一道全国联赛试题的再思考

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(衢州市第一中学 浙江衢州 324000)

●李世杰

(衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)

一道全国联赛试题的再思考

●李盛

(衢州市第一中学 浙江衢州 324000)

●李世杰

(衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)

1988年全国高中数学联赛试题：

设a≥0,b≥0,n∈N*,n≥2,则

当且仅当a=b或ab=0时,等号成立.

文献[1]中提供了用基本不等式法和数学归纳法等证明的5种不同方法.从变式的角度分析，有

变式设a≥0,b≥0,n∈N*,n≥2,则

当且仅当a=b或ab=0时,等号成立.

可见不等式(2)是不等式(1)的等价变式.我们对不等式(2)再作深入思考：

都是不等式f(x)f(y)≤f(x+y)的特解.

证明用数学归纳法.当m=2时,因为

所以

由定理1,知

此时定理2结论成立.

假设当m=k(k∈N,k≥2)时,定理2结论也成立，即

则当m=k+1(k∈N,k≥2)时,因为ak+1≥0,所以

由假设,不等式(5)成立,根据基本不等式得

即

故由不等式(5)及定理1,得

这说明当m=k+1时,定理2结论也成立.

由归纳原理,对任意m∈N,m>1,定理2结论恒成立.

有了2个定理的结论，下面举例说明其应用.

例1设n∈N*,n≥2,a≥0,b≥0,且ab≤1,则

1+(a+b)n≥(1+an)(1+bn),

当且仅当ab=0时,等号成立.

证明当n∈N*,n≥2时，有2n≥4，因此

应用定理1,得

1+(a+b)n≥(1+an)(1+bn).

注易知，对n∈N*,n≥2,a>0,b>0,且ab=1不等式1+(a+b)n>(1+an)(1+bn)成立.

例2设n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=3,则

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+3n.

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+(a+b+c)n=1+3n.

注(1)当n=3时,本题结论即(1+a3)(1+b3)(1+c3)≤28.文献[2]已证明

(1+a3)(1+b3)(1+c3)≥8，

因此,设a,b,c≥0,且a+b+c=3,则

8≤(1+a3)(1+b3)(1+c3)≤28.

一般地，我们猜测：

设n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=3,不等式8≤(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+3n成立.

(2)与本例类似，可得

①设n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=1,则

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤2.

②设n∈N*,n≥2,a,b，c≥0,且a+b+c=2,则

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+2n.

[1] 李世杰.一道全国竞赛题的多种解法[J].中学教研(数学),1989(5):29-30.

[2] 杨学枝.数学奥林匹克不等式研究[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009:192.

[3] 李盛,金雪东.高一数学变式教学的实践与思考[J].中国数学教育:高中版，2012(4):12-14.