基于区间值相似度的直觉区间值模糊推理

孙晓玲, 王 宁

(合肥师范学院 数学系, 安徽 合肥 230601)

基于区间值相似度的直觉区间值模糊推理

孙晓玲, 王 宁

(合肥师范学院 数学系, 安徽 合肥 230601)

直觉区间值模糊集具有比直觉模糊集更强大的模糊信息表达能力并且其直觉区间值隶属度和非隶属度的值较易确定.文章利用直觉区间值模糊集进行模糊推理.根据直觉区间值隶属度和非隶属度的值给出直觉区间值模糊集之间相似度和加权总体相似度的计算方法.根据该计算方法给出直觉区间值模糊集上的模糊推理算法.最后通过算例说明所给出的推理算法更符合实际需要,可操作性强,便于应用.

直觉区间值; 直觉区间值模糊集; 区间值相似度; 模糊推理

0 引言

自从Atanassov定义了一种新的模糊集(直觉模糊集)以来,直觉模糊集理论得到了快速的发展,继模糊集理论之后,Zadeh又提出的区间值模糊集的概念,该概念出现的背景是在许多实际应用中,所获取的数据往往不是精确的数值,可能是一个区间值.区间值模糊集最根本的特征是将模糊集中的隶属函数值用一个[0,1]上的闭子区间表示,即区间值模糊集A可以表示为A(x)=[A-(x),A+(x)]⊆[0,1].Atanassov所提出的直觉模糊集则用两个实数:隶属度和非隶属度来表示一个对象和一个给定集合之间的关系.直觉区间值模糊集是直觉模糊集与区间值模糊集概念的巧妙结合.它同时考虑了隶属度、非隶属度的信息.这使得直觉区间值模糊集在处理带有模糊性和不确定性问题时,更为灵活和实用.在决策分析、模式识别和模糊推理等领域,得到了广泛的应用[1-4].将直觉区间值模糊集用于模糊推理,其中关键的步骤就是采用怎样的相似度去度量两个集合的相似程度,本文首先给出计算直觉区间值模糊集之间的相似度计算公式,然后给出直觉区间值模糊集的模糊推理算法,通过该算法可以得到模糊推理的结果.

1 基本知识

直觉区间值模糊集是直觉模糊集的进一步扩展,具有更强的表达模糊数据和不确定数据的能力[4],下面看关于直觉区间值模糊集的一些基本概念.

定义1[2]给定论域X上的直觉区间值模糊集A,即为映射A:X→I,那么有

其中

X上直觉区间值模糊集合的全体记为DFS(X),其中

分别为隶属度区间、非隶属度区间、犹豫度区间.A也可以采用集合的表达方式:

若论域X={x1,x2,…,xn}是有限集合,那么X上的DFS(X)可以表示为

定义2 设直觉区间值模糊集A,B∈DFS(X),规定它们的序及并、交、补运算如下:

2)A=B⟺A⊆B,B⊆A;

下面是直觉区间值模糊集之间的度量的公理化定义:

定义3 称映射d:DFS(X)×DFS(X)→[0,1]为DFS(X)的一个距离测度,如果d满足下面的性质:

1)d(H,Hc)=1⟺H为分明集;

2)A=B⟺d(A,B)=0;

3) 对于任意的A,B∈DFS(X),d(A,B)=d(B,A);

4) 对于任意的A,B,H∈DFS(X),如果A⊆H⊆B或者B⊆H⊆A,则有d(A,H)≥d(A,B)且d(B,H)≥d(A,B).

定义4 称映射s:DFS(X)×DFS(X)→[0,1]为DFS(X)的一个相似度,如果s满足下面的性质:

1)s(H,Hc)=0⟺H为分明集;

2)A=B⟺s(A,B)=1;

3) 对于任意的A,B∈DFS(X),s(A,B)=s(B,A);

4) 对于任意的A,B,H∈DFS(X),如果A⊆H⊆B或者B⊆H⊆A,则s(A,H)≥s(A,B)且s(B,H)≥s(A,B)[2].

