具有阶段结构的捕食－食饵模型的定性分析

姚若飞，李艳玲

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710062）

文献［1－3］讨论了捕食者具有阶段性结构的捕食与被捕食模型

其中x（t）、y1（t）、y2（t）分别表示在时刻t食饵的种群密度、不成熟的和成熟的天敌种群密度．他们讨论了该常微分系统的一致持久性、正平衡态的存在性，及一定条件下的全局渐近稳定性和周期解的存在性与稳定性．

考虑到实际问题中种群密度与地域具有一定关系，因此本文讨论如下的反应扩散模型：

及初值条件

其中u0、v0、w0∈C2（Ω）∩C（¯Ω）．这里Ω是Rn中的一个光滑区域，u（t，x）、v（t，x）、w（t，x）分别表示在时刻t、位置x处食饵的种群密度、不成熟的和成熟的天敌种群密度，v表示边界∂Ω上的单位外法向量，d11、d22、d33＞0是扩散系数，r、a、b、m、k、D、d1、d2都为正常数．

为方便讨论稳态解问题，记d11＝d22＝d33＝d，这实际上也是各个参数的一个转化，于是得到

容易计算，系统（1）有一个平凡的常数稳态解U0（0，0，0）和一个半平凡的常数稳态解U1（r／a，0，0），另外当满足条件时，系统（1）还有一个正的常数稳态解U＊（u＊，v＊，w＊），这里

1 整体解的存在性和全局稳定性

初边值问题（1）－（2）的解是局部存在唯一的［4］，这里只讨论整体解的存在性．注意到两类捕食者之间是互惠关系［5］，因此对v、w的方程，方程组比较原理是成立的，于是有如下两个结论：

定理1 设（u，v，w）∈C2（［0，T）ׯΩ，R3）是系统（1）－（2）的一个解，那么（u，v，w）是非负的，并且有一个至多是T的指数函数的上界．

定理2 设d2（D＋d1）（a＋mr）＞kbrD．如果（u，v，w）∈C2（［0，∞）ׯΩ，R3）是系统（1）－（2）的一个正解，则对x一致地有

定理1和定理2的证明 易知［0，＋∞）3是系统（1）的一个不变区域，故（u，v，w）非负，并且当且仅当u0≢0时，u＞0，∀t＞0，x∈¯Ω；当且仅当v0≢0或w0≢0时，v、w＞0，∀t＞0，x∈¯Ω．下面讨论正解情形，设U（t）是常微分系统

的解，那么当t→＋∞时，U（t）→r／a．对比u的方程，利用单个方程的比较原理知

从而u有界．注意到bu／（1＋mu）＜b／m，令（V（t）、W（t））是线性常微分系统

的解，于是（V（t），W（t））至多指数增长．因为（v，w）的方程是互惠的，由方程组的比较原理得

所以，（u，v，w）有界并且有一个至多是T的指数函数的上界，从而系统（1）－（2）的解是整体存在的．

在定理2的条件下，存在R＞r，使d2（D＋d1）（a＋mR）＞kbRD．并且对x一致地有

取T1＞0使得当t≥T1时，u（t，x）≤R／a．构造（V（t），W（t））如（6），初值为T1时刻代替，则由R的取法知（V（t），W（t））指数收敛于（0，0）．从而由比较原理可知，v（t，x）≤V（t），w（t，x）≤W（t），t≥T1，x∈¯Ω．于是

对任意的ε∈（0，r／ab），取T2＞T1，使得当t≥T2时v（t，x）＜aε．令u～（t）如下：

因为bwu／（1＋mu）≥abεu（当t≥T2时），利用u的方程及比较原理，得

注意到u～（t）→r／a－bε，及（7）－（9）和ε的任意性知定理2的结论成立．

2 正解的先验估计和非常数正解的不存在性

本节应用一个与最大值原理有关的引理，讨论正解的估计，利用这个估计和能量积分方法得到一个非常数正解的不存在性结果．

引理1［6］设F（x，w）∈C（¯Ω×R1）．若w∈C2（Ω）∩C1（¯Ω）满足

如果w（x0，那么F（x0，w（x0））≥0．

定理3 设（u，v，w）是系统（3）的一个正解，则0＜u＜r／a，0＜v＜K，0＜w＜K，x∈¯Ω．

其中K是一个与m、b、d无关的正常数．

令V＝ku＋v，则它满足

于是得到

定理4 存在一个仅依赖r、a、b、k、D、d1、d2、Ω的正常数D，使得当d＞D时，系统（3）的正解一定为正常数．

证明 若φ∈L1（Ω），记ˉφ＝∫Ωφ（x）dx／｜Ω｜和φ＝φ－ˉφ．令n（u）＝u（r－au），f（u，w）＝buw／（1＋mu）．如果（u，v，w）是系统（3）的一个正解．对（3）中3个方程分别乘以u、v、w后，再在Ω 上积分，利用Green公式，得

