波浪漫滩边界对波浪数值计算的影响＊

杨家轩，朱首贤，李训强，张文静

（1.解放军理工大学 气象学院，江苏 南京211101；2.河海大学 港口海岸与近海工程学院，江苏 南京210098）

在海滩上，波浪向岸传播时，水陆分界线随波峰向岸推进、随波谷向海回退，在一个波动周期中滩地出现被海水淹没和露出水面的过程，这就是波浪漫滩或者称为波浪爬高、波浪上爬，英文称为“swash”［1-3］。波浪漫滩的时间尺度一般为几秒至几十秒，漫滩范围为几米至几十米，它是一种小尺度运动。波浪漫滩对海岸工程和军事活动都有影响，尤其是波浪漫滩区泥沙运动活跃，它是近岸泥沙侵蚀、搬运和地貌演变的重要机制［2-3］。目前对波浪漫滩区水动力及泥沙运动有很多研究［1-3］，而波浪漫滩对邻近区域水动力和泥沙运动的影响研究不多。波浪漫滩数值计算对波浪数值模式采用的运动方程和数值方法有特殊要求，技术难度大。因此，在波浪数值计算中，大多数忽略了波浪漫滩现象。本文采用能够模拟波浪漫滩过程的Bousinessq方程波浪模式，通过数值模拟试验，分析波浪漫滩对波浪数值计算的影响。

1 模式介绍

本文采用的Bousinessq方程波浪模式是美国Delaware大学研制的Funwave模式［4］。Funwave模式采用完全非线性Bousinessq方程［5］：

式中，η是波面水位；h是静止水深；u，v分别是z=zα=-0.531 h深度水平速度在x，y方向的分量；下标t是对时间的偏导。γ从1到0代表了完全非线性和弱非线性的情况。U，V，E，E2，F，F1，F2，G，G1，G2，Ft，Gt是η，u，v，ut，vt的函数，定义为

目前，对于岸线移动边界的处理方法主要有干湿网格［6-8］和窄缝法［9-10］，Funwave模式采用后者。窄缝法把整个计算区域作为具有窄缝或可渗透边界、可流入流出的活动型区域，将没有水或只有薄层水覆盖的固体底边界替换成可渗透的海床，或把固体海底假设具有窄缝，使得溢出的水位不会超过海滩高程［11］。方程（6）的κ、Λ 描述窄逢法的波浪漫滩对波浪运动的影响：

式中，κ是单位宽度海滩上的窄缝宽；δ是最小缝宽；λ是窄缝的形状参数，使窄缝宽从1到δ光滑变化；h0是窄缝起始的水深值。Λ 是考虑窄缝影响后的等效水深，也被称为化引水深［12］。z＊如果取为当地陆地高程，Madsen等［10］对Carrier和Greenspan［13］的理论模型进行数值模拟，发现数值模拟的最大波浪爬高与理论解存在10%的误差。Kennedy等［14］认为这是因为波浪上爬时首先要填满窄缝，从而引起水体质量损失。波浪经过窄缝时，为了保持总的水体质量和没有窄缝时的水体质量相等，Funwave模式的z＊表达式为

式中，zS定义为陆地高程。

在波浪数值计算中波浪漫滩边界也经常被简单处理为固壁边界。Funwave模式提供了固壁边界数值方法，其边界条件为在固壁处法向流速为0。

2 波浪漫滩对波浪数值计算影响的波浪水槽实验模拟检验

Mase和Kirby设计了一个随机波在倾斜地形上传播的波浪水槽实验。图1是波浪水槽实验的地形设置，左边水深为47cm，右边是坡度为1∶20的斜坡，从造波区到斜坡底部的距离为10m。设置了12个测点，这些测点的水深分别为47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5cm，后11个测点位于斜坡上。

图1 波浪水槽实验示意图Fig.1 A sketch map showing wave flume experiment

本文采用Funwave模式对Mase和Kirby的波浪水槽实验进行数值模拟。数值模式的网格距离为0.025m，地形配置与波浪水槽实验完全相同，波浪水槽的造波区设置为数值模式的波浪入射边界，由造波数据提供入射边界水位，在斜坡上设置了漫滩边界。由静止状态开始计算波浪运动，模式运行20s后，波面呈现很有规律的变化，波高基本稳定，将数值模式运行20～40s的波面水位模拟数据与观测数据比较。图2给出了斜坡上11个测点的波面水位模拟数据与观测数据的比较情况。从图2可以看出，数值模拟结果与观测数据基本吻合。

图2 漫滩边界条件的波浪模拟结果与水槽实验结果比较Fig.2 Comparison between the results simulated using the swashing boundary condition（dashed line）and the results from the flume experiments（solid line）

本文还将数值模式的漫滩边界条件改为固壁边界条件，对Mase和Kirby的波浪水槽实验进行数值模拟。固壁边界设置在0.01m 水深位置。水深比较大的测点，固壁边界条件的波面水位模拟数据与观测数据的比较情况与图3类似，模拟结果与观测数据基本吻合。但是水深很小的测点，固壁边界条件的波面水位模拟数据与观测数据的比较情况与图2有明显区别，图3给出了水深为7.5，5，2.5cm 的3个测点的模拟数据与观测数据。图2中，水深为7.5，5，2.5cm 的3个测点，波面水位模拟数据与观测数据的平均绝对误差分别为0.009 4，0.008 3，0.007 3cm，平均绝对误差与平均观测波高之比分别为0.188 5，0.204 1，0.257 7。图3中，水深为7.5，5，2.5cm 的3个测点，波面水位模拟数据与观测数据的平均绝对误差分别为0.010 5，0.009 5，0.008 1cm，平均绝对误差与平均观测波高之比分别为0.211 1，0.234 4，0.283 3。图2中2.5cm水深测点，观测数据的波数为21个，模拟数据的个别波峰波谷差异不明显，波峰波谷差异明显的波数为20个，两者波数基本相符。图3中2.5cm 水深测点，模拟数据比观测数据多出一些小波，模拟数据的波数为30个，可能是固壁边界条件的反射波导致波数增加。

