Josephson结阵列中的超混沌控制

冯 玉 玲

(长春理工大学 理学院,长春 130022)

Josephson结广泛应用于制备工艺和超导材料等领域[1],文献[2-3]在电阻电容分路的Josephson结(RCSJJ)模型[4-5]基础上,提出了电阻电容电感分路的Josephson结(RCLSJJ)模型;文献[6-11]研究了RCLSJJ模型的动力学特性;文献[12-13]利用Josephson结阵列获得了较大的输出功率;文献[14]用电阻分路结模型研究了Josephson结阵列系统中的自同步；文献[15]数值研究了由电阻分路结组成阵列中的时空混沌；文献[16]研究了由电阻分路结组成阵列中的绝热混沌；文献[17]数值研究了电阻电容分路结组成的阵列.本文研究由RCLSJJ组成阵列中的超混沌控制,根据周期信号干扰法[18],通过在原来直流偏置电流中增加交变电流,实现该阵列系统中的超混沌控制.

图1 Josephson结阵列结构示意图Fig.1 Schematic diagram of Josephson junction array

1 Josephson结阵列模型

本文研究的阵列包含2个RCLSJJ,如图1所示,其中R为耦合电阻,Idc为直流电流源.根据Kirchhoff定律和Josephson方程,当忽略噪声时,图1所示阵列的动力学方程[3]为

(1)

其中:n=1,2表示阵列中2个Josephson结的序号;γn和Vn分别为第n个Josephson结的超导序参量相位差和结电压；ħ为Planck常数;e为电子电荷;ICn,RVn,Cn分别为第n个Josephson结的临界电流、非线性电阻和结电容；Rsn,Ln,Isn分别是第n个Josephson结的分路电阻、分路电感和分路电流；IR为流过电阻R的电流.

本文设计的阵列中2个结对应参数相等,即IC1=IC2=IC0,R1=R2=R0,C1=C2=C0,Rs1=Rs2=R0,L1=L2=L0.因此方程组(1)的无量纲形式为:

(2)

2 Josephson结阵列系统中的超混沌

图2 阵列电压υ1+υ2的时间序列(A)及对应的功率谱(B)Fig.2 Time series (A) and corresponding power spectra (B) of array voltage υ1+υ2

由图2(A)可见,电压波形随机变化,即非周期性变化；由图2(B)可见,其功率谱为宽带背景噪声,因此阵列系统处于混沌状态.用Wolf方法[19]计算与图2对应的阵列Lyapunov指数谱,结果为(0.089 0,0.018 9,-0.007 1,-0.017 3,-0.682 8,-0.711 7),其中两个是正的,表明阵列系统处于超混沌状态.

3 Josephson结阵列中超混沌控制的实现

3.1 超混沌控制方案

本文利用弱周期干扰法[18]将外部交变电流作为一个周期干扰信号加到图1原来的直流偏置电流中,此时方程组(1)的第一个方程变为

其中:Idc为原来的直流偏置电流；Iac和ωt分别为后加作为周期干扰信号外部交变电流的幅值和角频率,该干扰信号的归一化强度和频率分别为m=Iac/IC0和f=ωt/ωc.

因此被控制后阵列系统的归一化动力学方程为

(3)

3.2 超混沌控制的数值模拟和分析

本文分两种情况研究阵列系统的超混沌控制.先以参数m作为控制参数,取参数f=0.28,其他参数值与图2参数值相同,数值求解方程组(3),所得阵列系统的Lyapunov指数λ1和λ2及电压分岔图如图3所示.

图3 随m变化的Lyapunov指数λ1和λ2(A)、阵列分岔图(B)及阵列中2个单结的分岔图(C),(D)Fig.3 Lyapunov exponents λ1 and λ2 versus m (A),bifurcation diagram of the array versus m (B) and the bifurcation diagrams of the first and second individual junctiona versus m (C),(D)

由图3(A)可见,在0.17

为了展示控制超混沌的效果,根据图3,分别取m=0.37,1.0,1.67,其他参数值和图3参数值相同,数值求解方程组(3),得到阵列电压的时间序列,如图4所示,其中(A)～(C)分别表示该阵列处于4,5,6周期状态.由图4可见,通过适当调节干扰信号强度m值,即可将图2所示的阵列超混沌态控制进入具有不同周期数的不同周期状态.

图4 参数m取不同值时阵列电压的时间序列Fig.4 Time series of the array voltage with different m values

为了阐明图4中3个周期状态的振荡性质,本文给出了与其对应阵列中2个单结间的相位关系,如图5(A)所示.由图5(A)可见,3个周期状态均有γ1(τ)=γ2(τ),即同相位状态[20].图5(B)～(D)分别给出了和图4(A)～(C)对应的2个单结及阵列电压的时间序列.由图5(B)～(D)可见,2个单结电压振荡波形与阵列电压的振荡波形同步变化,阵列电压的幅值是2个单结电压幅值的和.因此弱周期干扰法控制阵列中的超混沌可使其进入同相位的周期状态,从而使阵列周期状态的输出功率增加.

图5 2个单结的相位关系(A)及与图4(A)～(C)对应阵列和单结电压的时间序列(B)～(D)Fig.5 Phase relationship (A) between two individual junctions time series (B)～(D) of the voltage of the array and indiviual junctions in the three states mentioned in Fig.4 (A)～(C)

再以干扰信号的频率f作为控制参数,取干扰信号的强度m=0.7,其他参数值与图2参数值相同,数值求解方程组(3),得到阵列系统的Lyapunov指数λ1和λ2及分岔图,如图6所示.由图6(A)可见,在0.150 1

图6 随f变化Lyapunov指数λ1 和λ2 (A)、阵列分岔图(B)及2个单结的分岔图(C),(D)Fig.6 Lyapunov exponents λ1 和λ2 versus f (A),bifurcation diagram of the array versus f (B), and the bifurcation diagrams (C),(D) of the first and second individual junctions versus f

为说明该阵列系统能被控制进入具有不同周期数的同相位周期状态,根据图6(B)～(D),分别取f=0.4,0.56,1.0,对应阵列电压的时间序列如图7所示,其中图7(A)～(C)分别表示该阵列系统处于4,3,2周期状态.由图7可见,通过适当选取干扰信号频率f值,即可控制阵列系统中的超混沌态,使其进入具有不同周期数的不同周期状态.

图7 阵列电压在不同f值时不同周期状态的时间序列Fig.7 Time series of the array voltage in different periodic states with diferent f values

为了讨论图7中3种周期状态的振荡性质,本文计算了与其对应阵列中2个单结的相位关系,结果均为γ1(τ)=γ2(τ),即同相位状态[20],因此图7所示的3种周期状态均为同相位周期状态.

综上,本文对于由2个RCLSJJ和耦合电阻构成的阵列,在选择参数范围内给出了其超混沌行为.根据弱周期信号干扰理论提出了控制该阵列系统的超混沌方案.数值结果表明,该方案可有效控制阵列系统中的超混沌,使其进入稳定的周期状态,通过适当调节干扰信号的幅值和频率即可将阵列控制在不同的周期状态,且均为同相位周期状态,从而增大了阵列周期振荡的输出功率.

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