具有阶段结构、时滞和接种的幼年染病单种群模型的稳定性

王 烈，陈斯养

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710062）

文献［1－2］研究了具有阶段结构的单种群模型，作者假设种群从幼年到成年的平均成熟期为一个常数，在模型中将其用一个时滞来表示．疾病的传播主要依赖于疾病本身的特性．例如麻疹、腮腺炎、水痘、猩红热、白喉等疾病主要在幼年人群中传播，而淋病、梅毒等传染病只在成年人群中传播，因此将阶段结构引入到传染病模型中能够更好地反映实际情况．文献［3－10］研究了具有阶段结构的传染病模型，得到平衡点稳定的充分条件及平衡点处发生Hopf分支等动力学行为．文献［1－7］中用rx2（t－τ）exp（－d1τ）表示在t－τ时刻出生的幼年并且存活到时刻t的密度；而文献［8－10］用rx2（t－τ）表示在t－τ时刻出生的幼年并且存活到时刻t的密度．为更好地控制疾病，近年来的研究表明接种疫苗是预防和控制疾病传播的主要措施，文献［11－13］讨论了带有接种的传染病模型．

基于以上研究结果，本文主要研究具有阶段结构、时滞和接种的幼年染病单种群模型：

其中x1（t）、I（t）和W（t）分别表示易感染幼年、染病幼年和直接通过接种而产生暂时免疫能力的接种者的种群密度，x2（t）表示成年种群的密度．流行病只在幼年种群中传播，而成年种群不会染病．参数r、d1、α、ρ、μ、ε、d2、β、δ、τ均为正常数，它们的生物意义可以参看文献［3－13］．

1 平衡点的存在性

通过计算，得到系统（1）以下平衡点：

（ⅰ）当R1＞1、R2＞1时，存在地方病平衡点（正平衡点）P1（x＊1，x＊2，V＊，I＊），其中

I＊是方程f（I）－g（I）＝0的唯一正根，其中

下面证明地方病平衡点的存在性和唯一性．正平衡点P1（x＊1，x＊2，V＊，I＊）满足代数方程组

由方程组（4）的第2、3、4个方程，易得

将它们代入到第1个方程，可得

对函数f（I）求导，可得

通过计算可知，当I＜I0时，函数f′（I）＞0，即当I＜I0时函数f（I）是单调递增的；当I＞I0时，函数f′（I）＜0，即当I＞I0时函数f（I）是单调递减的．函数g（I）在区间（0，＋∞）上是单调递增的．

记τ0＝ln（2）／d1，下面以τ＞τ0和τ＜τ0分别进行讨论：

a）当τ＞τ0时，2－exp（d1τ）＜0，有I0＜0，则函数f（I）在区间（0，＋∞）上是单调递减的．当R1＞1，R2＞1时，f（0）＞g（0）＞0，所以方程（5）一定存在唯一正根I＊．

b）当τ＜τ0时，2－exp（d1τ）＞0，对于r∈（0，d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ））），I0＜0，参照在a）中的讨论可知方程（5）一定存在唯一正根I＊；对于r∈ （d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ）），＋ ∞），I0＞0，则函数f（I）在区间（0，I0）上是单调递增的，在区间（I0，＋∞）上是单调递减的．当R1＞1、R2＞1时，f（0）＞g（0）＞0，所以方程（5）一定存在唯一正根I＊．

对应地可以求出

（ⅱ）当R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1时，存在无病平衡点（边界平衡点）P2（x1，x2，V，0），其中

下面以τ＞τ0和τ＜τ0分别进行讨论：

a）当τ＞τ0时，2－exp（d1τ）＜0，有I0＜0，则函数f（I）在区间（0，＋∞）上是单调递减的．当R1＞1，R2＜1时，g（0）＞f（0）＞0，所以方程（5）无实根．

b）当τ＜τ0时，2－exp（d1τ）＞0时，对于r∈（0，d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ））），I0＜0，参照在a）中的讨论可知方程（5）无实根．

c）当τ＜τ0时，2－exp（d1τ）＞0时，对于r∈（d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ）），＋ ∞），I0＞0，则函数f（I）在区间（0，I0）上是单调递增的，在区间（I0，＋∞）上是单调递减的．当R1＞1，R2＜1，R3＜1时，g（0）＞f（0）＞0，g（I0）＞f（I0）＞0，所以方程（5）无实根．

