离散数学中命题公式与集合公式的教学与实践

陈思宝

（安徽大学 计算机科学与技术学院，安徽 合肥 230601）

1 引言

离散数学［1］是一个非常有用的数学工具，它对计算机科学的发展起着重要作用。通过这门课程的学习，可以培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，并使他们掌握处理离散数据结构所必需的描述工具和手段［2］。然而，离散数学课程具有概念多、内容广、难度深等特点，采用传统的教学方式必然效果不佳，为此，笔者尝试调动学生的积极性，让学生深入参与到离散数学的课程教学中去，进行参与式教学和主动式教学。

数理逻辑中命题公式的演算是离散数学的重要内容之一，同时也是一个难点内容，其重点在于命题公式的演算过程有着严谨的逻辑推理［3］［4］。通过命题公式的真值表可以引导学生发现命题公式的本质，而冗长且繁琐的命题公式真值表的计算过程又阻碍了学生快速理解命题公式所具有的特性。为此，笔者设计了一个任意输入的命题公式的快速求真值表系统，以帮助学生绕开繁琐的命题公式真值表的计算，直接从自动求出的真值表上发现命题公式所具有的性质。

命题公式的演算中证明命题公式之间的永真蕴含关系是最为核心的内容。笔者引导学生从不同角度分析存在永真蕴含关系的命题公式所具有的特性，从而让学生总结出命题公式永真蕴含的多种证明方法。

针对于学生对集合公式的演算有一定的基础，重点引导学生发现集合公式演算与命题公式演算中的一致性与对应关系，并分析集合公式文氏图中每一小区块的特性，得出集合公式的主范式表示方法以及集合公式演算的一般方法。

2 尝试新的教学模式

过去“填鸭式”的教学方式以教师的教为主，忽略了学生的学习积极性与主动性，教学效果并不理想。为此，笔者尝试充分调动学生的积极性与主动性，大胆尝试新的教学模式，让学生参与到教学中去，进行参与式教学和主动式教学［5］。这是对过去“填鸭式”的教学方式的彻底颠覆，具有教学改革里程碑的意义。

2.1 参与式教学

参与式教学就是指教师和学生们共同营造一种和谐、平等、民主、并且热烈的教学氛围，让不同层次的学生都拥有参与和发展机会的一种有效的学习方式，是一种合作式或协作式的教学法。这种教学方法以学生为中心，充分运用灵活多样、直观形象的教学手段，鼓励学生积极参与教学过程，成为其中的积极成分，加强教师与学生之间的信息交流和反馈，使学生能深刻地领会和掌握所学的知识，并能将这种知识运用到实践中去。参与式教学根据学生的实际需要和愿望，以主体性为内核，以自觉性、选择性为特征。教学过程中，教师诚心诚意地把学生当作学习的主人，使他们切实感受到成为学习主人的真正乐趣和与老师、同学们共同探求知识的幸福。

2.2 主动式教学

主动式教学是在教师对全程教学内容框架熟练把握与掌控的前提下，给予学生主动参与教学的机会。具体而言，主动式教学模式下的教学任务是通过团队分工协作，搜集分析整理材料，编写授课文档和制作教学课件，参与课堂授课、自由问答和讨论来完成。主动式教学模式把获取知识本身的思考过程还给学生，而不是不经过思考直接从老师的口中得到现成的答案；给予学生大胆发表不同的见解提供平台和环境，锻炼学生的学习能力、表达能力，组织协调能力、现场应变能力等，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能力，在提高学生的综合素质的同时，可以让学生对所学的知识理解得更加深刻，并掌握得更加牢固。

3 命题公式自动求解真值表

命题公式的演算是数理逻辑中最为重要的内容，也是离散数学课程中最初就需要掌握的关键知识。命题演算中命题公式的归纳定义为：

（1）单个命题变元、命题常元（永真T、永假F）是命题公式；

（2）如果A是命题公式，那么⇁A是命题公式；

（3）如果A和B是命题公式，那么（A∧B）、（A∨B）、（A→B）和（A↔B）都是命题公式；

（4）当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词和括号的字符串是命题公式。

命题公式演算的基础实际上就是命题公式的真值表。当命题公式给定，其真值表也唯一确定，该命题公式的所有性质完全可以从其真值表上得到。为了便于学生们对命题公式真值表的理解，并熟悉由真值表判断命题公式所具有的特性，笔者设计出了自动求解任意命题公式真值表的小系统。图1和图2分别显示了命题公式的输入窗口和真值表的输出界面。学生们借助该系统，可以验证自己笔算的命题公式真值表是否完全正确，并可以借助自动生成的真值表，省去了大量的计算工作，可以快速地判断所输入的命题公式所具有的性质。

