一种基于最大后验概率与图像局部统计量的磁共振图像去噪模型

王 洋, 左 平

(1. 吉林大学 公共计算机教学与研究中心, 长春 130012; 2. 吉林大学 计算机科学与技术学院, 长春 130012; 3. 空军航空大学 基础部, 长春 130022)

磁共振成像(magnetic resonance imaging, MRI)是根据生物体磁性核(氢核)在静磁场中所表现的共振特性进行成像的技术. 与其他医学成像方法相比, MRI具有无放射线损伤、 可采用多种参数成像并能反映器官或组织的生化特征等优点. 但由于成像机制的限制, 磁共振图像通常呈现较大的噪声伪影, 导致图像细节信息模糊, 对比度较差, 为图像的正确识别与分析带来困难. 因此, 图像去噪成为磁共振图像达到理想效果的重要方法.

基于统计的磁共振图像去噪算法[1]通过极大似然估计达到去噪目的; 基于各向异性扩散方程的去噪方法[2]在滤除磁共振图像噪声的同时可较好地保护图像边缘; Bao等[3]提出的利用多尺度积进行小波阈值去噪方法[3]较好地保护了图像的细节信息; 基于非局部均值的方法[4]应用于磁共振图像去噪, 主要通过计算像素块内像素点的权值, 得到当前像素点的估计值, 实验结果表明, 该算法取得了很好的去噪效果.

本文通过分析全变分去噪模型与Bayes框架下图像去噪模型的等价性, 根据磁共振图像的噪声统计特性, 提出一种基于最大后验估计的全变分去噪模型. 为了解决磁共振图像灰度均匀性差, 且存在Parial Volume (PV)效应的问题, 将瞬时变化系数引入到变分模型中, 同时给出了模型的数值解法. 实验结果验证了算法的有效性.

1 ROF模型与Bayes框架下图像去噪模型的等价性

基于全变差的ROF模型[5]如下:

(1)

其中:Ω表示图像区域; 函数f(x):Ω→R表示给定的图像, 且假设图像被方差为σ的高斯噪声污染;λ≥0为Lagrange乘子. 模型(1)由两项构成: 第一项是对图像能量的估计, 具有平滑图像、 滤除噪声和保护边缘的作用, 一般称为正则项; 第二项反映了被恢复图像u与含噪图像f之间的相似程度, 具有约束去噪后图像与原始图像差别不大的作用, 也称为保真项.λ具有平衡第一项与第二项的作用, 随着λ的增大, 由问题求出的u逐渐接近f.

假设未知图像u的先验概率为P(u), 给定观测图像f时u的条件概率为P(u|f), 则在给定f时,u的最大后验估计(maximum a posteriori, MAP)为

根据Bayes定理, 有

(2)

若假设f=u+n, 其中n为方差为σ的高斯噪声, 且u的先验分布为

则

(3)

2 基于最大后验概率与图像局部统计量的MRI图像去噪算法

2.1 图像的局部统计量

(4)

2u2=2+2u2u.

(5)

在离散的情况下, 式(5)可以表示为

(6)

其中:

1ui,j,k=(ui,j,k-ui-1,j,k,ui,j,k-ui,j-1,k,ui,j,k-ui,j,k-1);

(7)

(8)

取

将其代入方程(4), 得

(9)

从而得到瞬时变化系数

(10)

2.2 基于最大后验概率与图像局部统计量的去噪模型

MRI图像中的噪声为Rician噪声, 记u为原始图像,f为受Rician噪声污染的MRI图像, 则

(11)

其中I0为第一类修正Bessel函数. 则

(12)

由上面的分析可知, 基于最大后验概率与图像局部统计量的MRI图像去噪模型为

(13)

其中C为图像瞬时变化系数. 为了避免当|u|=0时引起的奇异性, 考虑F(u)的逼近泛函:

(14)

根据Euler-Lagrange方程可得

(15)

定义

(16)

(17)

则可得方程(15)的离散形式:

3 数值实验

下面从视觉效果与定量分析结果两方面, 对所提出的基于变分模型的Rician噪声滤除算法(Rician noise filter based on variational model, RNFVM)进行对比研究, 模型参数λ=1.6×10-5. 实验所用的MRI图像来源于文献[6], 分别模拟了T1-weighted, T2-weighted两种成像形态, 并分别向数据的实部和虚部中加入强度为1%,3%,5%,7%和9%的零均值高斯噪声. 实验选用当前3种比较有效的基于变分模型的MRI图像去噪算法进行比较, 模型参数均根据各算法选取, 比较算法如下:

1) ROF模型[5], 简称ROF, 参数λ=2.5×10-5;

2) 带有Rician相似项的变分模型[7], 简称VMRLT算法, 参数λ=3.2×10-5;

3) 针对Rician噪声去除的基于二阶泛化全变分模型的去噪算法[8], 简称SOTGV算法, 参数λ=1.9×10-5.

MRI图像去噪效果的客观评价采用均方误差(MSE)、 结构相似性指数(SSIM)[9]和算法运行时间t作为衡量指标. 表1列出了不同算法对T1-weighted MRI图像在不同噪声水平下的去噪结果. 由表1可见, 本文算法具有较低的MSE值、 较高的SSIM值和适中的算法运行时间, 表明本文算法的去噪性能好于其他算法.

表1 不同算法对T1-weighted MRI图像的去噪结果

图1为算法在含有5%噪声水平下T1-weighted MRI图像上的实验结果. 由图1可见: ROF算法去噪图像中的脑白质边缘部分细节被过平滑了; VMRLT算法与SOTGV算法的去噪结果中仍存在噪声; RNFVM算法在滤除噪声的同时并未破坏磁共振图像中的细节部分.

图1 T1-weighted MRI图像上的实验结果Fig.1 Denoising results of T1-weighted MRI

图2为算法在含有7%噪声水平下T2-weighted MRI图像上的实验结果. 由图2可见: ROF算法的去噪结果中仍包含噪声; VMRLT算法的去噪效果虽然很好, 但去噪后图像的对比度降低了; SOTGV算法的去噪结果与RNFVM算法的去噪结果相比, 损失了部分细节信息.

图2 T2-weighted MRI图像上的实验结果Fig.2 Denoising results of T2-weighted MRI

综上, 本文根据MRI图像Rician噪声的特点, 提出了一种基于最大后验概率的变分去噪模型. 针对磁共振图像灰度值分布不均匀的问题, 将刻画图像局部统计量的瞬时变化系数引入到变分模型中, 并给出了模型的数值解法. 实验结果表明, 该算法克服了原有方法的不足, 在有效抑制图像噪声的同时较好地保留了磁共振图像的边缘和纹理等细节信息.

[1] Sijbers J, Dekker A J, den. Maximum Likelihood Estimation of Signal Amplitude and Noise Variance from MR Data [J]. Society of Magnetic Resonance in Medicine, 2004, 51(3): 586-594.

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