2 DFS(X)之间的相似性测度

我们将直觉区间值模糊集的相似度公式[5-6]进行改进得到下面直觉区间值模糊集上的相似度的计算方法.令

为论域X上的直觉区间值模糊集,其中

令

假设xi,xj是论域X中的两个元素,若A是论域X上的直觉区间值模糊集,其中

则A(xi)与A(xj)之间的相似度可以如下计算:

定义5 假设xi,xj是论域X中的两个元素,A(xi)和A(xj)是分别与xi,xj所对应的直觉区间值模糊集合,称A(xi)和A(xj)之间的相似程度为它们的相似度.

若令

(1)

(2)

则A(xi),A(xj)之间的相似度可以通过计算γ(xi)和γ(xj)之间的相似度得到,计算公式为:

(3)

根据该相似度的定义容易证明下面的定理:

定理2S(γ(xi),γ(xj))满足以下性质:

1) (自反性):S(γ(xi),γ(xi))=1;

2) (对称性):S(γ(xi),γ(xj))=S(γ(xj),γ(xi));

3) (传递性):若S(γ(xi),γ(xj))=1且S(γ(xj),γ(xk))=1.

则S(γ(xi),γ(xk))=1.即:如果γ(xi)和γ(xj)完全相似,γ(xj)和γ(xk)完全相似,则γ(xi)和γ(xk)完全相似.

若给定论域X={x1,x2,…,xn},A,B为论域X上的直觉区间值模糊集,假设

令

则A,B之间的相似度如定义6所述

定义6 直觉区间值模糊集A,B之间的相似度可以如下计算:

(4)

若论域X中的元素xi彼此不同,那就有必要考虑元素xi的权值,下面介绍考虑权值的直觉区间值模糊集A,B之间加权总体相似度的计算.

令论域X={x1,x2,…,xn}中的元素xi对应的权值为wi,wi∈[0,1],则直觉区间值模糊集A,B之间总体相似度的计算公式如下:

定义7 直觉区间值模糊集A,B之间总体相似度为

(5)

由于S(γA(xi),γB(xi))∈[0,1],因此SW(A,B)∈[0,1],并且SW(A,B)的值越大,直觉区间值模糊集合A,B就越相似.

例1 令论域X为X={x1,x2,x3,x4},A,B为直觉区间值模糊集合,其中

根据定义5中的式(1),可以得到:

γA(x1)=[0.2,0.45],γB(x1)=[0.23,0.43];γA(x2)=[0.4,0.75],γB(x2)=[0.4,0.7];

γA(x3)=[0,0.52],γB(x3)=[0.03,0.5];γA(x4)=[0.05,0.35],γB(x4)=[0.05,0.45].

再由定义5中S(γ(xi),γ(xj))的计算公式(3)可以得到

S(γA(x1),γB(x1))=0.8,S(γA(x2),γB(x2))=0.86,

S(γA(x3),γB(x3))=0.9,S(γA(x4),γB(x4))=0.75.

假设x1,x2,x3,x4的权值分别为0.5,0.8,0.3,0.7,那么根据(5)式直觉区间值模糊集合A,B的加权总体相似度为

3 基于加权总体相似度的直觉区间值模糊推理

直觉区间值模糊推理的最基本形式为:

其中A与A*是论域X={x1,x2,…,xn}上的直觉区间值模糊集,B与B*是论域Y={y1,y2,…,ym}上的直觉区间值模糊集,“→”为直觉区间值模糊蕴涵[5].接下来根据输入A*计算输出结果B*.假设

根据式(4),直觉区间值模糊集A,A*之间的相似度可以如下计算:

那么上面所给的MP问题的输出结果B*∈DFS(Y)可以如下计算:

4 多层直觉区间值模糊推理

若已知直觉区间值模糊推理的知识基中有以下n条直觉区间值模糊规则:

其中u,v为直觉区间值模糊集中的两个语言变量,X,Y分别为语言变量u,v所属的论域.

令X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},并假设Ak,A*∈DFS(X),Bk,B*∈DFS(Y) (k=1,2,…,n).