注意到n（u）－n（u）＝g1u，f（u，w）＋f（ˉu，ˉw）＝g2u＋g3w，这里g1、g2、g3都是函数且有不依赖于m和d的上界（已用到定理3），那么

结合Poincar˙e不等式

∫Ω｜φ－ˉφ｜2dx≤CΩ∫Ω｜▽φ｜2dx，∀φ∈W1，2（Ω）和Young不等式，得

上式表明，当d＞CΩK1（K1不依赖于m和d）时，u＝v＝w＝0，即u、v、w都是常函数．

3 常数稳态解处的局部分歧

本节讨论系统（3）在3个常数平衡态的局部分歧，其主要是验证局部分歧定理（文献［8］中定理13．5）中的3个条件成立．

设0＝λ0＜λ1≤λ2≤…→＋∞是－Δψ＝λψ，x∈Ω，∂vψ＝0，x∈∂Ω （10）的所有特征值，相对应的单位正交化的特征函数依次为ψ0，ψ1，ψ2，…．ψ0是主特征函数，为正函数，其他特征函数均变号．

Hilbert空间［L2（Ω）］3具有内积〈U，V〉＝，U＝（u1，u2，u3）T，V＝（v1，v2，v3）T，以后讨论中出现垂直（符号为⊥）的概念就是在这种意义下的．记

它们在通常的范数意义下都是Banach空间．设U＝（u，v，w），

定义光滑算子F：R＋×X→Y为F（d，U）＝dΔU＋f（U）．那么系统（3）转化成

则FU（d，U）＝dIΔ＋H（U）：X→Y，FdU（d，U）＝IΔ：X→Y，其中

先计算算子L＝IΔ＋H：X→Y的一些性质（H是实矩阵，HT表示H的转置）．设U∈Ker（L），并记于是有

上述的求和实际上是有限和，而R（L）＝｛f∈Y：f⊥Ker（L＊）｝，L＊＝IΔ＋HT，故

由此，Ker（L）∩R（L）＝ ｛0｝的充要条件是对每一个i，λi（关于矩阵H）的代数重数和几何重数相等（可能都为0）．这里（12）式用来计算L的核空间，（13）式用来判断L的像空间的余维数，而（14）式是在以后的情形中用来判断分歧定理第三个条件的．

在高维空间中，特征问题（10）的正特征值的重数可能大于1．然而在一维区间时，所有特征值都是单重的，这里讨论空间为一维的情形：

对平衡态U0（0，0，0）和U1（r／a，0，0），F（d，U0）＝F（d，U1）＝0，∀d＞0．

显然，H0的正特征值只有一个，即为r，并且代数重数是1，以及0不是特征值；当d2（D＋d1）（a＋mr）＜kbrD时，H1的正特征值只有一个，记为σ，并且代数重数是1，以及0不是特征值．对于这两种平衡态，其分歧情形是相似的．

定理5 给定j≥1和d＝r／λj，则存在δ＞0和光滑曲线（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z满足：（ⅰ）φ（0）＝0，d（0）＝d，（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈ （－δ，δ）；（ⅲ）在（d，U0）的某个小邻域内（11）的每个解要么在这条曲线上，要么是平凡的．这里Φ＝ξψj，Z＝｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ＝ （1，0，0）T是H0的正特征值所对应的“唯一”特征向量及

U（s）＝U0＋s（Φ＋φ（s））．

证明 设L0＝FU（d，U0）＝＋H0，L1＝IΔ，则由（12）得，Ker（L0）＝span｛Φ｝，Φ ＝ξψj，L1Φ＝－λjΦ．再由（13）和（14）式得，codimR（L0）＝1，L1Φ ＝－λjΦ ∉R（L0）．分歧定理的条件成立．

定理6 设条件（4）成立，且记σ是H1上的唯一正特征值．给定j≥1和d＝σ／λj，则存在δ＞0和光滑曲线（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z满足：（ⅰ）φ（0）＝0，d（0）＝d；（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈（－δ，δ）；（ⅲ）在（＾d，U1）的某个小邻域内系统（11）的每个解要么在这条曲线上，要么是平凡的．这里Φ＝ξψj，Φ＝ξψj，Z＝｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ、ξ是H1和HT1的正特征值所对应的“唯一”特征向量及

下面讨论正常数平衡态U＊处的分歧，记

那么矩阵H＊的特征多项式是

注意到r－au＊＞0，那么H＊至少有一个负特征值，0不是特征值，并且它的正特征值（若有的话）必然是两个．假设

为避免σ1／λj＝σ2／λi的情形，进一步设

同样地，有下述分歧结论：

定理7 设条件（4）、（17）、（18）成立．给定i∈｛1，2｝，j≥1．记d＝σi／λj，则存在δ＞0和光滑曲线（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z满足：（ⅰ）φ（0）＝0，d（0）＝d；（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈（－δ，δ）；（ⅲ）在（＾d，U＊）的某个小邻域内（11）的每个解要么在这条曲线上，要么是平凡的．这里Φ＝ξψj，Φ＝ξψj，Z＝ ｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ、ξ是H＊和HT＊的正特征值σi所对应的“唯一”特征向量及

U（s）＝U＊＋s（Φ＋φ（s））．

证明 同前面定理证明一样，这里只需要验证单特征值分歧定理的第三个条件，事实上，σi（i＝1，2）是H＊的代数单重特征值就表明ξ·ξ≠0．从而结论得证．

注1 取参数值b＝1、m＝1、D＝1、d1＝0．1、d2＝0．2、k＝1、a＝2、r＝12时，U＊＝（0．282 1，2．932 3，14．661 4），H＊的特征值为－1．634 7，1．469 7，0．816 8．这表明条件（17）在某些参数的时候是可以成立的，而条件（18）只要合适地扰动参数值也可以成立．

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