个体集和强个体集的范畴性质

李生刚，杨文华，伏文清

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710062）

1961年，美国数理逻辑学家Abraham Robinson用模型论方法创立了非标准分析［1］．人们发现一些用标准方法已经证明了的数学定理可以用非标准分析方法给出自然、直观并富有启发性的证明；实例（例如Bernstein－Robinson关于不变子空间的存在定理）表明用非标准分析方法可以解决长期未解决的数学问题．提出猜想（或更一般的合情推理）在科学研究中至关重要，人们已将计算机数学实验方法用于合情推理之中［2－3］，实际上由以上事实不难预料非标准分析方法也可以和计算机数学实验方法协同用于合情推理之中解决数学问题和物理问题［4－7］．从宏观看，非标准分析的思想与方法目前已经应用或渗透到分析、微分方程、拓扑、泛函、概率论、组合数学、理论计算机科学、近代物理、数理经济、金融等研究领域［8－10］．个体集（特别是强个体集）是非标准分析的最基本的概念，以下问题值得关注：

（1）个体集和强个体集是不是足够多？实际问题（包括计算机研制、软件开发、数据处理）中用到的数学一般被认为只涉及有限集合，然而当考虑抽象数据、变化趋势、过程、极限时涉及无限集合是不可避免的．对于每一个基数α，一定存在集合X使得｜Xα｜＝α（这里｜Xα｜表示Xα的基数或势），所以集合是多的足够使用的．为了非标准分析方法的可靠使用，我们希望这个结论对个体集和强个体集也成立．

（2）个体集范畴或强个体集范畴是完备范畴吗？如果是，那么就可以在其中定义乘积、余积、极限、一般余极限等运算．这对于非标准分析方法的可靠使用和方便使用是有益的．

（3）个体集范畴或强个体集范畴是topos吗？一个笛卡儿闭的、有有限极限和子对象分类器的范畴叫topos．Topos在理论计算机科学、范畴逻辑中具有基本重要性并且已经被用于建立物理理论［4－7，11］．

（4）个体集范畴或强个体集范畴是monoidal范畴吗？Monoidal范畴是幺半群的范畴论推广，它在理论计算机科学、范畴逻辑、理论物理中有重要应用［4－7，11－12］．

基于上述考虑，同时也考虑非标准分析的思想与方法在模糊数学、粗糙集理论中的可能应用，本文研究个体集和强个体集的范畴性质．我们证明个体集范畴、强个体集范畴与集合范畴在诸多方面的相似性，特别地，给出上面4个问题的肯定回答（见注1、定理1、定理2）．

下面给出一些基本概念和定义．若F是（2X，⊆）的非空的、下定向的、不含空集∅的上集（其中2X是由X的所有子集组成的集合），则称F是X上的滤子，X上的滤子的全体记作F（X）．（F（X），⊆）的极大元叫极大滤子或超滤子，（F（X），⊆）的满足∩F＝∩F∈FF＝∅的元F叫自由滤子．设X是集合，F是无限集I上的自由极大滤子．在XI（即从I到X的映射的全体）上定义关系～F如下：a～Fb⇔｛n∈I｜a（n）＝b（n）｝∈F，那么～F是XI上的等价关系．令XF＝XI／～F并且用［a］XF表示a所在的等价类（a∈XI），称集合XF为X的超幂，且称集合V（X（X）为X上的超结构［9］，其中V（0）（X）＝X，V（n＋1）（X）∪｛0｝，N为自然数集．其他未说明的概念参见文献［1，8－9，11，13］．

1 个体集范畴和强个体集范畴的性质

定义1 设X是一个集合．若对每个x∈X都有x≠∅且y∈x不成立（∀y∈X），则称（X，∈）为个体集或原子集；若（X，∈）为个体集（X∩V（n）（X）＝∅（∀n∈N），则称（X，∈）为强个体集或强原子集．所有非空个体集（resp．，所有个体集，所有非空强个体集，所有强个体集）以及它们之间的所有映射构成的范畴记作

ⅰ）设A、B∈Ob（Set），f、h：A→B且f≠h．下面证明f∉h且h∉f（从而BA这里将Gf＝｛〈a，f（a）〉｜a∈A｝（resp．，Gh＝｛〈a，h（a）〉｜a∈A｝）与f（resp．，h）同一化．

情形1 ｜A｜＝1．不妨设A＝｛a｝，则f＝｛〈a，f（a）〉｝且h＝ ｛〈a，h（a）〉｝．假 设f∈h，即｛〈a，f（a）〉｝＝〈a，h（a）〉＝｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝．矛盾，因为｜｛〈a，f（a）〉｝｜＝1≠2＝｜｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝｜．因此f∉h．同理h∉f．

情形2 ｜A｜＝2．不妨设A＝｛a，b｝（a≠b），则f＝ ｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝，h＝ ｛〈a，h（a）〉，〈b，h（b）〉｝．假设f∈h，则｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝〈a，h（a）〉或者｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝〈b，h（b）〉．不妨设｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝ 〈a，h（a）〉，即｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝．由〈a，f（a）〉≠｛a｝知〈a，f（a）〉＝｛a，h（a）｝且〈b，f（b）〉＝｛a｝，而 由 〈b，f（b）〉＝ ｛｛b｝，｛b，f（b）｝｝及A∈）知〈b，f（b）〉＝｛a｝不可能成立．因此f∉h．同理h∉f．

