系数，根据连续性条件，K ＝σy（E／σy）n。

在采用ABAQUS有限元软件进行分析时，为提高效率、减小工作量，将模型简化为轴对称结构，并设置为大变形模式。球形压头直径为1.588mm（标准布氏硬度计压头）。当试样半径与接触半径之比大于100时，边界约束对压痕区域的应力分布无影响，因此定义圆柱试样的直径为20mm，高度为10mm。在压头和试样的对称轴上添加轴对称约束，在试样底部施加水平约束，防止试样在z轴上的运动，但其可以在r方向上运动，如图2所示。压入深度通过对压头施加z向位移来实现。为获得比较精确的结果，在接触区域附近采用三节点单元，而远离接触区域采用4节点单元，共划分成9 725个单元。

图2 压痕硬度测试的有限元模型Fig.2 Finite element model of indentation hardness testing

在有限元模拟中，根据其历程输出来获得压痕的载荷-位移曲线，从而得到最大压痕载荷和最大压入位移。接触深度通过查询接触边界的接触节点和分离节点的坐标值来确定。总的加载功和弹性恢复功通过对加载和卸载曲线所包围的区域进行积分计算获得。

2.2 无 量 纲 函 数Wp／Wt、H／E＊与E＊／σy、n 和hm／R之间的关系

从图3 可以看出，不可逆功与加载总功之比Wp／Wt随着E＊／σy和hm／R 的增加而增加，随着n的增加而减小。因为n 的增加，使得材料的弹性增强，压痕区域的塑性变形区域减小，弹性变形区域增大，因此，其弹性恢复功也相应增加。而随着E＊／σy的增加，材料更容易发生屈服，在同样的压入深度下，发生屈服的区域较大，因此，其不可逆功增加。同样，随着hm／R 的增加，塑性区域也相应增大，不可逆功也相应增加。

从图3中还可以发现，若E＊／σy＜200，Wp／Wt变化较快，特别是E＊／σy＜100 时，几乎呈线性变化；而E＊／σy＞600后，Wp／Wt变化很小，最后趋于某一定值。这是因为，当E＊／σy→0时，材料属于弹性材料，在压头压入过程中，处于弹性接触状态，在完全卸载后，弹性变形完全恢复，而且没有塑性变形，此时Wp／Wt→0；随着E＊／σy增加，塑性变形量迅速增大，因此Wp／Wt增加很快。当E＊／σy→∞时，材料属于完全塑性材料，在压头压入过程中，材料不会发生弹性变形，因此在卸载过程中，Wu→0，即Wp／Wt→1。

图3 无量纲函数Wp／Wt与E＊／σy、n和hm／R 之间的关系Fig.3 Relationship between Wp／Wtand E＊／σy，nand hm／R

由图4可见，H／E＊随着E＊／σy的增大而减小，随着n的增加而增加。而H／E＊与hm／R 无关，这是因为在仿真中定义材料的硬化特性为各向同性，因此硬度与压入深度无关。

从 图4 中 还 可 以 看 出，当E＊／σy＜200 时，H／E＊变化较快，特别是E＊／σy＜100时，几乎呈线性变化；随着E＊／σy的增加，H／E＊变化很小，最后趋于某一定值。这是因为，当E＊／σy→0时，材料属于完全弹性材料，H／E＊→∞；随着E＊／σy增大，材料的塑性变形能力增强，因此H／E＊迅速下降。当E＊／σy→∞时，材料属于完全塑性材料，即H／E＊→0。比较图3和图4 可以发现，Wp／Wt和H／E＊与E＊／σy、n、hm／R 之间的函数关系具有某些相似的特性，这表明Wp／Wt和H／E＊之间存在某种直接的联系。

图4 无量纲函数H／E＊与E＊／σy、n和hm／R 之间的关系Fig.4 Relationship between H／E＊and E＊／σy，n and hm／R

2.3 H／E＊与Wp／Wt之间的关系

由于在压痕形成过程中，材料的堆积／沉陷程度与E＊／σy、n和hm／R 相关，这就导致确定加载过程中的接触面积比较困难。因此，可以考虑能否建立H／E＊与Wp／Wt之间的函数关系来获得材料的压痕硬度。从图5 可以看出，对于某个确定的hm／R值，Wp／Wt和H／E＊之间呈近似线性关系，与材料的E＊／σy和n无关。