图3 固壁边界条件的波浪模拟结果与水槽实验比较Fig.3 Comparison between the results simulated using the wall boundary condition（dashed line）and the results from the flume experiments（solid line）

波浪漫滩和固壁边界条件模拟的水质点运动也有明显差异。在波浪漫滩边界条件的模拟结果中取水槽中轴线的部分时测水质点速度，绘制矢量图（图4）。

从图4a可以看出，在0m 水深附近存在明显的波浪漫滩现象，斜坡上存在交替被水体淹没和露出水面的波浪漫滩区，波浪漫滩区的宽度达0.375m。同样，在固壁边界条件的模拟结果中取水槽中轴线的部分时测水质点速度，绘制矢量图（图4b）。图4b不存在波浪漫滩现象。进一步比较图4a和图4b，两者不仅存在波浪漫滩的差异，在波浪漫滩的邻近区域水质点速度也有差异。在漫滩边界条件下，水质点运动很有规律，水位上涨时，水流基本上都向岸，被水体淹没的斜坡范围增大；水位下降时，水流基本上背离岸，露出水面的斜坡范围增大。在固壁边界条件下，水流方向比较杂乱。

综合上面的分析，波浪漫滩和固壁边界条件的波浪数值模拟结果有明显差异，其差异不仅体现在波浪漫滩区，还体现在波浪漫滩的邻近区域。两者与观测资料比较，波浪漫滩边界条件的波浪数值模拟结果更接近于观测资料。

图4 不同边界条件的水质点速度模拟结果Fig.4 The water particle velocities simulated under different conditions

3 不同地形坡度的波浪漫滩对波浪数值模拟的影响

一般而言，地形坡度对近岸波浪有很大影响，不同地形坡度的波浪漫滩也有差异。对于不同的地形坡度，波浪漫滩对波浪数值模拟的影响有何差异？这是实际波浪计算中需要考虑的问题。

上面波浪数值模拟的地形坡度为1∶20，本文将斜坡的地形坡度进一步取为1∶1，1∶5，1∶10，1∶30，1∶50，分别采用波浪漫滩和固壁边界条件进行波浪数值模拟试验。由于斜坡的地形坡度不同，水深分布有很大差异，为了讨论方便，各个试验的固壁边界统一设置在水深为0.01m 的位置。

在不同地形坡度的情况下，采用波浪漫滩边界条件模拟的波浪漫滩区宽度有很大差异。地形坡度为1∶1时，波浪漫滩区宽度不到一个网格。地形坡度为1∶5，1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的情况下，模拟的波浪漫滩区宽度分别为0.1，0.225，0.375，0.5，0.725m。

取各个试验水深为47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5cm 点的20～40s平均波面水位模拟数据，分析波浪漫滩和固壁边界条件的数值模拟结果差异。在地形坡度为1∶1情况下，计算两种边界条件波面水位数值结果的绝对差值，其结果见图5a，图中网格起始位置为造波源位置，即地形斜坡起始点前2.5 m 处。图5b～f对应的地形坡度分别为1∶5，1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的情况下，其含义与图5a类似。

由图5a可以看出，当地形坡度为1∶1时，固壁和漫滩边界条件模拟的波面水位差很小。当地形坡度达到1∶5时，图5b中两者模拟的波面水位差值在0.01cm 左右，有比较明显的差异。从图5c～f可以看出，地形坡度为1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的数值模拟试验，固壁和波浪漫滩边界条件模拟的波面水位差都小于0.01cm，而且随着地形坡度减小，两者模拟的波面水位差也减小，当地形坡度为1∶50时，两者模拟的波面水位差小于0.005cm。从图5c～f还可以看出，固壁和波浪漫滩边界条件模拟的波面水位差在边界附近大，随着离岸距离增大而减小。

图5 不同地形坡度情况下固壁与漫滩边界条件模拟的波面水位差Fig.5 The water level differences simulated using both the wall boundary and the swashing boundary conditions under the case of different terrain slopes

4 结 语

本文分别采用波浪漫滩和固壁边界条件，对波浪水槽实验的波浪数值模拟分析表明：波浪漫滩边界条件不仅是波浪漫滩区水动力研究的需要，而且它对邻近区域波浪数值计算也有明显的影响，采用波浪漫滩边界条件还可以提高邻近区域波浪数值模拟精度。从本文对多种地形坡度的波浪数值模拟可以看出，波浪漫滩对邻近区域波浪数值计算的影响在多种地形坡度下都存在。当地形坡度很大时，波浪漫滩现象不明显，波浪漫滩对邻近区域波浪数值计算的影响不大；当地形坡度很小时，波浪在比较长的斜坡上传播，波动能量大幅衰减，波浪漫滩对邻近区域波浪数值计算的影响减小。本文主要基于国外学者的波浪水槽实验进行波浪数值模拟，所得到结论对实际海域波浪数值计算有参考价值。下一步拟针对实际海域更复杂的波浪情况进行模拟检验，更深入地定量分析波浪漫滩对波浪计算的影响。

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