图1 命题公式输入界面

图2 命题公式真值表输出界面

4 命题公式永真蕴含的多种证明方法

命题公式的演算中最为核心的内容就是证明命题公式之间的永真蕴含。命题公式A永真蕴含命题公式B（A⇒B）定义为：它们用蕴含词连接成的复合命题“A→B”为永真式。为了让学生们深刻理解命题公式之间的永真蕴含关系，笔者引导学生们从多种不同角度分析存在永真蕴含关系的命题公式之间所具有的特性，从而得出命题公式永真蕴含关系的多种证明方法。例如：

（1）真值表法：直接根据永真蕴含的定义，计算复合命题“A→B”的真值表，看其真值在每种真值指派下是否全部为1；

（2）“左真推右真”法：根据蕴含词的特性，若蕴含词左边为假，则蕴含词为真，无需证明。因此，如果能够证明当蕴含词左边为真时，能够推出蕴含词的右边也为真，则可得出整个蕴含词为永真式；

（3）“右假推左假”法：根据蕴含词的特性，若蕴含词右边为真，则蕴含词为真，无需证明。因此，如果能够证明当蕴含词右边为假时，能够推出蕴含词的左边也为假，则可得出整个蕴含词为永真式；

（4）对偶原理：根据对偶原理：命题公式A和B的永真蕴含（A⇒B）等价于它们的对偶公式A＊和B＊的反方向永真蕴含（B＊⇒A＊）。因此，如果能够证明B＊⇒A＊，则根据对偶原理直接得到A⇒B；

（5）主析取范式法：由于每个命题公式都唯一地等价于某个特定的主析取范式，而主析取范式由若干个极小项的析取式组成，每一个极小项在真值表的唯一一行真值是1，其它行都为0，因此，若命题公式A和B的主析取范式中极小项的下标集合idx（A）和idx（B）存在被包含关系idx（A）⊆idx（B），则即可得证复合命题“A→B”的真值表恒为1，即有A⇒B。

5 集合公式的主范式

其实，学生们对集合的概念非常熟悉，在离散数学课程教学中，不应停留在学生们已经掌握的集合概念上。学生们已经知道集合是指若干个具有某种共同属性的元素组成的整体，笔者在引导学生们回顾集合概念的同时，重点阐明集合将全总个体域一分为二，一部分元素在集合内部，而其余元素都在集合外部。并引导学生们发现集合公式的各种运算（补、交、并、被包含于、相等）与各种命题连接词（否定、合取、析取、蕴含、等值）之间性质上面的相似性。

在学生们理解了集合公式的五种运算与五种命题连接词的对应关系后，引导学生们可以利用命题公式的演算方法进行集合公式的演算。例如：证明集合公式A和B的被包含关系（A⊆B）可以借鉴前面的命题公式的永真蕴含的证明方法。

在讲解集合公式的文氏图表示方法时，由于学生们已经比较熟悉文氏图了，因此重点阐述文氏图中每一小块的含义。事实上，文氏图中每一个集合所表示的圆将已有的所有区块一分为二，n个集合的文氏图中共有2n个小块区域，每一小块区域对应着所有集合（或集合的补）的某一种交。因此，笔者在教学的时候，引导学生们把文氏图的小块区域同命题公式的极小项联系起来，每个小区块对应着集合公式的某一个“极小项”，任何一个集合公式都可唯一地等于若干个这种“极小项”的并，即集合公式的主范式。由此可以借助集合公式的主范式来进行集合公式的演算。例如：证明复杂的两个集合公式A和B相等可以转化为求A和B的主范式是否相同。证明复杂的两个集合公式A和B的被包含关系（A⊆B）可以转化为求解A和B主范式中“极小项”的下标集合idx（A）和idx（B）是否存在被包含关系idx（A）⊆idx（B）。

6 结语

笔者通过尝试新的参与式与主动式教学模式，让学生积极地参与到离散数学的教学中。通过自动求解命题公式真值表系统让学生可以避开繁琐的计算，快速地发现命题公式所具有的特性。引导学生从多个不同角度发现存在永真蕴含关系的命题公式之间的特性，并总结出命题公式永真蕴含的多种证明方法。引导学生发现集合公式演算与命题公式演算中的一致性与对应关系，并得出集合公式的主范式与一般求解方法。在离散数学的教学中，引入多种教学方式与自动求解真值表系统等辅助教学工具，激发了学生的兴趣，凝聚了学生的注意力，学生可以从中获得具体生动的印象，使学生更易于理解和掌握其中的理论知识和方法，极大地提高了教学效率。

［1］方世昌.离散数学［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2009.

［2］顾华.离散数学课程中研究性教学的探索与实践［J］.高教论坛，2012（7）：25－28.

［3］赵佳，刘吉强.离散数学中的数理逻辑与集合论教学［J］.计算机教育，2012（3）：91－93.

［4］杨海蓉.大学数学课程中等价关系的教与学［J］.合肥师范学院学报，2011，29（3）：18－21.

［5］徐德智，施荣华，彭军.基于主动学习的“离散数学”课堂教学［J］.计算机教育，2012（6）：51－53.