图5 Wp／Wt与H／E＊之间的关系Fig.5 Relationship between Wp／Wtand H／E＊

根据图5所示的曲线形状，定义其拟合函数关系式：

式中：B 为hm／R 的函数。

由式（14）可知，对于某个压入深度，H／E＊和Wp／Wt之间存在一一对应的关系。若已知等效弹性模量，根据压痕的载荷-位移曲线数据，采用该关系式就可以计算出材料的压痕硬度。

3 弹性模量和压痕硬度的计算

3.1 正 演

根据上述分析，只要根据压痕的载荷-位移曲线，获得加载功Wt和卸载功Wu，加上压痕参数和材料的弹性模量，就可以利用式（14）计算出材料的压痕硬度H。

将式（15）代入到式（14）中，并将其进行适当变换，得到式（16）：

Love和Sneddon［14］研究分析了不同几何形状的刚性压头与弹性半空间的接触，并根据弹性接触理论，认为等效弹性模量E＊与初始卸载斜率S 和接触面积Ac之间存在如下关系：

虽然式（17）是根据刚性圆锥压头推导出来的，但是，Bulychev等［15］学者认为该公式也可以用于球压头，Cheng［16］指出该式也同样适用于具有硬化特性的材料。

此外，Bolshakov等［17］采用有限元仿真技术分析了刚性圆锥压头与弹塑性材料的压痕接触，并采用式（17）计算了材料的弹性模量，结果发现弹性模量的计算值比实际值大5%～15%。因此，提出了该式的修正式：

式中：β为修正系数，与压头的几何形状和材料的泊松比有关［18］。

根据有限元的仿真结果，可以绘制出Ac与S／E＊之间的函数关系曲线，如图6所示。需要指出的是，图6中包括了不同材料参数（E＊／σy、n）和不同压入深度hm／R 的仿真数据。

图6 Ac与S／E＊之间的函数关系Fig.6 Relationship between Acand S／E＊

采用式（18）对图6的所有数据点进行拟合，得到β＝1.051 5。

根据压痕硬度的定义公式：H＝Fm／Ac，以及式（16）和（18），可以得到：

由于Fm、hm／R、Wu／Wt和S 都可以直接从载荷-位移曲线中得到，因此等效弹性模量E＊和压痕硬度H 可以分别通过式（19）和（20）获得。可见，采用该方法可以方便、快速地获得压痕硬度和弹性模量。而且从上述等式中可以看出，压痕的接触深度hc并没有出现在上述两式中，这样就避免了压痕周围材料堆积／沉陷带来的影响。因此，采用能量法可以提高压痕硬度的计算精度。

3.2 反 演

根据前面的分析可知，只要获得了压痕加载和卸载过程的载荷-位移曲线，压痕的特征参数Fm，hm，Wt，Wu和S 就可以计算得到。根据式（19）和（20）即可计算出材料的性能参数E 和H。

为了验证该方法的有效性，分别对不同性能的材料进行数值反演，其结果如表1所示，表1中硬度的理论值是根据有限元仿真得到的投影面积计算获得。从表中可以看出，根据式（19）和（20）计算的弹性模量E 和压痕硬度H 的计算值和理论值之间的误差较小，最大误差分别不超过4%和8%。

表1 弹性模量和压痕深度的反演结果Tab.1 Reverse results of elastic modulus and indentation hardness

3.3 敏感性分析

由于在实际试验中，测量和计算都会产生一定的误差，这些误差都将会对最后的计算精度产生影响。为了研究测量和计算误差对最后计算值的影响，人为给定Wt，Wu和S 各2%的误差来分析它们对E 和H 精度的影响。首先假定Wt有2%的误差，其它几个值没有误差，采用反演算法计算E 和H，结果如表2所示。同样，其它两个参数采用类似的方法进行分析。从表中的结果可以看出，Wt，Wu和S 的误差对E 和H 的计算结果影响较小，最大误差未超过10%。

