Mathematica软件在多元函数微分学中的应用

辛春元

（辽宁对外经贸学院，辽宁 大连 116052）

一、Mathematica软件在多元函数微分学中的基本命令[1]

1 Mathematica软件计算的基本命令

D[f,var](求函数f对自变量var的偏导数)；

D[f,X1，X2，…](求函数 f对自变量 X1，X2，…的混合偏导数)；

D[f,{X1，n1},{X2，n2},…](求函数 f对自变量 X1，X2，…的n1,n2,…阶混合偏导数).

Dt[f]求f的全微分；

Dt[f，var]求 f对自变量 var的全微分,其中f的各元都是var的函数；

SetAttributes[c,Constant]声明c是常数.

2 Mathematica软件绘制图形的基本命令

Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},options](绘制三维图形的函数)；

ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}](绘制参数方程图形的函数)；

ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]（在平面上作二元函数的等高线）.

二、Mathematica软件在多元函数微分学中的应用

1 Mathematica软件的计算功能在多元函数微分学中的应用

解输入

则输出所求结果为

实例2设其中a是常数,求dz.[2]

解输入

则输出结果为

其中 Dt[x,Constants->{a}]就是 dx,Dt[y,Constants->{a}]就是dy.可以用代换命令“/.”把它们换掉.输入

则输出结果为

2.2 Mathematica软件的作图功能在多元函数微分学中的应用

实例3求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程,并画出图形.[3]

解 首先画出曲面的图形.

输入命令

则输出相应图形(图1).

图1

其次画出切平面的图形.输入命令

则输出切平面方程为及相应图形（图2）.

图2

最后画出法线的图形.输入命令

则输出相应图形(图3).

图3

解 输入命令

则输出相应图形（图4），其中

(1)u（x·y）的梯度与等高线图;

(2)v（x·y）的梯度与等高线图;

(3)u（x·y）与 v（x·y）的等高线图;

(4)u（x·y）与 v（x·y）的梯度图.

图4

从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线.事实上,有且它们满足拉普拉斯方程

实例5设作出的图形和等高线,再作出它的梯度向量gradf的图形.把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起,观察它们之间的关系.[2]

输入调用作向量场图形的软件包命令

输出为图8.从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的,且梯度的方向是指向函数值增大的方向。

三、小结

总之，利用Mathematica软件强大的计算功可以求多元函数偏导数、全微分、二元函数极值等等，利用Mathematica软件的作图功能能够直观的理解曲面的切平面、方向导数、梯度和等高线等概念，降低学习难度，提高解决实际问题的综合能力。

[1]丁大正.科学计算强档Mathematica4教程[M].北京：电子工业出版社 2002，3.

[2]吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社2012，6.

[3]章栋恩 许晓革.高等数学实验 [M].北京：高等教育出版社2004，7.