若输入A*∈DFS(X),那么我们接下来需考虑根据直觉区间值模糊集之间的加权相似度应该如何计算输出结果B*∈DFS(Y).具体推理步骤如下:

步骤1 首先计算S(A1,A*),S(A2,A*),…,S(An,A*);

步骤2 根据xi的权重以及公式(5)计算加权总体相似度为

(6)

对任意的yj∈Y(j=1,2,…,m),有

例2 考虑下面的直觉区间值模糊推理模型,模型中有两条直觉区间值模糊推理规则:

R1:uisA1→visB1;R2:uisA2→visB2

其中u,v为直觉区间值模糊规则中的两个语言变量,X,Y分别为语言变量u,v所属的论域.假设输入为A*,下面来计算输出结果B*.令X={x1,x2,x3},Y={y1,y2,y3,y4},并假设Ak,A*∈DFS(X),Bk,B*∈DFS(Y)(k=1,2).假设

由式(1)可知

γA1(x1)=[0.3,0.55],γA1(x2)=[0,0.35],γA1(x3)=[0.35,0.8];

γA2(x1)=[0.26,0.6],γA2(x2)=[0,0.33],γA2(x3)=[0.32,0.8];

γA*(x1)=[0.3,0.6],γA*(x2)=[0,0.3],γA*(x3)=[0.3,0.8].

由式(3),可得

S(γA1(x1),γA*(x1))=0.83,S(γA1(x2),γA*(x2))=0.86,

S(γA1(x3),γA*(x3))=0.9,S(γA2(x1),γA*(x1))=0.88,

S(γA2(x2),γA*(x2))=0.91,S(γA2(x3),γA*(x3))=0.96.

假设x1,x2,x3的权值分别是0.4,0.6,0.8,根据(5)式,可算出A1与A*以及A1与A*之间的加权总体相似性测度:

再根据式(6),得到

5 结论

直觉区间值模糊集作为直觉模糊集的扩展,具有很强的表达模糊数据和不确定数据的能力,由于直觉区间值模糊集本身所具有的特点,使得它在应用领域具有广阔的发展前景,在模糊推理的应用中也受到普遍的关注.

本文在文献[5-6]所定义的相似度的基础上利用直觉区间值模糊集中的隶属度和非隶属度的值给出了度量直觉区间值模糊集之间的相似度和加权总体相似度的简洁公式.给出了直觉区间值模糊集上的模糊推理方法,并举例说明其应用.

[1] 张振华, 杨静宇, 叶有培, 等. 变参数区间值直觉模糊集在模式识别中的应用[J]. 2011, 47(29):4-7.

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[6] 许瑞丽, 徐泽水. 区间数相似度研究. 数学的实践与认识[J].2007, 37(24):1-8.

IntuitionisticIntervalValueFuzzyReasoningBasedonIntervalValueSimilarityMeasure

SUN Xiao-ling, WANG Ning

(Department of Mathematics, Hefei Normal University, Hefei Anhui 230601, China)

Intuitionistic interval valued fuzzy set has more powerful ability to represent fuzzy information than intuitionistic fuzzy sets and the intuitionistic interval-valued membership and non membership value of which is easy to determine. The intuitionistic interval valued fuzzy set is used to fuzzy inference in the paper. According to the intuitionistic interval valued membership and non membership value, a calculation method of similarity measure and weighted overall similarity between intuitionistic interval valued fuzzy set is proposed. Based on this calculation method, a fuzzy reasoning algorithm on the intuitionistic interval valued fuzzy set is introduced. Finally, an example is illustrated to show the proposed reasoning algorithm is more consistent with the actual needs, strong operability and convenient for application

intuitionistic interval value; intuitionistic interval valued fuzzy set; interval value similarity measure; fuzzy reasoning

2013-02-20

孙晓玲(1977-), 女, 安徽合肥人, 讲师, 硕士, 研究方向为不确定性模糊推理．

TP18; O159

A

1671-6876(2013)02-0099-07

[责任编辑李春红]