从上面的分析可以看出，采用能量法测材料的弹性模量和压痕硬度，其测试精度是可以满足工程要求的。

3.4 不同压痕硬度计算方法的对比

Gao等提出了压痕硬度的计算公式［19］：

式中：a为压痕半径。

分别采用式（21）、基于能量法推导的式（20）以及O-P法计算压痕硬度，并进行对比，如图7所示。可见，采用式（20）能量法计算的压痕硬度与采用式（21）计算得到的最大误差不超过10%。对于比较硬的材料，O-P法获得的压痕硬度和式（21）计算得到的误差比较小；而对于比较软的材料，用O-P 法获得的压痕硬度明显偏大，其主要原因就在于该方法在计算接触深度时没有考虑材料堆积的现象，从而导致计算得到的投影接触面积偏小，其最大误差达到了18%。

图7 不同方法计算得到的压痕硬度对比Fig.7 Indentation hardness obtained by different methods

4 结 论

（1）基于能量法，根据量纲分析法和Π 定理，推导了压痕功（Wp和Wt）、压痕硬度与压痕参数、材料特性之间的无量纲函数；通过对无量纲函数关系进行分析，建立了无量纲压痕函数H／E＊和Wp／Wt之间线性关系。

（2）根据卸载斜率和接触面积之间的线性关系，建立了压痕函数和弹性模量的解析模型，再结合压痕的载荷-位移曲线，就可以计算得到材料的弹性模量和压痕硬度。

（3）基于能量法计算的压痕硬度和弹性模量比较准确；与O-P 法相比，基于能量法的压痕硬度计算精度更高些。

［1］FISCHER-CRIPPS A C.A review of analysis methods for sub-micron indentation testing［J］.Vacuum，2000，58：569-585.

［2］张泰华.微／纳米力学测试技术及其应用［M］.北京：机械工业出版社，2004.

［3］黎明，温诗铸.纳米压痕技术理论基础［J］.机械工程学报，2003，39（3）：142-145.

［4］刘扬.基于纳米压痕技术和有限元仿真的材料塑性性能分析［D］.武汉：武汉理工大学，2003.

［5］刘琦.基于压痕功的微纳米表层硬度检测技术研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2010.

［6］OLIVER W C，PHARR G M.An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments［J］.Journal of Materials Research，1992，7（6）：1564-1580.

［7］郑哲敏，谈庆明.相似理论与模化［M］／／郑哲敏文集.北京：科学出版社，2004：777-808.

［8］DAO M，CHOLLACOOP N，VAN Vliet K J，et al.Computational modeling of the forward and reverse problems in instrumented sharp indentation［J］.Acta Materialia，2001，49：3899-3918.

［9］TROYON M，HUANG L.Critical examination of the twoslope method in nanoindentation［J］.Journal of Materials Research，2005，20：2194-2198.

［10］GIANNAKOPOULOS A E，SURESH S.Determination of elastoplastic properties by instrumented sharp indentation［J］.Scripta Materialia，1999，40：1191-1198

［11］ZHAO M H，OGASAWARA N，CHIBA N，et al.A new approach to measure the elastic-plastic properties of bulk materials using spherical indentation［J］.Acta Materialia，2006，54：23-32

［12］NAGAHISA O，NORIMASA C，CHEN X.A simple framework of spherical indentation for measuring elastoplastic properties［J］.Mechanics of Materials，2009，41：1025-1033.

［13］NI W Y，CHENG Y T，CHENG C M，et al.An energybased method for analyzing instrumented spherical indentation experiments［J］.Journal of Materials Research，2004，19（1）：149-157.

［14］FISHER-CRIPPS A C.Introduction to contact mechanics［M］.Berli：Springer，2000.

［15］BULYCHEV S I，ALEKHIN V P，SHORSHOROV M H，et al.Determining Young＇s modulus from the indentor penetration diagram［J］.Industrial Laboratory，1975，41（9）：1409-1412.

［16］CHENG Y T，CHENG C M.Relationships between hardness，elastic modulus and the work of indentation［J］.Applied Physics Letters，1998，73（5）：614-616.

［17］BOLSHAKOV A，OLIVER W C，PHARR G M.Influences of stress on the measurement of mechanical properties using nanoindentation—Part II：Finite element simulations［J］.Journal of Materials Research，1996，11：760-768.

［18］TROYON M，LAFAYE S.About the importance of introducing a correction factor in the Sneddon relationship for nanoindentation measurements［J］.Philosophical Magazine，2006，86（33）：5299-5307.

［19］GAO X L，JING X N，SUBHASH G.Two new expanding cavity models for indentation deformations of elastic strainhardening materials［J］.Int J Solids Struct，2006，43：2193-2208.