情形3 ｜A｜＞2．这时｜f｜＞2且｜h｜＞2．假设f∈h，则存在a∈A使得f＝〈a，h（a）〉，这与｜f｜＞2和｜〈a，h（a）〉｜＝2矛盾，因此f∉h．同理h∉f．

定义h：A→A具体为h（x）＝f－1◦g（x）（∀x∈A）．对于每个x∈A，由于f′◦1A＝χf◦g，χf（g（x））＝χf◦g（x）＝f′◦1A（x）＝1，故g（x）∈f（A）．又因为f为单态射，f－1◦g（x）∈A，所以h：A→A的定义是合理的．对于任意x∈A，由（4）知f◦h（x）＝f（h（x））＝f（f－1◦g（x））＝g（x），即f◦h＝g．又1A◦h（x）＝1A（h（x））＝1＝1A（x）（∀x∈A），即1A◦h＝1A．所以h使下图中的两个三角形交换．

最后证明h的唯一性．假设h：A→A也满足f◦h＝g和1A◦h＝1A，则f◦h＝f◦h，由f为单态射知h＝h．

2 相关的函子V和HF的性质

定理3 对于每个X∈Ob（Set），令V（X）是X上的超结构．对于每个y∈V（X），定义ny＝min｛n∈N0｜y∈V（n）（X）｝．对于每个映射g：X→Y，归纳地定义V（g）：V（X）→V（Y）如下：当nx＝0时V（g）（x）＝g（x）（∀x∈V（X）），当nx＞0时V（g）（x）＝｛V（g）（y）｜y∈x｝（∀x∈V（X））．由此得到一个嵌入函子（叫超结构函子）V：Set→Set．

证明 给定集合X，令Xi＝｛x∈V（X）｜nx＝i｝（i∈N0），则易见X0＝X．设1X：X→X是集合X上的单位映射，用归纳法可以证明对任意n∈N0，V（1X）｜Xn是单位映射．由V（X）＝可知V（1X）：V（X）→V（X）是单位映射．所以V保单位映射．其次设f：X→Y和g：Y→Z是Set－态射，用归纳法可以证明对于任意n∈N0，V（g◦f）｜Xn＝（V（g）◦V（f））｜Xn．由V（X）知V（g◦f）＝V（g）◦V（f）．所以V保映射的复合运算（从而V是函子）．显然当f和g是不同的映射时V（f）≠V（g），因此V是嵌入函子．

证明 （1）设g：X→Y是单射，则用归纳法可以证明，对任意n∈N，V（g）｜（V（0）（X）∪V（n）（X））是单射．由V（X）（X）以及V（n）（X）⊆V（n＋1）（X）（n≥1）知V（g）：V（X）→V（Y）是单射．反过来，设g：X→Y不是单射，则V（g）｜V（0）（X）不是单射，从而V（g）：V（X）→V（Y）也不是单射．

（2）设g：X→Y为满射，则用归纳法可以证明，对任意n∈N0，V（g）｜V（n）（X）是 从V（n）（X）到V（n）（Y）的满 射．由V（Y（Y）知V（g）：V（X）→V（Y）是满射．反过来，设g：X→Y不是满射，则存在y∈Y，使得对任意x∈X，g（x）≠y，因此对任意x∈V（0）（X）＝X，V（g）（x）＝g（x）≠y．对任意x∈V（k）（X）（k≥1），V（g）（x）＝｛V（g）（x1）｜x1∈x｝∉Y，所以V（g）：V（X）→V（Y）不是满射．

注2 （1）f：A→B是单射时V（f）：V（A）→V（B）未必是单射．定义f：｛1，2｝→｛1，｛1｝｝具体为f（1）＝1和f（2）＝ ｛1｝，则V（f）（2）＝ ｛1｝＝V（f）（｛1｝）．

（2）V（f）：V（A）→V（B）是单射时f：A→B是单射．事实上，若f：A→B不是单射，则V（f）｜V（0）（A）不是单射，从而V（f）：V（A）→V（B）不是单射．

（3）f：A→B是满射时V（f）：V（A）→V（B）未必是满射．事实上，对于任一满射f：｛0，2｝→｛1，｛1｝｝，不存在x∈V（｛0，2｝）使得V（f）（x）＝∅（它是V（｛1，｛1｝｝）的成员）．

（4）V（f）：V（A）→V（B）是满射时f：A→B未必是满射．事实上，虽然包含映射f：｛1｝→｛1，｛1｝｝不是满射，但由V（｛1｝）＝V（｛1，｛1｝｝）知V（f）＝idV（｛1｝）是满射．