综上所述，可知当R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1时，存在无病平衡点（边界平衡点）．将系统（1）中的4个方程相加，可得

则通过计算可知

通过以上讨论，可得以下引理：

引理1 集合Ω是系统（1）的正不变集．

以下仅在集合Ω上讨论系统（1）的动力学行为．

2 平衡点的稳定性分析

通过计算可知，系统（1）线性近似系统的特征根出现等于零的情况，因此下面通过构造Liapunov函数的办法讨论系统（1）平衡点的稳定性．

定理1 当R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的．

证明 当R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1时，无病平衡点P2存在．当R2＜1时，可知x1＜x＊1．定义集合Ω1＝ ｛（x1，x2，W，I）｜（x1，x2，W，I）∈

下面在区域Ω1内讨论系统（1）的稳定性．因为当x1＜x＊1时，从系统（1）的第4个等式可知：I＝I（t）在Ω1区域上是单调递减的且t→＋∞时I→0．根据极限系统理论，系统（1）的动力学性态等价于系统

当R1＞1时，系统（10）存在唯一平衡点P1（x1，x2，V），其中

则系统又等价于

定义Liapunov函数

其中m、n、p均为正数．

对V1沿系统（11）求右上导数，可得

对（14）式在区间［0，t］上积分，变形可得

根据文献［14］的方法，可知平衡点P1是全局渐近稳定的．

由R1＞1、R2＜1可推出r∈ （r0，r1）；由R1＞1、R3＜1可知存在实数r2＞0，r∈ （r0，r2）．

由定理1可得如下推论：

推论1 若τ0＜τ，则当r0＜r＜r1时，无病平衡点P2是全局渐近稳定的．

推论2 若τ0＞τ，则当r0＜r＜r2＜r1时，无病平衡点P2是全局渐近稳定的．

推论1和推论2说明，在一定的接种率下，且整个种群的生育率位于某一区间时，疾病将趋于灭绝，而且生育率的区间长度随接种率的提高而随之扩大，随时滞的增加而随之缩小．

定理2 当R1＞1、R2＞1时，正平衡点P1是全局渐近稳定的．

证明 由前面分析可知，当R1＞1、R2＞1时，平衡点P1存在．对系统（1）进行变形，可得

定义Liapunov函数为

其中m、n、q、p均为正数．

对V2沿系统（16）求右上导数，可得

对（19）式在区间［0，t］上积分，变形可得

根据文献［14］的方法，可知平衡点P1是全局渐近稳定的．

由前面分析并结合定理2可得如下推论：

推论3 当r＞r1，正平衡点P1是全局渐近稳定的．

推论3说明，在一定的接种率下，且种群的生育率高于某一阈值时，正平衡点全局渐近稳定，疾病将成为地方病．

3 结语

本文提出一类具有阶段结构、时滞和接种的幼年染病单种群模型，研究了存在正平衡点和无病平衡点的充分条件，证明了正平衡点的唯一性．由于该单种群线性近似系统的特征根出现等于零的情况，所以通过构造Liapunov函数的办法讨论单种群系统平衡点的稳定性，得到了正平衡点和无病平衡点保持全局渐近稳定的充分条件．通过讨论可知，在一定的接种率下，且整个种群的生育率位于某一区间时，疾病最终将趋于灭绝，而且生育率的区间长度随着接种率的提高而随之扩大；随着时滞的增加而随之缩小．当种群的生育率高于某一阈值时，正平衡点全局渐近稳定，疾病将最终成为地方病．结果表明时滞和接种因素在模型中有着非常重要的地位．

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