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Smarandache-Pascal派生逆序列的几个恒等式

2013-10-29赵院娥

关键词:恒等式正整数二阶

赵院娥,刘 卓

(1延安大学 数学与计算机学院,陕西 延安716000;2西北大学 数学系,陕西 西安710127)

对任意基序列{bn},定义它的Smarandache-Pascal派生序列{Tn}为T1=b1,T2=b1+b2,T3=b1+2b2+b3,一般地

文献[1]详细介绍了Smarandache-Pascal派生序列的定义及其性质,同时还提出了一系列有趣的命题和猜想,例如猜测当{bn}= {F8n+1}= {F1,F9,F17,F25,…}及n≥2时有恒等式

其中{Fn}表示著名的Fibonacci数列.

最近,有不少学者研究了Smarandache-Pascal派生序列的性质以及文献[1]中提出的猜想,他们不仅解决了这些问题,同时又将文献[1]中的内容进行了推广和延伸,给出了一般性的结论.本文的主要目的是引入Smarandache-Pascal派生逆序列,进而研究它的各种性质. 为此, 先引入Smarandache-Pascal派生序列的逆序列的定义:对任意序列{Tn},定义b1=T1,b2=T2-T1,当n≥2时:

这一序列之所以称为Smarandache-Pascal派生序列的逆序列是因为当且仅当bn+1=这一性质不难用数学归纳法证明.本文对这一序列的性质进行研究,并利用初等及组合方法得到几个有意义的恒等式.

1 预备知识

为叙述方便,先给出二阶线性递推数列的一个简单结论:

引理1 设整数m≥0及n≥2.如果数列{Xn}满足递推关系Xn+2=aXn+1+bXn(n≥0),那么有恒等式Xm+n=An-1Xm+1+bAn-2Xm.其中An定义为A0=1.A1=a及An+1=aAn+bAn-1,n≥1.或者计算公式

证明 用归纳法.注意到递推公式Xm+2=aXm+1+bXm,A1=a,A0=1,An+1=aAn+bAn-1,n≥1.所以Xm+2=A1Xm+1+bA0Xm.即就是当n=2时引理1成立.因为Xm+3=aXm+2+bXm+1=a(aXm+1+bXm)+bXm+1= (a2+b)Xm+1+baXm=A2Xm+1+bA1Xm.即当n=3时引理1成立.假定引理1对所有整数2≤n≤k成立,即就是Xm+n=An-1Xm+1+bAn-2Xm.则当n=k+1时,由Xm的递推关系及归纳假设有

就是说当n=k+1时引理1成立.

2 主要结果

定理1 设{Xn}是一个二阶线性递推数列且X0=u,X1=v,对所有n≥1,Xn+1=aXn+bXn-1,其中a2+4b>0.那么对任意正整数d≥1,当

时有恒等式

其中{An}定义为A0=1,A1=a,An+1=aAn+bAn-1,n≥1.事实上An的表示式为

证明 对任意正整数d,由bn的定义及二项式系数的性质

应用引理1,有Xdk+d+1=AdXdk+1+bAd-1Xdk,再应用 (2)式及bn的定义可以推出

另一方面,由引理1也有Xdk+d=Ad-1Xdk+1+bAd-2Xdk,于是应用这个递推关系及公式(1)有

由(3)式也可推出恒等式

再结合(3)、(4)及(5)式可以得到

由An的计算公式易得到恒等式

将其代入(6)式可以推出

于是完成了定理1的证明.

若取b=1,由定理1可得到下面的:

推论1 设{Xn}是一个二阶线性递推序列且X0=u,X1=v,Xn+1=aXn+Xn-1,n≥1.对任意正整数a及偶数d≥2, 定义它的Smarandache-Pascal派生逆序列为

那么有递推公式

推论2 设{Xn}是一个二阶线性递推序列且X0=u,X1=v,Xn+1=aXn+Xn-1,n≥1.则对任意正整数a及奇数d≥1,定义它的Smarandache-Pascal派生序列的逆序列为

那么有递推公式其中An=An(a)=

显然Fn+1(a)=An(a)是a的一个多项式,有时也称这个多项式为Fibonacci多项式,因为Fn(1)=Fn是著名的Fibonacci数.有关Smarandache问题及Fibonacci数的内容可参阅文献[2-6],这里不再重复.

如果在推论1中取a=2,X0=P0=0,X1=P1=1以及Pn+1=2Pn+Pn-1,n≥1.那么Pn就成为Pell数.由推论1也可以推出下面的:

推论3 设Pn表示Pell数.那么对任意偶数d≥2及bn+1=,有递推公式bn+1=(Pd+1+Pd-1-2)(bn+bn-1),n≥2.

从定理1也不难推出如果{Tn}是一个二阶线性递推数列,那么它的Smarandache-Pascal派生逆序列{bn}也是一个二阶线性递推数列.

3 结语

本文在前人研究Smarandache-Pascal派生序列的基础上,引入了Smarandache-Pascal派生逆序列的定义,用初等方法和组合技巧研究了它的性质,并且给出了关于Smarandache-Pascal派生逆序列的几个有意义的恒等式,这将有助于对Smarandache-Pascal派生逆序列的进一步认识和研究.

[1]Murthy A,Ashbacher C.Generalized partitions and new ideas on number theory and smarandache sequences[M].Hexis:Phoenix,2005:79.

[2]Smarandache F.Only problems,not solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[3]Wiemann M,Cooper C.Divisibility of an F-L type convolution,Applications of Fibonacci numbers[J].Kluwer Academic Publishers Dordrecht,2004,9:267-287.

[4]Ma Rong,Zhang Wenpeng.Several identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2007,45:164-170.

[5]Yi Yuan,Zhang Wenpeng.Some identities involving the Fibonacci polynomials[J].The Fibonacci Quarterly,2002,40:314-318.

[6]Wang Tingting,Zhang Wenpeng.Some identities involving Fibonacci,Lucas polynomials and their applications[J].Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de Roumanie,2012,55(1):95-103.

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