定理5 设F是任一给定的无限集I上的自由极大滤子．对于每个X∈Ob（Set），令HF（X）＝XF；对于每个映射g：X→Y，定义HF（g）：XF→YF具体为HF（g）（［a］XF）＝［｛g（a（n））｝n∈I］YF（∀a∈XI）（由｛n∈I｜g（a（n））＝g（a1（n））｝⊇｛n∈I｜a（n）＝a1（n）｝知HF的定义是合理的）．由此得到一个函子（叫超幂函子）HF：Set→Set．

证明 设1X：X→X是单位映射，则对任意∈HF（X）有HF（1X）（［a］XF）＝［｛1X（a（n））｝n∈I］XF＝［｛a（n）｝n∈I］XF，因此HF（1X）＝1HF（X）．这说明HF保单位映射．其次设f：X→Y和g：Y→Z是两个映射，则对任意［a］XF∈HF（X）有HF（g◦f）（［a］XF）＝ ［｛（g◦f）（a（n））｝n∈I］ZF＝［｛g（f（a（n）））｝n∈I］ZF＝HF（g）◦HF（f）（［a］XF）．这说明HF保持映射的复合运算，因此HF是函子．

定理6 g：X→Y是单射（resp．，满射）当且仅当HF（g）：HF（X）→HF（Y）是单射（resp．，满射）．

证明 （1）设g：X→Y是单射，［a］XF、［b］XF∈HF（X）且HF（g）（［a］XF）＝HF（g）（［b］XF），则由HF的定义有［｛g（a（n））｝n∈I］YF＝［｛g（b（n））｝n∈I］YF，因此｛n∈I｜g（a（n））＝g（b（n））｝∈F．由g是单射可知｛n∈I｜a（n）＝b（n）｝＝｛n∈I｜g（a（n））＝g（b（n））｝∈F，从而有［a］XF＝［b］XF．反过来，设HF（g）：HF（X）→HF（Y）是单射，以下证明g：X→Y也是单射．假设g：X→Y不是单射，那么存在x、z∈X（x≠z）使得g（x）＝g（z）．这 时HF（g）（［｛x｝n∈I］XF）＝［｛g（x）｝n∈I］YF＝ ［｛g（z）｝n∈I］YF＝HF（g）（［｛z｝n∈I］XF）．再由HF（g）：HF（x）→HF（Y）是单射知［｛x｝n∈I］XF＝［｛z｝n∈I］XF，矛盾（因为x≠z）．

（2）设g：X→Y是满射，则对每个［b］YF＝［｛b（n）｝n∈I］YF∈HF（Y）， 存在a（n）∈X使得g（a（n））＝b（n）（∀n∈I）．易见∈HF（X）且HF（g）（［a］XF）＝ ［b］YF．反 过来，设HF（g）：HF（X）→HF（Y）是满射，以下证明g：X→Y满射．设b∈Y，则由HF（g）：HF（X）→HF（Y）是满射知存 在 ［a］XF＝ ［｛a（n）｝n∈I］XF∈HF（X）使 得HF（g）（［a］XF）＝［｛g（a（n））｝n∈I］YF＝［｛b｝n∈I］YF，即｛n∈I｜g（a（n））＝b｝∈F．由于∅∉F，因此存在m∈I使g（a（m））＝b．这说明g：X→Y为满射．

［1］Robinson A．Non－standard analysis［J］．Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen：A，1961，64：432－440．

［2］朱伟勇，朱志良，刘向东，等．周期芽苞Fibonacci序列构造M－J混沌分形图谱的一族猜想［J］．计算机学报，2003，26（2）：221－226．

［3］朱伟勇，宋春林，邓学工，等．Fibonacci序列构造z－2＋c广义M－J混沌分形图谱及其标度不变性的研究［J］．计算机学报，2004，27（1）：52－57．

［4］Doring A，Isham C J．A topos foundation for theories of physics：Ⅰ．formal languages for physics［J］．Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053515／1－053515／25．

［5］Doring A，Isham C J．A topos foundation for theories of physics：Ⅱ．daseinisation and the liberation of quantum theory［J］．Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053516／1－053516／26．

［6］Doring A，Isham C J．A topos foundation for theories of physics：Ⅲ．quantum theory and the representation of physical quantities with arrowsδ◦（A）：Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053517／1－053517／31．

［7］Doring A，Isham C J．A topos foundation for theories of physics：Ⅳ．categories of systems［J］．Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053518／1－053518／29．

［8］Berg I，Neves V．The strength of nonstandard analysis［M］．New York：Springer，2007：1－58．

［9］Loeb P A，Wolff M．Nonstandard analysis for the working mathematician［M］．Dordrecht：Kluwer Academic，2000：3－72．

［10］陈东立，马春晖，史艳维．度量空间中的拟近标准点及度量空间的非标准完备化［J］．陕西师范大学学报：自然科学版，2008，36（3）：10－12．

［11］Goldblatt R．Topoi：the categorial analysis of logic［M］．Amsterdam：North－Holland，1979：6－21．

［12］Coecke B．New structures for physics［M］．New York：Springer，2011：95－168．

［13］Jech T．Set theory［M］．Berlin：Springer－Verlag，2003：1－76．